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株式投資その他投資全般の話題をしていきたいと思います。
2004年11月09日
カテゴリ： カテゴリ未分類
「楽天斬りシリーズ」を楽しみにしていた読者の皆様には申し訳ないですが、「楽天の資本政策と買収に関する調査」がまだ終わっていないので、今日と明日の２日間は別のネタでブレイクタイムとさせていただきます。
今回は少し難しい数学の話です。ただし、知っている人にとっては特に新しい話ではありません。
「７２の法則」というのをご存知でしょうか？
これは、運用成果に関する法則で「運用利回りが所与であるとき、元本を２倍にするために必要な年数は何年か？」を知るためのものです。フィナンシャルプランナーなどはこれを知っていて当然かと思いますし、フィナンシャルプランナーでなくても投資に関する勉強を少しかじっていれば知っているかと思います。しかし、「７２の法則を知っている」という人でも殆どの人は以下のことくらいしか知らないのではないでしょうか？
(1)７２の法則その１（近似型）
年率Ｒ％（年１回複利ベース）で運用できる人が、元本を２倍にするために必要な年数をＮ年としたとき、以下が成立する。
Ｎ×Ｒ＝７２ ⇔ Ｎ＝７２÷Ｒ
すなわち、７２を運用利回りで割ると投資元本を２倍にするために必要な年数が出てきます。すなわち、運用利回りが８％の場合、投資元本を２倍にするために必要な年数は９年（７２÷８）となります。ただし、これはＲ＝７．８５％付近の運用利回りについてのみ成立する近似式に過ぎません。この値から大きく乖離している運用利回りに適用する場合には注意が必要です。
そもそも、７２の法則のルーツはどこからきているのでしょうか？今回はその話をしたいと思います。以下が７２の法則の原型といえます。
年率Ｒ％（年１回複利ベース）で運用できる人が、元本を２倍にするために必要な年数をＮ年としたとき、以下が成立する。（ただし、Ln(・)は自然対数。）
（１＋Ｒ÷１００）＾Ｎ＝２ ⇔ Ｎ＝Ln(2)÷Ln(１＋Ｒ÷１００)
上記の式に、具体的な数字を当てはめると以下のようになります。
＊運用利回りと投資元本を２倍にするために必要な年数の関係（括弧内はＮ×Ｒの値）
１％：６９．７年（６９．７）、２％：３５．０年（７０．０）、３％：２３．４年（７０．３）
４％：１７．７年（７０．７）、５％：１４．２年（７１．０）、６％：１１．９年（７１．４）
７％：１０．２年（７１．７）、８％：９．０年（７２．１）、９％：８．０年（７２．４）
１０％：７．３年（７２．７）、１５％：５．０年（７４．４）、２０％：３．８年（７６．０）
３０％：２．６年（７９．３）、５０％：１．７年（８５．５）、１００％：１．０年（１００．０）
さらに、銀行預金の金利に適用される年２回複利の場合や、２倍ではなくＴ倍の場合はどうなるかも知っておくために、以下のような一般形を示しておきます。
(3)７２の法則その３（一般型）
（１＋Ｒ÷Ｍ÷１００）＾(Ｎ×Ｍ)＝Ｔ ⇔ Ｎ＝[ Ln(T) ]÷[ M × Ln(1+R÷M÷１００) ]
数値例：
銀行預金の金利が０．５％（年２回複利）であるとき、元本を３倍にするために必要な年数を算出するためには、Ｒ＝０．５、Ｍ＝２、Ｔ＝３を代入すればよい。答：２２０．０年。
さらに、マニアックな話をすると、７２の法則（その３）においてＭ→∞とした場合は、「連続複利」と言います。そこで、最後のおまけです。
(4)７２の法則その４（連続複利型）
e＾(Ｒ÷１００×Ｎ)＝Ｔ ⇔ Ｎ＝Ln(T) ÷Ｒ×１００
上記の式は「７２の法則３」において、極限を取っています。すなわち、
Ｍ→∞のとき、（１＋Ｒ÷１００÷Ｍ）＾（Ｎ×Ｍ）→e^(Ｒ÷１００×Ｎ)
であることを利用しています。
実践で役に立つかどうかは別問題として、７２の法則をここまで知っている人はフィナンシャルプランナーでもそうはいないと思います。もちろん、現実問題としては「７２の法則その３」くらいまで知っていれば十分です。これはエクセル（表計算ソフト）でも計算できますので、「取らぬ狸の皮算用」を楽しんでみてください。
明日は、７２の法則の発展形です。
今日の言葉：
「人類における最大の発明は『複利』という概念である。」
＊おまけ：「７２の法則その３」をエクセル（表計算ソフト）で算出する方法
セルＡ１：「運用利回り」の数字を入力する。（１０％の場合、「１０」と入力）
セルＡ２：「複利回数」の数字を入力する。（年１回複利の場合、「１」と入力）
セルＡ３：「投資元本に対する倍率」を入力する。（３倍の場合、「３」と入力。）
セルＡ４：「＝Ln(A3)／(A2*Ln(1+A1／A2／100))」という数式を入力する。この値が求めるべき年数となる。（１１．５年という答が出てくれば入力した式は正しい。ただし、小数点第２位以下は四捨五入。）
今回は少し難しい数学の話です。ただし、知っている人にとっては特に新しい話ではありません。
「７２の法則」というのをご存知でしょうか？
これは、運用成果に関する法則で「運用利回りが所与であるとき、元本を２倍にするために必要な年数は何年か？」を知るためのものです。フィナンシャルプランナーなどはこれを知っていて当然かと思いますし、フィナンシャルプランナーでなくても投資に関する勉強を少しかじっていれば知っているかと思います。しかし、「７２の法則を知っている」という人でも殆どの人は以下のことくらいしか知らないのではないでしょうか？
(1)７２の法則その１（近似型）
年率Ｒ％（年１回複利ベース）で運用できる人が、元本を２倍にするために必要な年数をＮ年としたとき、以下が成立する。
Ｎ×Ｒ＝７２ ⇔ Ｎ＝７２÷Ｒ
すなわち、７２を運用利回りで割ると投資元本を２倍にするために必要な年数が出てきます。すなわち、運用利回りが８％の場合、投資元本を２倍にするために必要な年数は９年（７２÷８）となります。ただし、これはＲ＝７．８５％付近の運用利回りについてのみ成立する近似式に過ぎません。この値から大きく乖離している運用利回りに適用する場合には注意が必要です。
そもそも、７２の法則のルーツはどこからきているのでしょうか？今回はその話をしたいと思います。以下が７２の法則の原型といえます。
年率Ｒ％（年１回複利ベース）で運用できる人が、元本を２倍にするために必要な年数をＮ年としたとき、以下が成立する。（ただし、Ln(・)は自然対数。）
（１＋Ｒ÷１００）＾Ｎ＝２ ⇔ Ｎ＝Ln(2)÷Ln(１＋Ｒ÷１００)
上記の式に、具体的な数字を当てはめると以下のようになります。
＊運用利回りと投資元本を２倍にするために必要な年数の関係（括弧内はＮ×Ｒの値）
１％：６９．７年（６９．７）、２％：３５．０年（７０．０）、３％：２３．４年（７０．３）
４％：１７．７年（７０．７）、５％：１４．２年（７１．０）、６％：１１．９年（７１．４）
７％：１０．２年（７１．７）、８％：９．０年（７２．１）、９％：８．０年（７２．４）
１０％：７．３年（７２．７）、１５％：５．０年（７４．４）、２０％：３．８年（７６．０）
３０％：２．６年（７９．３）、５０％：１．７年（８５．５）、１００％：１．０年（１００．０）
さらに、銀行預金の金利に適用される年２回複利の場合や、２倍ではなくＴ倍の場合はどうなるかも知っておくために、以下のような一般形を示しておきます。
(3)７２の法則その３（一般型）
（１＋Ｒ÷Ｍ÷１００）＾(Ｎ×Ｍ)＝Ｔ ⇔ Ｎ＝[ Ln(T) ]÷[ M × Ln(1+R÷M÷１００) ]
数値例：
銀行預金の金利が０．５％（年２回複利）であるとき、元本を３倍にするために必要な年数を算出するためには、Ｒ＝０．５、Ｍ＝２、Ｔ＝３を代入すればよい。答：２２０．０年。
さらに、マニアックな話をすると、７２の法則（その３）においてＭ→∞とした場合は、「連続複利」と言います。そこで、最後のおまけです。
(4)７２の法則その４（連続複利型）
e＾(Ｒ÷１００×Ｎ)＝Ｔ ⇔ Ｎ＝Ln(T) ÷Ｒ×１００
上記の式は「７２の法則３」において、極限を取っています。すなわち、
Ｍ→∞のとき、（１＋Ｒ÷１００÷Ｍ）＾（Ｎ×Ｍ）→e^(Ｒ÷１００×Ｎ)
であることを利用しています。
実践で役に立つかどうかは別問題として、７２の法則をここまで知っている人はフィナンシャルプランナーでもそうはいないと思います。もちろん、現実問題としては「７２の法則その３」くらいまで知っていれば十分です。これはエクセル（表計算ソフト）でも計算できますので、「取らぬ狸の皮算用」を楽しんでみてください。
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