2013/03/27
テーマ： 数学(327)
カテゴリ： ただいま学習中
７．「公準」から追加する前提へ
まず、２つの補助命題を扱います
(補助命題 1) 三辺が相等しい三角形を底辺の同じ側に２つ作ることはできない。
（原論の命題７に相当します）
[証明] 結論を否定し、線分の同側に２点が存在して、線分のそれぞれの端からの距離が相等しいとします。するとこの異なる２点を結ぶ線分 s の中点 H をとり、もとの線分の両端とそれぞれ結ぶと、いずれもsと「直交」することになり、第13回の (1) で前提とした「直角の唯一性」に反します。
(補助命題 2) 三辺が互いに等しい三角形の対応する頂点から垂線をおろした垂線の脚は対辺から等しい長さの線分を取り除く。
[証明}三角形ABC、A'B'C'でAB=A'B',BC=B'C',CA=C'A'とします。
A、BCに垂線をおろし、脚をHと呼び、つぎにA'H'=AHとなるようにH'をとり、H'の上にB'C'の垂線を立てます。
すると、まず直角の相等性よりH'E'=H'F'=HAすなわちF'はE'と一致します。
またE'B'=AB=A'B',F'C'=AC=A'C'ですら、本日前半の補助命題からE'はA'と一致します。
故にH'はA'からおろした垂線の脚と一致して、H'の与え方から題意は成立します。
以上の準備をもとに「追加する前提」はつぎのように証明されます。
(追加する前提) 三辺が互いに等しいABC，A'B'C'があり、底辺BC(B'C')上あるいはそれををC(C')の方向に延長した半直線上に線分CD、C'D'をCD=C'D'となるようにとれば、ADとA'D'も互いに等しい。
[証明]上で示した補助命題2により頂点A, A'からおろした垂線の脚H, H' はB'H'=BHを満たします。したがってD'H'=DHも満たします。かつ上の証明で用いたようにA'H'=AHも成立していますので、ここでも第15回で確認した (2)の逆 によってA'D'=ADとなり、題意は示されます。
こうして今回の初めで述べたように、公準４の一解釈を出発点として、角の相等の整合的な定義という、前半で求めていたのと同様の結果が得られました。
まず、２つの補助命題を扱います
(補助命題 1) 三辺が相等しい三角形を底辺の同じ側に２つ作ることはできない。
（原論の命題７に相当します）
[証明] 結論を否定し、線分の同側に２点が存在して、線分のそれぞれの端からの距離が相等しいとします。するとこの異なる２点を結ぶ線分 s の中点 H をとり、もとの線分の両端とそれぞれ結ぶと、いずれもsと「直交」することになり、第13回の (1) で前提とした「直角の唯一性」に反します。
(補助命題 2) 三辺が互いに等しい三角形の対応する頂点から垂線をおろした垂線の脚は対辺から等しい長さの線分を取り除く。
[証明}三角形ABC、A'B'C'でAB=A'B',BC=B'C',CA=C'A'とします。A、BCに垂線をおろし、脚をHと呼び、つぎにA'H'=AHとなるようにH'をとり、H'の上にB'C'の垂線を立てます。
すると、まず直角の相等性よりH'E'=H'F'=HAすなわちF'はE'と一致します。
またE'B'=AB=A'B',F'C'=AC=A'C'ですら、本日前半の補助命題からE'はA'と一致します。
故にH'はA'からおろした垂線の脚と一致して、H'の与え方から題意は成立します。
以上の準備をもとに「追加する前提」はつぎのように証明されます。
(追加する前提) 三辺が互いに等しいABC，A'B'C'があり、底辺BC(B'C')上あるいはそれををC(C')の方向に延長した半直線上に線分CD、C'D'をCD=C'D'となるようにとれば、ADとA'D'も互いに等しい。
[証明]上で示した補助命題2により頂点A, A'からおろした垂線の脚H, H' はB'H'=BHを満たします。したがってD'H'=DHも満たします。かつ上の証明で用いたようにA'H'=AHも成立していますので、ここでも第15回で確認した (2)の逆 によってA'D'=ADとなり、題意は示されます。
こうして今回の初めで述べたように、公準４の一解釈を出発点として、角の相等の整合的な定義という、前半で求めていたのと同様の結果が得られました。
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最終更新日
2013/03/27 07:30:25 AM
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