シュタイナーから読み解く神秘学入門

2007年06月05日

シュタイナーの四次元その２５

カテゴリ：神秘体験空間

　次に、正方形を考える。それが空間中を移動して立方体が描かれると想像する。正方形の動きはそれが最初にあった位置に対して垂直である必要がある。立方体はその面を構成する６つの正方形からできている。立方体の外観を示すには、その６つの正方形を平面上に並べて、展開して置くことができる。

　これらの正方形を上方に折り曲げ、つまり、３次元に移行することにより、立方体を再構築することができる。例えば、６番目の正方形がトップにくる。十字架状の展開図をつくるのに、立方体を２次元のなかに崩した。３次元図形は広げる（展開する）と２次元図形に変わる。

　立方体の境界は正方形である。３次元の立方体は常に２次元の正方形により取り囲まれている（境界づけられる）。１つの正方形を見ると、それは２次元であり、４つの１次元線分でこれまた取り囲まれている（境界づけられている）。

　これら４つの線分を、一次元のなかに広げる（展開する）ことができる。正方形がもつ次元のうちの１つを規定する辺を赤い実線で、もう１つの次元を青い破線で表す。長さと幅の代わりに、赤と青の次元について語ることもできる。

　６つの正方形から立方体を再構築できる。つまり、４という数字（正方形の辺を構成する線分の数）を超えて、６という数字（立方体の側面を構成する平面の数）に至る。このプロセスを更に一歩進めて、６から８（四次元図形の「立法射影面」を構成する立方体の数）へと移行する。８つの立方体を配置して、２次元平面においては、６つの正方形から構成されていた先ほどの図形の３次元における対応物を形成する。

　さて、この図形の裏表をひっくり返して（鏡面反射像をつくり）、折り畳むことができる。８つの立方体を図形全体のなかに閉じこめることができる。４次元空間のなかの４次元図形を創り出すには、８つの立方体を用いる。

　ヒントンはこの図形をテサラクトと呼び、その境界は、丁度、通常の立方体が６つの正方形から構成されるように、８つの立方体から構成される。このように、４次元テサラクトは８つの３次元立方体によって境界づけられる。

　２次元上で見ることができる存在（２次元人間）を思い描く。この存在が立方体から展開された十字架状の６つの正方形を見るときには、平面上の展開図の外側の正方形だけを見るだけで、決して中央の正方形を見ることはできない。

　これは十字架上に展開された４次元物体を見るときも同様で、３次元物体しか見れないので、中央の隠された立方体を見ることはできない（図Ａ）。

　立方体を正六角形の輪郭が現れるように描く。このように平面上に、正六角形が表れるように、立方体を描くと、平面の裏の部分は後ろに隠される。いま見えるのは一種の影の像、２次元空間への３次元立方体の投影である。

　立方体の２次元的な影の像は、菱形、或いは等辺の平行四辺形から構成される。もし、立方体が針金でできているなら、後方（裏）にある菱形も見える。この投影図は６つのオーバーラップ（二重写し）した菱形を示す。このようにして、立方体全体を２次元空間のなかに投影することができる。

　さて、４次元空間のなかにあるテサラクトを想像してみる。その図形を３次元空間中に投影すると、４つの相互に貫入（共有）しない斜めの立方体（平行六面体）が得られる。これらの平行六面体のうちの１つは次のように描かれる（図Ｂ）。

図Ｂ

　しかし、８つの平行六面体は、４次元空間中の４次元テサラクトの完全な３次元投影像を得るには、相互に貫入する（共有する）必要がある。８つの適切な手法で相互に貫入（共有）した平行六面体を用いて、テサラクトの完全な３次元的な影（射影像）を描くことができる。結果として得られる空間図形は４つの対角線（軸）をもつ菱形十二面体である（図Ｃ）。

　　立方体の菱形投影像においては、３つの隣接する菱形が、裏側（鏡像対象）の３つと合致するので、立方体の６つの面のうち３つだけを見ることができる。同様に、テサラクトの菱形十二面体投影像においても、４つの相互に貫入しない菱形立方体だけを、テサラクトの８つある境界立方体の投影として、見ることができるが、それは、４つの隣接する菱形立方体が、残りの四つを完全にカバー（鏡像対称性において二重写し）してしまうからだという。