微分方程式・夕子の解法の妙(2020年再訂正版) | 懐かしの家族HP

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2018.04.26

「微分方程式・夕子の解法の妙」

初め私は「解けても、必ず教えるな」と下知しておいた。

この前言を撤回したくなった。その疾きこと風の如く、正確なること何んの如くかはわからないが、驚き感服したので、本人の言を交えながら、つづってみる。

村松「というわけで、考えを改めました」
夕子「いやあねえ。そんな、たいしたことないでしょ、あなたのヒント付きだったし。それより、新しい問題のほうが、さすがにキツいわよ。まだ解けてないもの」
村松「とりあえずの何か式一つでも立った ? 」

夕子「ねえ、改めてあなたに教えて欲しいんだけど、いい ? 」
村松「教えることなんて」
夕子「謙そんはいいの ! 質問いい ? 」

夕子「何ッ ! ? もう一度言いなさいよ ! 人が苦しんでるのに・・」
村松「夕子、まさか身体(からだ)の具合が悪いんじゃないの・・・」
夕子「意気軒昂ッ ! 我れ微分方程式に苦戦の真っ最中なり。質問するよ」
村松「はい、どうぞ」

夕子「どうも覇気がないわね。ま、イジメるのはこのくらいにするか。あのね、微分方程式の文章題ってね、もしもし ? 」
村松「あれ、夕子、これ電話かよ。はいはい」
夕子「バアカ ! 直接でも、もしもしって言う時は言うの ! あのね、あたしが言いたいのは、数学の文章題は、それぞれの単元によって読解する必要があるけど、・・・ ? 何んだっけ・・。みなさい。あなたが余計なこと言うから、話すこと忘れちゃったじゃない ! 」

村松「フフフ、くノ一(くのいち)め、おぬしはやはり、まだまだだのお。甘いッ ! 俺を陥れたつもりでも、そうはいかぬ。お前が言いたいことはとうに読んでおるわさ」
夕子「く、悔しいッ ! ・・・わたしの悩みを教えてもらおうか。さあ」
村松「おぬしは、問題文を読んでなるべく早く取りかかりの式などを思いつきたいのだろうが ! 違うかッ ! 」
夕子「うん、そうなの。ぐすん・・ ! 微分方程式って何んなのよぉ ! ? 」

夕子「あなたって、あたしの脳みその中身のことまで、読み取るのね。そうなのよ。つかみどころがないって感じ、微分方程式って」

村松「ここで話題を変えて悪いけど、この数式会話のテーマは、夕子が俺の放棄した問題を見事に解いたって賞讃の内容で固めることだよ。俺が出した問題は、決して平易な問題レベルじゃないよ。お前、スゴイって感心してるんだから」
夕子「あたしは、あなたの途中までの解法の続きをやっただけ」
村松「違う ! もっと余裕持て。己れを誇れよ」

夕子「優しいのね」

夕子「ホントにそう ? 」

村松「当然。ここまでノロケになっちまって、全然進んでないもん。でもお前の利発さは事実。第一、これ万一読んでるヤツで、理解出来てるの、まずゼロだよ。バカぞろいだ、この世は」
夕子「わかった。もうダダこねないから、余り熱くならないで。あたしたちの趣味が変わってるのよ」

村松「あいよ。でさ、夕子の能力かき乱すようなこと、余りやりたくないから、控えめに話すけど・・」
夕子「ええ、ありがとう。で、何 ? 」
村松「ま、当然だろうけど、数学の問題で、特に文章題で、『これは微分方程式で解くのです』などと悟られるようなのは出題しないだろうけど、でもね、例えばこの例題1なんかだと、物理を連想させる速度・加速度って書いてあるから、微分、つまり導関数が絡むってところに着目すると」

夕子「あ、そうかぁ。位置を微分して速度、さらに微分して加速度なのね。あたし、ダメじゃない、こんなことでは ! ? 」
村松「ほら、もう復帰した。元々夕子の得意の物理だからね」
夕子「ノロケって言われるけど、あなたって優しいのね。学習塾時代の ? 」
村松「今は夕子にだけ。あとの他人には必ずしも優しくない。そこはどうも変わったみたい」

夕子「それ、やっぱり入院経験が ? 」
村松「あるかもね。若造にイジメられたし、どん底を味わった気分で出たから」
夕子「あ、ごめん。そう。あたしには優しいんだ」
村松「そう。ほれた女に優しいのは、何も威張れたことじゃない。単なるエゴだけど。でもお前は、客観的に見ても、男好き(男の好みにかなう女の容姿・気性の意)のする女だ。おっと、話戻すか。と言っても、第一ヒント言ったか」

夕子「この作図は初めからある ? 」
村松「これは、叱られるのかなぁ。例題には必ず解説と同時に図があるから・・。だって、これも俺が解くつもりで書いて、それで夕子に見事解かれちまった最初の問題で力尽きたから」
夕子「ごめんね。あたし、悪いこと言っちゃった」

村松「謝るに及ばない。夕子の激怒を覚悟で、あのあと思いついた俺の勘違いを白状する」
夕子「・・ ! ? 何んで・・。あたしをかついだの・・ ? 」
村松「だから、俺の思い違い。恐いよ」
夕子「おこらないから、白状して ! 」

村松「独断も入るけど、その物理絡みの問題は、微分方程式の文章題ではない」
夕子「何んで ? 」
村松「これは微分法に於ける速度・加速度への応用問題ってだけ。気分悪くしたら、解かなくてもいいよ。お前には物足りないはずだから」
夕子「でも、微分の式立てるのでしょ ? 」

村松「微分の式は使っても、微分方程式として解くものじゃないんだ」
夕子「それじゃあ、微分方程式っていったい何んなのよぉ ! ? 」
村松「ま、夕子が見事クリアーした問題に例えると、微分の式を立ててから、変数分離をやったりして、逆に不定積分する操作のあるものかなぁ」

夕子「解く価値ないの ? 」
村松「申し訳ない。だけど、俺が去年夏に、片っ端から解こうと思って書き写したものには違いない。ただね、もう一つ独断と言ったことを言うとね。いわゆる微分方程式の文章題で、第二次導関数を扱う、『二階微分方程式』の問題はない」

夕子「そうなの。あなた、さすがね。いいわ、あたし、これも解く。気にしないで。去年夏に元気になったばかりのあなたの境遇、思いやらないままになるとこだった。この問題はブログ用に解いたものではないものね」
村松「不甲斐ない相手で、申し訳ない」
夕子「ダメよ、謝っちゃ。さあ、本題に入りましょ」

村松「ああ。改めて夕子が見事に解き切った問題の解法に入ろう。よろしくお願いします」
夕子「何んか照れる。ホントにあたしが八割がた解いたの ? 」
村松「あたぼうよ。さあ、解説入ってくれ」
夕子「はい、これ。殴り書きよ」

村松「・・・・・お前、教科書のと問題集のと、まとめたのかぁ・・ ! てえした頭だぁ・・」
夕子「更新する時は、手書きでもいいし、スキャン画像でも・・。それは大変か・・」
村松「夕子、俺、まだ理解しきってないから教えて ? ブログだと長くなるから、省略だけど、講義願います」

・・・・・講義終了・・・・・

村松「すごいッ ! お前がいなけりゃ、この答出せなかった。現に俺は投げた」
夕子「やだ、照れる・・。でも、ありがとう。あ ! 本文中に入れたイカリの言葉、取りけ・・」
村松「いや、削除せずに、リアル感出す。高校数学を解いてイライラして、それでもギブアップせずに、やりおおせた生徒の労苦と精神力に敬意を表する」
夕子「あたし、生徒 ? 」
村松「あ、訂正・・」
夕子「不要 ! 原文のまま掲載のこと」

「問題と解説」

「設問1」★教科書問題文★
細胞分裂を繰り返して増加するバクテリアの個体数Nは、Nの値が十分大きいときは、時間tの微分可能な関数とみなすことができ、微分方程式dN/dt＝cNを満たす。バクテリアAは、個体数が2倍になるのに4時間かかるという。Aについて、定数cの値を求めよ。(昭和62年数研出版刊『新編　微分・積分』教科書p148補充問題11より)

「設問2」☆問題集問題文☆
★あるバクテリアの増殖率dx/dtは、そのときの量xに比例する。
(1)比例定数をkとして、xを時間tの関数で表わせ。
(2)このバクテリアがm倍になるまでの時間は一定であることを示せ。(昭和60年数研出版刊『要点と演習　微分・積分』422番より)★

上の設問1と2は、事実上、同じ問題である。そこで、解法の便宜上、設問1に於ける微分方程式「dN/dt＝cN」の比例定数c、設問2に於ける比例定数kを、共に設問1に合わせて「比例定数をc」とする。つまり設問2に取り掛かる際には、(1)に於いて比例定数をcとおく。
さらに設問2に於けるバクテリアの数量xも、設問1に合わせてNとおくことにする。
なお、既に明記してしまったが、分数を表わすときの、本来の横線は、ここでは「/」で表わす。例えば二分の一は「1/2」と表わす。

ただし、解法は、設問2を先に解く方が、題意を理解しやすかったので、設問2から解法にかかり、そのあと、設問1に取り組むことにした。

設問2を書き改めておく。
「設問2」☆問題集問題文☆
★あるバクテリアの増殖率dN/dtは、そのときの量Nに比例する。
(1)比例定数をcとして、Nを時間tの関数で表わせ。
(2)このバクテリアがm倍になるまでの時間は一定であることを示せ。(昭和60年数研出版刊『要点と演習　微分・積分』422番より)★

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
村松「本当に恐れ入りました。俺はあきらめて８ヶ月間、放置したままだったもの。この数式シリーズ、俺のブログでも、一級の内容になって来た。あ、夕子のにも掲載してあるな。要するに、『バカにつける薬』シリーズも含めて、たとえ自己満足でも、気に入りのブログになって来た。俺一人じゃあ、だいたい解けないことばかりだから、助かる。もうこの問題、ダメって思ったから」
夕子「あたしも、この年齢で高校数学にチャレンジする醍醐味が味わえるなんて、予想外よ ! 理系で良かった。あ、あなたは文理両道ね。たいしたものだわ。理系の数式を切れの鋭い文章にまとめるあたりなんか、他の追随を許さぬって感じ」

「myoldhome 雑感」
自力を旨とするを心がけたつもりだった。今までは、とりあえず私が解けた問題を「数学・数式」会話のテーマとして来た。もともと自分で勝手に作ったブログ・カテゴリーだったからだ。

そして、振り返って昨年9月。体調良好で、外出を堪能していた。そこで調子にのって、「数学の問題を解こう」と思った。しかし、夕子が見事最後まで解き切った問題を解けないまま、力尽き、月日が過ぎた。

入院経験の延長の如き思いがこみ上げて来た。たとえ彼女であっても、こと数学にかけては頼ってはならぬと。
爾来、８ヶ月。いっそ教わろうと思いかけたが、件(くだん)の思いがとどめた。彼女に頼らざるべし。だが、解法能力の限界は誰よりも己れがわかっていた。もはや解けぬ。そして、逆に私がこれだけ苦闘した問題を、彼女が解いたら、素直に賞讃出来るとの考えがわき起こって来た。

利発な彼女はものの数分で解答を算出、それきり黙った。
人は一人では生きていけないと言うが、私はある意味で信じていない。
人は一人で生き、死するしかないというのが信条だ。他人は冷たいとも解している。

だが、この問題に限り、どれほど世間通の人間でも、まず解けるわけがない。
頼るはただ一人。余人を以て考えることは出来ぬ。世間通は世故に長けているだけで、数学分けても高校数学は、数学教師・塾教師の何割かくらいしか出来ない。
ここに、趣味として生活する理系婦人がいた。
いともたやすく解いて、新たなる問題に取り組んでいる。

☆相棒の真意☆
「でも、物理絡みならまだ救われるけど、純粋に微分方程式オンリーで攻められたら、キツいと思う。そして、だから数学はむずかしいし、楽しい」

〇編集後記〇
本文中にもセリフに書いた通り、実はよく見たら、物理絡みの問題は、微分方程式そのものではない。
詫びのつもりとして、正真正銘、微分方程式の別問題を掲載しておく。

★第一象限に曲線y＝f(x)がある。曲線上の任意の点Pでの接線がx軸、y軸と交わる点をQ , Rとすると、Pはつねに線分QRの中点になっているという。このとき、
xf’(x)＝－f(x)
の成り立つことを示し、この曲線がどのような曲線であるかを明らかにせよ。
★

村松「くどいが、２階微分方程式の文章題は、少なくも高校レベルではあり得ない。２階婦人服売り場でございます。なーんて、古びたギャグ」
夕子「コラ、全然、反省してない ! 」

編集後記 in 2019 ～2020

解法文(スキャンによる式)の中で、以下の箇所は誤りなので、訂正しておきます。誤りの行を太字にします。

『1/NdN＝cdt(左記の式は、掛け算の区切りの記号「・」が抜けているので、下の段落で訂正しておきます)
この操作を用語で変数分離という。
次に両辺を変数tで不定積分する。
log|N|＝ct＋c´(c´は積分定数)』

「訂正文」

『1/N・dN＝cdt (左記の式は、掛け算の記号「・」が抜けていました)
この操作を用語で変数分離という。
次に左辺を変数N、右辺を変数tで不定積分する。
log|N|＝ct＋c´(c´は任意の定数)』

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最終更新日 2020.02.09 21:19:04
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