2013/03/13
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： ただいま学習中
３．角が等しいとは（つづき）
一辺の同じ側で他の二辺が相等しい三角形は唯一である
証明したい命題を否定し、線分CDの同じ側に二点A、Bが存在して、AC=BC、AD=BDであると仮定します。
この状況を線分ABの側から見ると、ABの同じ側に２つの２等辺三角形（ACB、ADB)が存在していることになります。
それぞれの頂点とABの中点Hを結ぶ２線分が同一直線上にある場合、その直線はCDの延長そのものですから、A、Bが直線CDの同じ側にあるという仮定に反します。従って CH、とDHは別の線分 です。
今CHをH方向に延長した半直線上（すなわちABに対しC、Dと異なる側）に１点Eをとります。CH上の点であるため、 AE=BE が成立します。
そのため、今度はDとEを通る直線を考えると、これもまた(直線ABと交わることを認めるならば）Hを通ります。つまり、CHEもDHEもともに直線となります。
すなわち１つの線分HEの延長線が２つ存在することになり、 不合理となります
こうして命題の否定から不合理が導かれたので、この命題は成立します。
以上で「原論」の命題７に相当する命題が証明され、(6)で目指していた、 三辺が互いに等しい三角形が描けることをもって「角が等しい」とみなす 方法が可能であることが確かめられました。
一辺の同じ側で他の二辺が相等しい三角形は唯一である
証明したい命題を否定し、線分CDの同じ側に二点A、Bが存在して、AC=BC、AD=BDであると仮定します。この状況を線分ABの側から見ると、ABの同じ側に２つの２等辺三角形（ACB、ADB)が存在していることになります。
それぞれの頂点とABの中点Hを結ぶ２線分が同一直線上にある場合、その直線はCDの延長そのものですから、A、Bが直線CDの同じ側にあるという仮定に反します。従って CH、とDHは別の線分 です。
今CHをH方向に延長した半直線上（すなわちABに対しC、Dと異なる側）に１点Eをとります。CH上の点であるため、 AE=BE が成立します。
そのため、今度はDとEを通る直線を考えると、これもまた(直線ABと交わることを認めるならば）Hを通ります。つまり、CHEもDHEもともに直線となります。
すなわち１つの線分HEの延長線が２つ存在することになり、 不合理となります
こうして命題の否定から不合理が導かれたので、この命題は成立します。
以上で「原論」の命題７に相当する命題が証明され、(6)で目指していた、 三辺が互いに等しい三角形が描けることをもって「角が等しい」とみなす 方法が可能であることが確かめられました。
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最終更新日
2013/03/13 07:02:09 AM
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