カスティール・アミスの雑記帳

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ぷっちょ@ Re:京大文理共通2009年　整数問題(ルジャンドルの定理その2)(01/31) ルジャンドルの定理を使う解法、参考にな…

通りすがり@ Re:化学熱力学：状態量について。内部エネルギーは状態量か？(02/14) 「qもまた状態量なのです」？？？

jjk@ Re:2014 横浜市立大学医学部　4次方程式の解と係数の関係(11/04) 普通にt^4-zt^2+yt-x=0をt^3-At^2+Bt-C=0…

とある経済学部生@ Re:2009 一橋大学　整数問題　ハーディー・ラマヌジャンのタクシー数(11/08) (7)より、p＞qは自明であり、(7)を満たさ…

細かい事ですが@ Re:慶應大学医学部　1993年解と係数の関係と極限(01/31) f(-1)=8*(-1)^3-6*(-1)+1 =(-8)+6+1 …

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2015年01月26日

コメント：問題はとてもシンプル。どこかで見たことある形であり、
Lim (a→∞) (1+1/a)^a = Lim (a→0) (1+a)^(1/a)= eを想像するかもしれないが、
この問題は別の問題である。eに縛られないでほしい。

解法：
0＜a≦1のとき、

1＜(1+a^n)≦1+1^n = 2が成り立つ。
従って、1<(1+a^n)^1/n≦2^(1/n)…(1)となる。
ここで、Lim(n→∞) 2^(1/n) = 1より、

1＜aのとき、

a^n ＜ 1+a^n ＜ a^n + a^n
a^n ＜ 1+a^n ＜ 2a^n
a ＜ (1+a^n)^1/n ＜ a*2^(1/n)…(2)
が成り立つ。ここで、Lim(n→∞) a*2^(1/n) = aより、
挟みうちの原理から、Lim (n→∞) (1+a^n)^(1/n)＝aとなる。

京大の問題といえども、こんな簡単に解けてしまう。
ただし、解き方が思い浮かばないと結構泥沼にはまるかも。

上の不等式が思い浮かばないかもしれない。
だが、別にそれが問題というわけではない。下記のように
普通に式変形して普通に極限を求めても解が出せるからだ。

LogP = Log(a) + (1/n)*Log[(1/a)^n+1]となるので、
Lim (n→∞) LogP＝Log(a) + 0*Log(1) = Log（a)
Lim (n→∞) P = a

ということで、京大の問題にしては簡単かと思います。
極限の復習に最適でしょう。

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