2013/04/02
カテゴリ： ただいま学習中
「まっすぐ」の検証（つづき）
前回とは逆に、 (1) だけを前提とした場合を考えましょう。
ある線分の中点からのびる半直線で、その線分を底辺とする二等辺三角形の頂点となりうる点が存在するのは線分の同じ側には１つだけである。 ただしその半直線上のすべての点が二等辺三角形の頂点とは限らない 、と仮定します。
図のＰをそのような点としましょう。線分ABの中点からのびる半直線上の点ですが、APとBPは等しくありません。そこで線分の両端から半径がAPまたはBPの半円（円と線分ABの延長によって構成され、Ｐと同じ側にあるもの）を描きその弧部分の交点がこの半直線上にあることを用いて推論を進めてゆきます。
しかしそのためにはAP、BPのいずれかがABの２分の１を超えている必要があります。
図はそれが成立しないと仮定した場合です。AP=AI，BP=BJですがAI はABの中点を通らず、BJも同じです。
この場合 AI+BJ はABを超えません。それは AP+BP がABを超えないことを意味します。したがって、ここでも三角不等式が破れます。
いま、、三角不等式の成立を仮定すると、AI，BJのいずれかが AB の中点を通ります。ここでは AI がそうであるとします。AI=BK' であるようにK'をとると、長さの関係から BK' も AB の中点を通ります。そこで、A, B という２点について、ともに AP を半径とする半円と円（Ａを中心とする半円、Ｂを中心とする円）を考え考察を進めます。
定義３ ）一方はＩ、そしてＩでない方が今回求めていた 半円 （の弧部分）と 円 Ｖの交点であり、 Ａ，Ｂからの距離がいずれも AP であり、かつABに対しＰと同じ側にある 点です。これをＱとすると、特にAP=AQ。つまりＱはＵの弧部分上の点です。
さてこの点Ｑは (0) の成立を仮定していますから、Pを通る半直線上にあります。つまりABの中点というＵの直径部内から出発する半直線が半円Ｕの弧部分と２点で交わることになります。これも、私たちが常識的に考える「 まっすぐな 」線の特性と大きく異なります。
以上２回にわたって検討したように、 (0) (1) どちらを前提から外しても、直線に期待される一般的な特性とは異なる挙動を示すようになります。これらが直線の特徴付けと密接に関連していると考えたもう一つの理由がここにあります。
前回とは逆に、 (1) だけを前提とした場合を考えましょう。
ある線分の中点からのびる半直線で、その線分を底辺とする二等辺三角形の頂点となりうる点が存在するのは線分の同じ側には１つだけである。 ただしその半直線上のすべての点が二等辺三角形の頂点とは限らない 、と仮定します。
図のＰをそのような点としましょう。線分ABの中点からのびる半直線上の点ですが、APとBPは等しくありません。そこで線分の両端から半径がAPまたはBPの半円（円と線分ABの延長によって構成され、Ｐと同じ側にあるもの）を描きその弧部分の交点がこの半直線上にあることを用いて推論を進めてゆきます。しかしそのためにはAP、BPのいずれかがABの２分の１を超えている必要があります。
図はそれが成立しないと仮定した場合です。AP=AI，BP=BJですがAI はABの中点を通らず、BJも同じです。
この場合 AI+BJ はABを超えません。それは AP+BP がABを超えないことを意味します。したがって、ここでも三角不等式が破れます。
いま、、三角不等式の成立を仮定すると、AI，BJのいずれかが AB の中点を通ります。ここでは AI がそうであるとします。AI=BK' であるようにK'をとると、長さの関係から BK' も AB の中点を通ります。そこで、A, B という２点について、ともに AP を半径とする半円と円（Ａを中心とする半円、Ｂを中心とする円）を考え考察を進めます。
定義３ ）一方はＩ、そしてＩでない方が今回求めていた 半円 （の弧部分）と 円 Ｖの交点であり、 Ａ，Ｂからの距離がいずれも AP であり、かつABに対しＰと同じ側にある 点です。これをＱとすると、特にAP=AQ。つまりＱはＵの弧部分上の点です。
さてこの点Ｑは (0) の成立を仮定していますから、Pを通る半直線上にあります。つまりABの中点というＵの直径部内から出発する半直線が半円Ｕの弧部分と２点で交わることになります。これも、私たちが常識的に考える「 まっすぐな 」線の特性と大きく異なります。
以上２回にわたって検討したように、 (0) (1) どちらを前提から外しても、直線に期待される一般的な特性とは異なる挙動を示すようになります。これらが直線の特徴付けと密接に関連していると考えたもう一つの理由がここにあります。
直角の概念を獲得するためとして考えた前提 (０)
、 (１)
を直線の特徴付けとして考えられることを述べましたが、それに伴い、線分の中点にこだわらない、より一般的な表現を提示してみます。
(０) 線分の両端からの距離が等しい点を２つもつ直線は、そのすべての点について
線分の両端から等距離にある。
(以下４月20日追加)またその線分の両側を等しい長さだけ延長ないし短縮して
得られる線分の両端からも等距離にある。（ここまで追加）
(１) ある線分と３点において、３点が同一直線上になければ、少なくとも１つの点は
線分の両端からの距離が等しくない。
(０) をこのような表現に改める大きな利点として、「線分の中点」の存在が保証されることがあげられます。直線と線分（およびその延長）との交点も線分の両端と等距離なるからです。こうして、これまであいまいにしてきた中点の存在も確かなものとなります。（以上4/19加筆。なお翌日更に一部追加）
(０) 線分の両端からの距離が等しい点を２つもつ直線は、そのすべての点について
線分の両端から等距離にある。
(以下４月20日追加)またその線分の両側を等しい長さだけ延長ないし短縮して
得られる線分の両端からも等距離にある。（ここまで追加）
(１) ある線分と３点において、３点が同一直線上になければ、少なくとも１つの点は
線分の両端からの距離が等しくない。
(０) をこのような表現に改める大きな利点として、「線分の中点」の存在が保証されることがあげられます。直線と線分（およびその延長）との交点も線分の両端と等距離なるからです。こうして、これまであいまいにしてきた中点の存在も確かなものとなります。（以上4/19加筆。なお翌日更に一部追加）
更新履歴
2013/04/06 後半の証明を書き換えました。２つの半円のうち一方を円にして、内部・外部を確認する箇所の改良を試みたものです。しばらく旧い記述を下に残します。
今、三角不等式の成立を仮定すると、AI，BJのいずれかが AB の中点を通ります。ここでは AI がそうであるとします。AI=BK' であるようにK'をとると、長さの関係から BK' も AB の中点を通ります。これで、A, B という２点について、それぞれの点を中心とし、ともに AP を半径とする半円が２個作られました。
Ａを中心とする半円をＵと呼び、もうひとつの半円Ｖの直径・弧部分との位置関係を考えましょう。直径の１つの端点ＪはＵの直径部の中にあります。一方もう一つの端点はＵの外にあります。したがってＶの弧の部分はＪからＵの内部を通り、Ｕの外の点に至ります。つまり半円ＵはＶの弧部分から「Ｕの内部にある部分」を切り取ります。切り取られた部分である線の端は点であり（ 定義３ ）一方はＪ、そしてＪでない方が今回求めていた 弧部分 の交点であり、 Ａ，Ｂからの距離がいずれも AP である 点です。これをＱとすると、特にAP=AQ。つまりＱはＵの弧部分上の点です。(ここまで)
2013/04/19 注を追加しました。
2013/04/19 注の (0) に後半を追加しました。
2013/04/06 後半の証明を書き換えました。２つの半円のうち一方を円にして、内部・外部を確認する箇所の改良を試みたものです。しばらく旧い記述を下に残します。
今、三角不等式の成立を仮定すると、AI，BJのいずれかが AB の中点を通ります。ここでは AI がそうであるとします。AI=BK' であるようにK'をとると、長さの関係から BK' も AB の中点を通ります。これで、A, B という２点について、それぞれの点を中心とし、ともに AP を半径とする半円が２個作られました。
Ａを中心とする半円をＵと呼び、もうひとつの半円Ｖの直径・弧部分との位置関係を考えましょう。直径の１つの端点ＪはＵの直径部の中にあります。一方もう一つの端点はＵの外にあります。したがってＶの弧の部分はＪからＵの内部を通り、Ｕの外の点に至ります。つまり半円ＵはＶの弧部分から「Ｕの内部にある部分」を切り取ります。切り取られた部分である線の端は点であり（ 定義３ ）一方はＪ、そしてＪでない方が今回求めていた 弧部分 の交点であり、 Ａ，Ｂからの距離がいずれも AP である 点です。これをＱとすると、特にAP=AQ。つまりＱはＵの弧部分上の点です。(ここまで)
2013/04/19 注を追加しました。
2013/04/19 注の (0) に後半を追加しました。
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最終更新日
2013/04/20 11:55:28 PM
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