2013/03/25
カテゴリ： ただいま学習中
更に寄り道（直線と半直線）
命題７、「原論」では三辺相等ならば合同となることを保証する命題（命題９）の前提となり、今回の考察でも大切な役割を果たす命題です。「原論」ではすで二等辺三角形の底角が互いに等しいことを直前の命題５で証明した後に置かれています。
証明では２つの三角形が描けると仮定されます。一辺は共通で、残り２辺はそれぞれ互いに等しい。そして、２つの頂点は底辺の同じ側にあり、かつ添えられた図では、一方の頂点が互いに他の三角形の 外部 に存在しています。証明の論法は次のとおりです。
共通の辺の一端とそれを端点とする等しい辺
(AC=AD，BC=BD） が二等辺三角形を２つ作る
それぞれの底角は互いに等しいはずである
(∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠BDC)。
ところが
上の頂点の位置関係から底角同士の間で逆方向の不等式が成り立つ
（∠ACD ＞ ∠BCD ，∠ADC ＜ ∠BDC ）
これは矛盾であり、よって異なる２つの三角形は描けない(証明終)
しかしこの証明は二頂点が上のような位置関係にある場合には有効ですが、そうでない場合も存在しています。それは、一方がもう一つの三角形の内部に位置している場合です。番外ａ(22日)に掲げた図について考える必要が、ここでも生じるわけです。
この場合も簡単に証明できるとお考えかもしれません。事実三角形の二辺の和は他の一辺より大きいという 三角不等式 を用いれば簡単に矛盾を導けます。
ところが、この命題は「原論」のごく初めの段階に置かれていて、三角不等式はかなり先になって証明されます（命題20）。そして、命題20(三角不等式)の証明をたどってゆくと、この命題６が用いられているのです。
このままではこの箇所の証明で循環論法が発生しているのではないか、そのような疑念さえ生じてきます。
命題７、「原論」では三辺相等ならば合同となることを保証する命題（命題９）の前提となり、今回の考察でも大切な役割を果たす命題です。「原論」ではすで二等辺三角形の底角が互いに等しいことを直前の命題５で証明した後に置かれています。
証明では２つの三角形が描けると仮定されます。一辺は共通で、残り２辺はそれぞれ互いに等しい。そして、２つの頂点は底辺の同じ側にあり、かつ添えられた図では、一方の頂点が互いに他の三角形の 外部 に存在しています。証明の論法は次のとおりです。
共通の辺の一端とそれを端点とする等しい辺(AC=AD，BC=BD） が二等辺三角形を２つ作る
それぞれの底角は互いに等しいはずである
(∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠BDC)。
ところが
上の頂点の位置関係から底角同士の間で逆方向の不等式が成り立つ
（∠ACD ＞ ∠BCD ，∠ADC ＜ ∠BDC ）
これは矛盾であり、よって異なる２つの三角形は描けない(証明終)
しかしこの証明は二頂点が上のような位置関係にある場合には有効ですが、そうでない場合も存在しています。それは、一方がもう一つの三角形の内部に位置している場合です。番外ａ(22日)に掲げた図について考える必要が、ここでも生じるわけです。
この場合も簡単に証明できるとお考えかもしれません。事実三角形の二辺の和は他の一辺より大きいという 三角不等式 を用いれば簡単に矛盾を導けます。
ところが、この命題は「原論」のごく初めの段階に置かれていて、三角不等式はかなり先になって証明されます（命題20）。そして、命題20(三角不等式)の証明をたどってゆくと、この命題６が用いられているのです。
このままではこの箇所の証明で循環論法が発生しているのではないか、そのような疑念さえ生じてきます。
更新履歴
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最終更新日
2013/04/29 09:00:50 PM
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