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May 7, 2011

ゲーデルの不完全性定理と数学ガール

(2)

テーマ： ★つ・ぶ・や・き★(566143)

カテゴリ：自然・環境・健康・水

たまたま、本屋に立寄り、漫画コーナーを眺めていると、もしドラと数学ガールが目に入る。

して、もしドラは、既に会社での標準図書にも指定済みだし、いまさらなので、数学ガールを手に取ってみる。　

なんじゃこれは。
「ゲーデルの不完全性定理」がそのお題ではないか。

なんとも、フェルマーに続いて、ゲーデルとは素晴らしい。

残念ながら、最新刊?の数学ガールの中では、ゲーデルの解説はごく一部に限られ、自然数に関するペアノ公理+αまでについて述べられているにとどまるのだが、興味は俄然と湧いてくる内容となっている。

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漫画でなく、オリジナル版には、最終章にゲーデルの不完全性定理が収録されているようだ。

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ゲーデルは、その不完全性定理によって、ごく簡単にいえば、「世の中に完全な理論はない」ということを証明してしまったようなものだ。

しかし、ゲーデルのこの不完全性定理自身も、不完全ではないのかという疑問もわいてくる。

-
ゲーデルの不完全性定理は、「理論」についての定理であり、不完全性定理自体は理論ではなく、「論理」証明なので、不完全ではない。
-
とのことである。

理論と論理の違いも含めて、あれあれ、また、なんとなくだまされたかのような感がある。
このような話をきくと、いつもシュレディンガーの猫実験のお話的な印象を受ける。

我々は、一般的には、意味論的に正しければ、証明可能と考えている。

論理学では、証明可能な文が正しい文であれば、完全。
構文論と意味論とが一致することが、「完全」。

即ち、意味論的に正しい文==証明可能な文。

しかし、

より正確には、ゲーデルの不完全性定理は、算術を含む理論において、「真であるにもかかわらず、証明できない文が存在する」ことを示してしまった。

-
第1不完全性定理・・・自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。
第2不完全性定理・・・自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。
-

tyeesコメント
あれまー、大変だ。ほとんどの数学理論は算術を含んでいる。
ほとんどの数学理論は証明できない部分が存在するということか。

「この命題は証明不能である」という命題Gが正しいとすると、その命題Gは正しいのに証明不能となってしまう。もし、その命題Gが正しくない、証明はできると否定すると、命題Gが証明可能となり、矛盾を起こす。真なのに証明できない命題があるということによって、ヒルベルトが目指した数学の完全性は壊れてしまう。

-memo-
ゲーデルの不完全性定理(1931)
ロッサーの第一不完全性定理の拡張(1936)
チャイティンの数学全般への拡張(1989)。
これらにより、超数学が発展した?

-memo-
・ニーチェは「神は死んだ」と言った。(1885)
・リチャードドーキンスは、The God Delusion、神は妄想であると言っている。
・苫米地氏は、ゲーデル1931、チャイティン1989、グリムの定理1991により、神の完全性は否定されたと述べている。

-memo-
理論・・・論理によって構築された建物。理論と論理は別のもの。
これを理解しておく必要があるようだ。

また、意味論(セマンティクス)と構文論(シンタックス)の違いも理解しておく必要がある。
論理学で言う「完全」とは、構文論と意味論が一致せねばならない。

3+2=5を例にとると、

'3+2=5'
「3」という記号の右に「+」という記号を描いて、その右に「2」と「=」を書く。これが、構文論。3も+も=も単なる記号である。

意味論では、記号を具体的なものに置き換えて意味として成立することをいう。
即ちたとえば、三個と二個のりんごを加えると、合計五個のりんごとなる。これが意味論。

日本語でいえば、文法は構文論で、読解は意味論的。

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Last updated May 8, 2011 04:54:50 AM
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■コメント

Re:ゲーデルの不完全性定理と数学ガール(05/07)

tyees さん

昔から、公理とか定理とか、証明とか色々なものをあまり、区別なくやってきてしまった。特に、難しいことが出てくると、それを、公理だとか決まりだと割り切ってやってきた。しかし、本当にそれが正しいかどうかはわからぬ。意味論と構文論、また、算術的記述の意味がわからなくなると、直感的に記号的構文と考えてやってきたことがあだになる。
今まですべてやってきたことは、正しいかどうかわからぬ。ちなみに、三平方の定理の証明はどんどんその種類が増え続けている。ボーデの法則:太陽から惑星への距離r=0.4+0.3*2^nは、単なる近似解で、経験法則。他にもいくつでも、近似解をつくる式は作れてしまう。 (May 8, 2011 05:14:49 AM)

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Re:ゲーデルの不完全性定理と数学ガール(05/07)

tyees さん

ただし、次元をあげると、ゲーデルの不完全性定理の前提を逃れられる、すなわち、完全な定理、系ができるとの論もあるようだ。
いずれにせよ、私にはわからない高みの話だが、完全性との関連については興味のつきないところである。 (May 8, 2011 05:20:11 AM)

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