カスティール・アミスの雑記帳

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ぷっちょ@ Re:京大文理共通2009年　整数問題(ルジャンドルの定理その2)(01/31) ルジャンドルの定理を使う解法、参考にな…

通りすがり@ Re:化学熱力学：状態量について。内部エネルギーは状態量か？(02/14) 「qもまた状態量なのです」？？？

jjk@ Re:2014 横浜市立大学医学部　4次方程式の解と係数の関係(11/04) 普通にt^4-zt^2+yt-x=0をt^3-At^2+Bt-C=0…

とある経済学部生@ Re:2009 一橋大学　整数問題　ハーディー・ラマヌジャンのタクシー数(11/08) (7)より、p＞qは自明であり、(7)を満たさ…

細かい事ですが@ Re:慶應大学医学部　1993年解と係数の関係と極限(01/31) f(-1)=8*(-1)^3-6*(-1)+1 =(-8)+6+1 …

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2015年01月31日

平面上のベクトル↑a,↑bが、|↑a+2↑b|=1,|2↑a-↑b|=1を満たすように動く。

|↑a+↑b|の最大値は(ア)となり、このとき、|↑a|=(イ)、|↑b|=(ウ)である。

|↑a+↑b|の最小値は(エ)となり、このとき、|↑a|=(オ)、|↑b|=(カ)である。

コメント：センターでも出そうなレベルの問題だが、典型問題である。
解法ごと覚えてこの類の問題がでたら確実に得点できるようにしておこう。

========================================================
(解法)

↑a + 2↑b = ↑x …(1)
2↑a - ↑b = ↑y…(2)

(1)、(2)を式変形すると、下記(3)、(4)、(5)式が成り立つ。

↑a = (1/5)↑x + (2/5)↑y…(3)
↑b = (2/5)↑x - (1/5)↑y…(4)

↑a+↑b = (3/5)↑x + (1/5)↑y …(5)

今、↑p=↑a+↑bとおく。また、↑xと↑yのなす角をθとおく。

このとき、|↑p|の値は下記のようにあらわせる。

|↑p|^2 = (9/25)*|↑x|^2+(6/25)*(↑x・↑y)+(1/25)*|↑y|^2

|↑p|^2 = (2/5) + (6/25)*cosθ…(6)

(6)より、-1≦cosθ≦1　(0≦θ≦π)なので下記の不等式が成り立つ。

4/25 ≦|↑p|^2≦16/25

2/5 ≦ |↑a+↑b| ≦ 4/5…(7)

※(ア)→4/5 , (エ)→2/5

また、|↑x|=|↑y|=1より、↑x = ↑yだといえる。従って、

↑a + 2↑b = 2↑a - ↑b ⇔ ↑a = 3↑b…(8)

以上より、

↑x = 5↑bとなるので、 25|↑b|^2 = 1　∴ |↑b| = 1/5…(9)が成り立つ。
一方↑x = (5/3)↑aとなるので、(25/9)|↑a|^2 = 1 ∴ |↑a|= 3/5…(10)が成り立つ。

※(イ)→3/5 , (ウ)→1/5

↑xと↑yは逆方向のベクトルになる。
また、|↑x|=|↑y|=1より、↑x = -↑yだといえる。従って、

↑a + 2↑b = -2↑a + ↑b ⇔ ↑b = -3↑a…(11)

以上より、

↑x = -5↑a となるので、 |↑a| = 1/5…(12)が成り立つ。
また↑x = (5/3)↑bとなるので、|↑b| = 3/5…(13)が成り立つ。

※(オ)→1/5 , (カ)→3/5

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