カスティール・アミスの雑記帳

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2015年01月31日

1. 2^(1/3)が無理数であることを証明せよ。
2. P(x)は有理数を係数とする多項式で、P(2^(1/3))=0を満たしているとする。
　このとき、P(x)はx^3-2で割り切れることを証明せよ。

コメント：
無理数の証明と、多項式の割り算の融合問題。
2は冷静に条件を整理していくと、割り切れることが解るはずだ。
割り算の原則を思い出そう。

===================================

1．　2^(1/3)が有理数だと仮定する。

2^(1/3) = P/Qと表すことができる。両辺を3乗すると、
P^3/Q^3 = 2 ⇔ Q^3 = 2P^3となる。
　　　ここで、Q^3が偶数となるので、Qは偶数であり、
整数mを用いて、Q=2mとあらわせる。これを代入すると、
2P^3 = 8m^3 ⇔ P^3 = 4m^3となるので、
　　　Pもまた2の倍数となる。以上より、P,Qは2の公約数を持つ。
　　　ところが、P,Qは互いに素であるので矛盾する。
　　　従って、2^(1/3)は無理数となる。

2. P(x)をx^3-2で割った時の商をQ(x),余りをax^2+bx+cとする。
　　　※a,b,cは有理数とする。
　　　このとき、下記(1)式が成り立つ。

　　　P(2^(1/3))=0より、

a*2^(2/3)+b*2^(1/3)+c=0…(2)

　　　(2)×(2)^(1/3)より、

　　　b*2^(2/3)+c*2^(1/3)+2a=0…(3)

(2)*b - (3)*aを計算すると、下記4式が得られる。

　　　もしも、b^2-ac≠0だとすると、2^(1/3) = (b^2-ac)/(bc-2a^2)となり、

　　　2^(1/3)が有理数となるので矛盾する。

上記(4)式が恒等的に成り立つには、下記(5)、(6)式が成り立つ必要がある。

　　　b^2=ac …(5)
　　　bc=2a^2…(6)

　　　(6)より、abc = 2a^3 …(7)
　　　(5)より、b^3 = 2a^3 ⇔ b = a*2^(1/3)…(8)

　　　となる。ここで、a≠0だとすると、(b/a) = 2^(1/3)となり、

2^(1/3)が有理数となるので矛盾する。

　　　よってa=0となる。(5)に代入すると、b=0となる。
　　　更に(3)に代入すると、c=0となる。

　　　よって、x^3-2で割った余りは0となるので、P(x)はx^3-2で割り切れる。

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