Tough Boy-World of cap_hiro（Subtitle：sense of wonder）

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2023年08月27日

ルドルフ・ジョセフ・ローレンツ・シュタイナー

カテゴリ：霊魂論

「四次元/Die Vierte Dimension」数学と現実
第二部　質疑応答　シュツットガルト　１９２０年３月１１日 - Ⅰ－③
◎第３の質問：精神科学の線に沿ってさらに発達させる必要があるのは現代数学のどのような側面でしょうか、特に形式的な側面についてはどうでしょうか.
答弁：形態数学の将来の発展に関して言えば、やるべきことが多く残されている、多くのことが可能であるということを認めなければなりません。私が次に述べることは形態数学への不当な扱いになるかも知れませんが、それは、近年ではそれについて行くことが私にはより難しくなっているからです。私がこの分野で何が起きているかを十分に承知していたのはずいぶん前のことですから、事態は変化しているかも知れません。けれども、世紀の変わり目より以前には、私はいつも、形態数学の分野で公表される論文は、それらの計算や働きがとにかく実際に可能であるのかどうか、あるいは、それらは何らかの現実の状況に合わせて、いずれかの点で変更される必要があるかどうかについて恐ろしく無関心であるという感じを持っていました。例えば、一次元の多様性に二次元の多様性を乗じたときには何が起こるかと問うことができます。そのような問いに答えることは可能ですが、それでも、私たちはこのような操作がそもそも現実に対応しているのか、少なくとも想像することが可能な何かに対応しているのかと問わなければなりません。どこかに行き着くためには、「単に計算が可能である」ということがどういうことなのかをはっきりと規定する必要があるでしょう。ひとつの例として、私は昔、ピタゴラスの定理を、視覚的な助けを借りることなしに、純粋に数の見地から証明しようと試みました。幾何学の中にうっかり迷い込まないように、純粋に算術的な要素をできるだけ厳密に定式化することが重要になります。私たちが数の計算をするとき、私たちが常数の範囲内にとどまる限りは、それらは単なる数であって、特定の空間領域における数システムについて語る必要はありません。皆さんはこれが可能であることをご覧になりました。しかし、私たちは私たちの通常の空間を離れなければなりません。純粋に形式的な数学が単に象徴的に表すことができるだけの数、そして、ある意味で抽象化とは追加的な対応する点を特定の空間領域に適用することなのですが、それを設定する前に、そのようなより高次の数を幾何学の助けなしに想像することはいかにして可能なのかを。つまり一連の数を通して単純で直接的であるリニアな関数を表現することができるという意味で可能なのかを検証しなければならないと私が感じているのはこの理由によります。私たちは、正と負の数の関係を純粋に基本的なレベルで想像するにはどうしたらよいかという質問に答えなければならないでしょう。私はその課題に取り組んできたわけではありませんし、それについて十分に知っているわけでもないので、はっきりとした答えを提供することはできませんが、ガウスの解法、つまり、正と負の違いを純粋に概念的なものと仮定することは、私には不十分のように見えます。負の数とは、被減数のない引き算以上のものではないというデューリングの説明も同様に不十分のように見えます。デューリングは虚数（－１の平方根）も同様の方法で説明しますが、この数は、その表記法こそ存在しますが、現実においては実行できない操作を遂行しようという試み以外のものではありません。もし、私が３と、そこから差し引くべき何ものも持っていないとしたら、３が残ります。その操作に関する表記法は存在しますが、何も変化はありません。デューリングの観点では、微分して得られた商は表記された操作に過ぎず、他のいかなるものにも対応しません。私には、デューリングのアプローチもまた一方的なもののように見えますが、解決の方法は恐らくその中間にあるのでしょう。けれども、これらの問題が解決されない限り、私たちは、形式的な数学において、どこにも行き着くことはないでしょう。（了）