空腹ラッコの雑記帳

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2013/03/23

原論の謎、ユークリッドの罠？(番外b)

カテゴリ：ただいま学習中

直線と半直線

(0) の及ぶ範囲を半直線に限定した場合を考えています。このように設定条件をいわば「緩めた」場合、「直線の二等分角」から「直角」に至るためには、反対側における二等分がその半直線の延長によってなされることを証明する必要があります。

EUCex04

　図では前回触れた場合について、証明すべき部分を拡大したものです。（前回用いた記号は同じものとしました。）線分ADの両側に二等辺三角形 HAD とOAD が描かれています。ADの中点(Mと呼びます)とＨ，Ｏをそれぞれ結んだ半直線はADを角として二等分していますが、同一直線になるとは限らないと仮定しています。この状況から矛盾を導けるでしょうか。

　２つの線分MH，MOのうち短い方を選びます。ここではMOの方が短いと仮定しそのMOをOの方向に延長し、MHと等しくなるようにMPをとります。すると、直線OHに対し線分ADとＰとは反対の側に位置しています。PHもまた直線OHを境として線分ADと反対側にあります。その中点（図には描いていません）も同様です。
　さてPはADを角として二等分するMO上にあるのですがMH＝MPとなるようにとったのですから、 (2) の逆によりPA，PD，HA，HD，はすべて等しくなります。次に線分PHに注目すると、上の４線分の相等関係からADがPHを角として二等分していることが分かります。ところが、上で確認した通りＡとＤはPHに関し同じ側にあり、かつ中点からの距離にADだけの隔たりがあるにも関わらず、それぞれを頂点とする二等辺三角形の等辺が等しくなってしまっています。これは (2) すなわち公準４に反することとなります。

　以上の考察のとおり、「直線の角としての二等分」を直線によらず、半直線によることにしても、直角の導入が行えること、そしていずれの側の（角としての）二等分も同一直線によることが示せます。

今回述べたことは (0)，(1) が「直線を角として２等分する線」に求められる特性を定めているという立場から、考察の必要が生じました。しかし、この (0)，(1) はもっと一般的なものについての特徴付けではないかという視点も、後に申し上げます。その立場からは、適用範囲を半直線に限定することを考える必要性は薄く、その意味では今回の考察も意義を失いますが、直角という重要な概念にかかわることでもあり、ここでは念を入れて検討の結果を示すこととしました。

更新履歴
2013/05/01 第１回加筆

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