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正六面体正八面体複合星型多面体にもオイラーの 定理が適合することを見てゆきます。青い色紙を貼った立方体はわかりますが、金色の噴霧塗装を施した正八面体は、この画像では認めにくい。大きな正三角形が二面見えるが、隠れているのが六面有るのです。それぞれの面に立方体の角(頂点)が表出しています。 正八面体の正三角形が4面見える画像を下に表示します。立方体の一面が見えています。 先ず、面と頂点と辺の数を調べます。 面の数 正六面体 3×8=24 、正八面体 4×6=24 合計48 頂点の数 正六面体 8 、正八面体 6 コル 12 も頂点と数えます。 これらの合計は26 青と金色の角錐の接点がコル(鞍部)です。これも頂点です。 辺の数 正6面体 3×8=24 、 正8面体 4×6=24 これらは 1/2 の大きさの辺を数えている。 さらに正6面体と正8面体の同一面(面上)にある辺も数える。 正6面体の面上で数えると 4×6=24 (同じ辺を正8面体の面上で数えると 3×8=24 どちらの面上で数えても、同じ数になる) ここで 面と頂点と辺の数を整理すると、 面 48 頂点 26 辺 72 オイラーの定理は 線の数 = 頂点の数 + 面の数 - 2 72 = 26 + 48 - 2 で 適合する これで、 星型多面体(特に、複合星形多面体)にも オイラーの 定理が適合することが判明した。ちなみに、2012年12月25日の日記(数学)にも同じ表題で6種類の星形多面体をオイラーの定理が適用出来ることを書いています。
Sep 8, 2016
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ただし、正八角形は穴開きになっています。これは、ジョンソンの立体 s10 を はがき大の画用紙で作ることです。 これを 正方形と正六角形の組み合わせで、正八角形が穴になるように設計して、作りました。 s10 画像です。印刷するパターンは 実線はきります。破線は折り曲げる。その部分が貼り合わせる場所になります。これらを組み合わせて(貼り合わせて)正八角形の穴開きの立体が出来上がります。 貼りあわせた画像は 展開図 に成ります。画像で分かるように、正方形と正六角形が必ず隣り合わせに、貼り合わせられていますので、作り方の説明は、全く必要ありません。この作り方のメリットは、正八角形が穴に成って開いていますので、貼り合せの時、其処へ指を入れられる事です。そのため、貼り合わせがしっかりと出来ます。そして、数学的には、4、6、8 の辺で作られた面の組み合わせで出来ていることが、大変興味がわきます。4 6 8 は公差が2の等差数列になっています。これらの面が、それぞれ、何個で出来ているか数えるのも、面白いと思います。 帰省した息子に、「これを上げる」と言ったら、「前にいくつも貰っているからいらない」と返答されたので、「じゃ、幾面体だか、数えてみろ!」と言ったら、持ち帰って行った。
Oct 6, 2014
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8192は完全数であるか? 不足数についての例14個の数列を項h比を2とした数列で考えてみる。終りの項は8192となる。この8192は完全数であるか8192の約数の数列は、下のようになる。1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 (8192)完全数であることの条件は、n-1個(自分自身を含まない個数)の約数の数列の和が自分自身と等しい時の数である。自分自身を除いた約数の数列の和は1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048=8191この8191は8192(自分自身)より小さい数である。つまり、8192に対して不足しているので、不足数となる。注不足数の定義については、下記のような記述がある。(ウィキペディアによる記述)この不足数の定義は「その数自身を除く正の約数の総和が元の数より小さくなるような数」と同値である。例えば「15の自身を除く約数の総和は 1+3+5=9
Oct 22, 2013
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この数表を大きく表示したいとので、表を分割して載せました。この表の右側の図を下に載せます。大きな表が表示できて、その数字の羅列がたいへん美しく感ぜられます。赤数字と紫数字の色区別藻はっきりと認められて、規則正しく数字が並んでいるのが、本当に奇妙なくらい不思議で、驚かされます。だから、完全数!?表の見方1 最左の縦列の数は紫数字の完全数まで数列の半数(紫数字は約数ではない) 完全数の公式のnをあらわしている。2 最上部の横列数は、その数列の個数3 左側のn個と右側のn個は左から右へ2倍となっている。4 赤数字の右の数字は(赤数字×2-1)ここが不思議な点です。 しかし、間違いなく約数です。 以上の特徴が非常に綺麗に整っているのが美しい!ここではn=10までとしたが、上の特徴を考慮すれば、nは20でも、30でも完全数が求められるはずです。 初めてこの完全数を発見した人は30数個までしか求められていないと、あるコーナーに書いてありました。 コンピュータがなくて、手計算だったからでしょう。 なんとしても、ぜひともこの数の並びの美しさを見てもらいたかったので、こんな工夫をして大きな数字の見易い表に作り直しました。
Sep 23, 2013
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神様がお作りになった完全数 天地創造をなさった神様が、数の管理統制もしておられると信じる。それであればこそ、このように不思議な数も神様には簡単に作られる。それを発見した人は、神を証明したのです。数学の分野において。あまりにもすばらしい数であるので、その完全数の表を、もう一度作り直しました。見やすいように、罫線も引きました。完全数を含めた2n個の数列の中央で二倍系列が変わるn個目の数を赤数字で表現しました。一番右の完全数は紫数字で表現しました。EXCELで作った表ですが、元図はA4判の紙に一杯になるようにして非常に見やすい表でしたが、楽天写真館では、この種の表は大きく表示してくれないようです。どこかクラウドにでも、大きな表を載せましょう。(少し時間を下さい)表の見方1 最左の縦列の数は紫数字の完全数までの約数の個数(紫数字は約数ではない)2 最上部の─列数は、その数列の個数3 左側のn個と右側のn個は左から右へ2倍となっている。4 赤数字の右の数字は(赤数字×2-1)ここが不思議な点です。5 nは完全数公式のnでもある。 以上の特徴が非常に綺麗に整っているのが美しい!ここではn=10までとしたが、上の特徴を考慮すれば、nは20でも、30でも完全数が求められるはずです。 初めてkの完全数を発見した人は30数個までしか求められていないと、あるコーナーに書いてありました。 コンピュータがなくて、手計算だったからでしょう。
Sep 22, 2013
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EXCEL2000でマクロプログラムを作って、nを求めてみました。下の数表は 完全数32640をA1セルに書きこんで、マクロ実行した結果です。 A1 とC2が等しくなって、nの値は8になっています。そのプログラムを下に載せます。 Sub FORN()Call NumberSet サブルーチンを呼び込むEnd Sub 以下がサブルーチンです。Sub NumberSet()Range("A1") = "32640" ・・・・ A1セルに完全数を書き込む.Range("A2").Formula = "2"Range("D1").Formula = "1"Range("C2").Formula = "0"Do Until Range("C2") = Range("A1") 等しくなるまで繰り返す Range("B1").Formula = "=A1/2" Range("A1").Select 循環参照エラー防止策で2行セットする Activesel1 = "" Range("A1").Formula = Range("B1") Range("b1") = Range("a1") 元の数値に戻すため Range("B1").Select 循環参照防止策 Activesel2 = "" Range("C1").Formula = "=A2*2" Range("A2").Select Activesel1 = "" Range("A2").Formula = Range("C1") Range("c1").Formula = Range("a2") 元にもどすためのステートメント Range("C2").Formula = "=C1-1" Range("D2").Formula = "=D1+1" Range("D1").Select Activesel1 = "" Range("D1") = Range("D2") Range("D2") = Range("D1") ・・・・ D1セルに n の値が表示されている.LoopRange("d3").Value = "nの値"MsgBox "nの値は" & Range("d1") & "です"End Sub此の設計に先駆けて、完全数は120として、プログラムを作った。繰り返しの検証が楽であることを考えたのです。エラーが何度も出て、そのつどマクロの参考書と首引きでステートメントを書き換えては実行して、デバッグを行った。 苦労もしたがエクセルのマクロを楽しんで、マクロの図書をもう一度読み直す機会を得た事は幸いだった。 何十年もプログラムを作らないでいると、その作法を忘れてしまうものですね。
Sep 19, 2013
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指数式と対数式の表記が面倒であったので省略したが、JPG画像で表記すると下図の様になる。
Sep 19, 2013
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完全数公式の指数と対数の関係完全数の公式は 2^(n-1)(2^n-1)=2^(2n-1)-2^(n-1)これを 2^(2n-1)=α・・・・・・(1) 2^(n-1)=β・・・・・・(2) 故に 完全数は α-β で表せる。 上の(1)式と(2)式を 対数形式で表して、操作してみるとそれぞれ、次式のようになって、その結果が面白い。 計算式は省略します。 計算結果は 2^n = α/β が現れる。これらの関係を表に作ってみた。 perfect number table3.JPG
Sep 17, 2013
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完全数に関する問題完全数に関してまとめのつもりで、その問題点を考えてみた。問題1 完全数が与えられた時、その約数を列挙する。問題2 その約数の個数を数えること問題3 その約数の最大値を挙げること。問題4 その完全数を求める式において、nはいくつか。これらを調べる時、次の2個の数表が役立つ。表1 perfect number 6-10 ・・・9月11日ブログの表と同じ 完全数の約数表の n=6 から n=10 までの約数と完全数の一覧表です。 下線の有る数字までは上から順次2倍した数が列挙されている。 下線の有る数字の次の(その下の)数字は2倍した数マイナス1の数です。 以下は順次その数の2倍した数となっている。 一番下の数字 6,7,8,9,10 は 下線数字までの約数の個数で、完全数を求める公式のnと一致している。 縦数列の一番下の数が完全数です。表2 perfect number table2 表1を横書きにした表です。約数の数列が見られます。その数列の右側の最大値が完全数です。一番上の行は個数を示す数です。一番左の縦列は完全数を求める式のnの値です。約数の最大値 完全数の 1/2 の数 これは完全数の一つ左側にある数問題1から問題3までは上の二つの表から、簡単に求めめられるが、問題4を完全数の公式から計算で求めることは非常に困難であった。かなりの時間を費やして計算を試みたが、答えは出なかったので、これもまた、表にしてみることにした。 その方法は完全数を求める公式から 完全数は α-Β として考える表としたのでした。 此の表については、次回の記載と致します。
Sep 16, 2013
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等比数列の公式を用いて証明する完全数 n=4 のときの 完全数を求める数列の和が 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 を求めることとなったので、等比数列の公式を用いて解いてみる。等比数列の公式は Sn=a*(1-r^n)/(1-r) ただし r ≠ 1 初項 a 、項比 r、項数 n上の式に於いて a=2^3 、r=2 、n=4これらを公式に当てはめると Sn=2^3*(1-2^4)/(1-2)=(2^3*-2^3*2^4)/(1-2) =2^3*2^4 - 2^3 = 2^3(2^4 - 1)以上で 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 は 2^3(2^4 - 1) であることが証明された。 公式も忘れてしまって、それなりに、昨日は解いてきたが、公式を用いれば、このようにスマートな証明が出来たのでした。(簡単な計算でした。)
Sep 13, 2013
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メルセンヌ素数による完全数公式の証明 Mn=2^(n-1) であれば、完全数は 2^(n-1)Mn=2^(n-1)*(2^n-1)で求められる。この式が成立することを約数の合計から求めた式で、証明する。n=3 のとき 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 = 2^0 + 2^1 + (2^3 - 1) + (2^4-2) = 2^0 + 2^1 + 2^3 - 1 + 2^4 - 2 = 2^2 + 2^3 + 2^4 = 2^2 + 2^2 * 2 + 2^2 * 4 = 2^2 * (1 + 2 + 4 ) = 2^2 * ( 7 ) このとき 7 = 8 - 1 = 2^3 - 1 であるから 28 = 2^2 * ( 2^3 - 1) = 2^(3-1) * (2^3 - 1) 結果は 2^(n-1)Mn=2^(n-1)*(2^n-1) を満足している。同様に n=4 の時も 120 = 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 = 2^3 * (1 + 2 + 4 + 8) = 2^3 * 15 = 2^3 *(2^4 - 1) n=5 のとき 496 = 2^4 * (1 + 2 + 4 + 8 + 16) = 2^4 * 31 = 2^4 * (2^5 - 1) n=6 のとき 2016 = 2^5 * (1 + 2 + 8 + 16 + 32) = 2^5 * 63 = 2^5 * (2^6 - 1) n = 7 , 8 , 9 , 10 と 代えても、同様に 完全数を求める公式で計算したのと同じ結果が求められる。 以上の結果でわかったことは、約数の数列の和を表計算で行ったのと公式で求めたのと合致するということです。
Sep 12, 2013
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メルセンヌ素数による完全数 Mn(=M^n-1)のメルセンヌ素数を用いて完全数が次の式で求められる。 2^(n-1)Mn=2^(n-1)(2^n-1) 注 : ^ は べき乗上式によって完全数は次に示されるように求められている。(n を 2、3、4、.....9、10と代える) 6=2^(2-1)(2^2-1) 28=2^(3-1)(2^3-1) 120=2^(4-1)(2^4-1) 496=2^(5-1)(2^5-1) 2016=2^(6-1)(2^6-1) 8128=2^(7-1)(2^7-1) 32640=2^(8-1)(2^8-1) 130816=2^(9-1)(2^9-1) 523776=2^(10-1)(2^10-1)これは表計算で求めた数値と一致する。nは数表では自分自身と約数の個数の合計の半分の数値と一致しているのが面白い。 数表でn=4に該当する完全数120の数列の合計からメルセンヌ素数を用いた完全数の式が導き出されることが証明も出来る。次回は此の証明を記載します。
Sep 12, 2013
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数表計算で求めた完全数前頁で、数列個数の半数値が7~10までの完全数も、同様に表計算で求められると信じたので、それを実行した。下の図のように求められた。約数表示の一番下の数値が完全数です。(この数値は約数には該当しない)自分自身と約数の合計個数の半分の数値が、次のページ(9月12日記載)に記述してあるメルセンヌぬ素数のnと一致している。 n=6 のとき 2016 n=7 のとき 8128 n=8 のとき 32640 n=9 のとき 130816 n=10 のとき 523776完全数を除いた上表の約数(2n-1個)の合計が完全数である。nは上の表の最下部の数値です。
Sep 11, 2013
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神の作られた完全数は全く不思議な数である。このことについては、1月6日の日記に書いたが、この数をダウド・サットンは、更に続けて説明している。次のとおり。 新ピタゴラス学派は、最初の完全数が 6 なのは「神が6日間で世界を創造した」こと(天地創造)、次の完全数が 28 なのは「月の公転周期が28日である。」と。月の公転も、地球の自転も、すべて神の御手の内に有る。 この完全数も神が作られた数であり、それを数学者が発見しただけのことである。しかし、人間が考えた時、全く不思議な気がする。この約数の数列を見たとき、すべて、一致した規則がある事を発見してまさに驚いたのです。この数列は丁度中間が2倍数の関係を逸して居るだけで、凡て2倍数になっている。 下の表はそれを示している。最上部の数が完全数である。自分の数(完全数)を除いた数列の和が完全数と呼ばれたものであって、自分を含めた数列の個数の 1/2 を最下部の線外に記入してある。 この数列の中央線の上の数は下の数の2倍より1だけ少ない。この線の上側も下側も、上の数/下の数=2 が成立する。6個の完全数をこのような規則で作られているのを発見して、これ以上の大きな完全数も、同じ規則で作られていると想像した。「想像した」と言ったのはそれ以上の表計算をしてないからであって、多分、同じ規則になっていると信じたのであった。 ここ数ヶ月、ブログの記入がなかったのは、宇宙天地、世界を創造された神のことを瞑想していたのであって、1月16日に認識させられた完全数のことについては、以上の事は全く知らずにいたのでした。 ブログの記入もだいぶご無沙汰したので、何か書かなければならないと考えた時、この完全数の不思議さを発見したのであった。 科学者は、結局は神の栄光をあらわす仕事をしていると言うのも新しく発見したことでした。 そして、多面体成るものも、神が既に作られてあったもので、それを私は熱心に製作し、その中の数学を楽しんでいたのは、神が私に与えてくださった趣味であると同時に、そのことから神の栄光を顕すと言うことなのであった。多面体は「アートオブゴッド」(art of GOD)であると、私は信じたのでした。この完全数についても、多面体研究を行ってきた時に、知ったのだから。
Sep 10, 2013
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正8面体の個数 Sn8 = (1/3) * n(n+1)(2n+1) - n^2正4面体の個数 Sn4=(1/3)*4n(n-1)(n+1)上の計算を行うのに、nを入力すると直ちにSn8とSn4を表示してくれるプログラムを、表計算で行おうと考えた。その結果下のような書き込みをセルにセットした。セルB2に拡大する倍数を入力すると、たちどころに、それぞれの個数が表示される。上図では倍数20をセルB2に書き込んだ。セルには下記のように書き込みがなされてある。B6 =4*B2*(B2-1)*(B2+1)/3 C6 =B2*(B2+1)*(2*B2+1)/3-B2*B2 セルB6には正4面体の個数が表示され、セルC6には正8面体の個数が表示される。この計算表は、非常にコンパクトに作られた。表計算は たいへん便利です。
May 7, 2013
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正8面体と正4面体の合成で、辺の大きさをn倍にする正8面体を作るときの関連公式(1) 正8面体の個数n^2の数列の総和を求める式は Sn=1^2 + 2^2 + 3^2 + ・・・ + n^2 = (1/6) * n(n+1)(2n+1)で あるから その必要個数Sn8は Sn8 = 2Sn -n^2その結果、次の式が求められる。 Sn8 = 2 * (1/6) * n(n+1)(2n+1) - n^2 Sn8 = (1/3) * n(n+1)(2n+1) - n^2(2) 正4面体の個数表計算で求めるとき、各セルに2m*(m+1)をセットしたが辺の大きさを5倍にするときの例で、公式を作ることを解明する。各セルには 下記のように セットされている。 1層 2 * 1^2 + 2 * 1 2層 2 * 2^2 + 2 * 2 3層 2 * 3^2 + 2 * 3 4層 2 * 4^2 + 2 * 4 5層 2 * 4^2 + 2 * 4 6層 2 * 3^2 + 2 * 3 7層 2 * 2^2 + 2 * 2 8層 2 * 1^2 + 2 * 1 上記 の 全合計Sn4は Sn4 = 2 (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)*2 + 2(1+2+3+4)*2 =4{(1/6)*4(4+1)(2*4+1) + (1/2)* 4(4+1)}一般に m層までの全合計 Sn4 は Sn4=4{(1/6)*m(m+1)(2m+1) + (1/2)*m(m+1)}辺の大きさをn倍するとき、mはnより一つ少ない数値であるから m=n-1 を 上式に代入して、(中間計算式は省略する)正4面体の個数 Sn4 は 次の結果を得る。 Sn4=(1/3)*4n(n-1)(n+1)総合結果 辺の大きさが等しい正8面体と正4面体を合成させて辺の大きさがn倍になる正8面体を作るとき、必要個数は下記の計算式で求められる。正8面体の個数 Sn8 = (1/3) * n(n+1)(2n+1) - n^2正4面体の個数 Sn4=(1/3)*4n(n-1)(n+1)公式の適用4月24日に表計算で求めた20倍の正8面体を作るときの正8面体と正4面体の個数を求めてみよう。正8面体の個数 (1/3)×20×21×41-20×20=20×7×41-400=5740-400 =5340正4面体の個数 (1/3)×4×20×19×21=4×20×19×7=10640 この結果は4月21日に表計算で求めた結果と等しい。この結果は表計算を使わなくても、公式から簡単に求められるということだ。
May 6, 2013
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ケプラーの星型8面体は正8面体の各面に正4面体を載せたのと同じ立体であるので、正8面体の体積と正4面体の体積が分かれば、その合成により求められる。辺の大きさをaとして正8面体の体積 (√2/3)a^3 ( a^3 は aの3乗とする)正4面体の体積 (√2/12)a^3同じ辺の大きさで比較して正8面体の体積はは正4面体の体積の4倍である。以上のことから、ケプラーの星型8面体の体積は √2a^3 であることが分かる。ケプラーの星型8面体の頂点を直線で結ぶと正6面体(立方体)が形成されるのでその立方体の12箇所の削り取られた部分を立方体の体積から差し引けば、ケプラーの星型8面体の体積が求められる。こんな求め方は、普通は、しないが 数学的には興味がある。 この方法で求めるには、その削り取られた部分の体積を知らねばならない。これは、下図の4面体の体積を求めると、不思議なことに正4面体の体積と同じ結果が出る。 上の図で、ABDCの立体は、立方体から削り取られた4面体をコピー用紙で作り、埋め合わせた様子を表示している。(ADの長さは√2a OCの長さ=OBの長さ=(√2/2)a )逆に、立方体の体積からケプラーの星型8面体の体積を引くと、削り取られた12箇所の4面体の体積の合計が算出される。その1/12が正4面体の体積と同じ数値になっている。これに関連した実験を Aug.30.2011 に行っている。「違った形の多面体の体積が等しいことを砂で実験する」として、記事を書いている。そのときに実験器具に使った多面体が、下図のようなものであった。この右図が正8面体の1/4のものであって、これを4個合わせると正8面体が合成されることが発見されて、ケプラーの星型8面体は不思議な立体であると感慨深く感じた。 以上のことは、実際に計算して確かめたのであるが、計算式の羅列は一般の読者には不要の長物と考えて省略します。この計算結果で、いちばん驚いた不思議なことは削り取られた4面体と正4面体の体積が等しいことだった。数式計算に興味のある人は、ぜひとも、以上の計算を行ってみてください。不思議な結果が、実感できますヨ!不思議な計算吟味0 立方体の体積 (√2a)^3=2√2a^31 削り取られた4面体の体積2 立方体からケプラーの星型8面体を差し引く、体積計算3 立方体から削り取った12箇所の4面体合計を差し引く、体積計算 すべて、想定したとおりの結果が出ます。
Apr 29, 2013
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正8面体の拡大合成 20倍では正8面体と正4面体はそれぞれ何個になるか前頁で、20倍でも30倍でも、発見された一般式に基づいて計算すれば簡単に求められると書いたので、実際に計算してみる。EXCELでの表計算では、正8面体5340個と正4面体10640個で合成できることが分かった。 その表計算結果は下記の通り。 ただし20倍だけを計算する。この計算の合理性の確証正4面体個数を正8面体に換算する。10640/4=2660正8面体の個数は合計で8000個(5340+2660)となる。20倍にしたので、体積比は20の3乗に比例するので、8000となる。これが正8面体の総個数8000個という数値8000に等しくなるので、表計算して求めたそれぞれの個数は 正8面体 5340個 正4面体 10640個この個数は正しいと証明された。正8面体合成に関する隠された規則的な数式を発見したことによって、EXCELによる表計算が簡単に出来て、合成に要する2種の多面体の個数が簡単に求められるようになった。これは数学の遊びであって、実際に正8面体を5340個と正4面体を10640個作って、大きな正8面体を合成するなどという根気の要る作業はまったく出来ないのが実情だ。先に、20倍でも30倍でも簡単に求められると発言したので、その実証をしたまでのことである。
Apr 24, 2013
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正8面体の中に隠された不思議な規則性のある数式 正8面体の辺を4倍にした正8面体で実験したので、この正8面体でそのことを見て行こう。逆に正8面体の辺を四分の一の大きさの正8面体と正4面体が中に何個含まれているかということを考える。その答えは正8面体が44個と正4面体が80個含まれているということになる。 先ずこの答えが正しいことを証明しておこう。正4面体は体積が正8面体の四分の一であるので、この80個の正8面体は20個の正8面体に相当する。この大きい正8面体の中には正8面体が64個(44+20=64)あると考える。この64個の正8面体の体積は辺の大きさの3乗に比例するので、4の3乗が64となって、公式通り正しいことが分かる。正8面体の個数を計算するときの数式の規則性正8面体が4階層になっている1,4,9,16はそれぞれ階層数の2乗となっていて、小さな正8面体階層数までのそれぞれの階層数の二乗となっている。正8面体の個数を計算するときの数式の規則性は二乗という簡単な規則であることが分かった。正4面体の個数を計算するときの数式の規則性この場合の正4面体の階層は3である。この数値は辺の比(4:1)の4からマイナスの3である。 第1表から辺の比がいくつであっても、その階層数は辺の比マイナス1なのである。 さて、今見ている正4面体の3階層の数値は4、12、24である。この数値の規則性を見出そう。 4=1×4 =1×2×2 12=2×6=2×2×3 24=3×8=3×2×4階層数をmとすると、m×2×(m+1)と成っているので、各階層の数式は 2m(m+1)であらわせる。辺の大きさが1である正8面体をn倍にしたときのこの正8面体の中に含まれる正4面体の個数を計算するとき、n-1階層までの数値を、この数式に当てはめて設定して、その合計の2倍が正4面体の個数である。辺の大きさをn倍にしたときの正8面体と正4面体の個数計算 nはいくつであろうと、以上の数式を用いれば、表計算によって、簡単に計算して求められる。 第1表 拡大に要する正8面体と正4面体の個数表第1表は辺の大きさを8倍にしたときまでの表であるが、10倍であろうが、20倍であろうがどんな倍数でも表計算で計算ができる。その数式を用いた表計算の合理性 第2表 拡大に要する個数表表計算によって得られた正8面体と正4面体の個数の表が倍数の3乗になっていることが証明されたので、第1表は正しいことが分かる。 この第1表を作るとき、不思議な規則性の数式が発見されたので、表計算が容易に出来たのであった。
Apr 16, 2013
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8面体と正4面体を組み合わせて大きな正8面体を作る問題_正8面体と正4面体それぞれの個数計算 この計算は非常にややこしいのですが、大変興味ある問題ですので、発表します。過去において、正四面体の拡大についての個数計算問題を解きましたが、それ以上に面倒な問題となっていました。 何しろ多面体模型を紙工作で行って、それを積み上げていって確証したのでしたから。今回はその正四面体よりも個数を要する手間のかかる問題となりました。とても7倍までの確証実験は行いきれません。しかし、数式が発見されれば、7倍どころか9倍でも10倍でも、正八面体の拡大に要する正8面体と正4面体のそれぞれの必要個数が計算できることが分かったのでした。その実験を行った3倍拡大と4倍拡大の実験から見ていただきます。正8面体と正4面体で変の大きさを3 倍にした正8面体を組み立てる 3倍拡大組み立てるとき、正8面体と正4面体を積み上げられるように、正8面体の形状に合うような入れ物を用意した。その入れ物に2種類の正多面体を組み合わせて、辺の大きさが3倍になるような正8面体が合成された。正8面体が19個、正4面体が32個で合成されている。組立順序正8面体と正4面体で辺の大きさを4 倍にした正8面体を組み立てる 4倍拡大正8面体が44個、正4面体が80個で合成されている。実際に正8面体を44個と正4面体を80個作り、用意した入れ物の中に組み込んで行ってその個数を確認した。その合成正8面体の写真です。 4倍合成手順下から入れ物の縁まで積み上げた図は省略されて、正4面体24個の辺が入れ物の縁と同じ高さになった図から示しています。1 がその図です。2 は その次に正8面体を16個を載せた図です。3 は その上に正4面体を24個を載せた図です。この組立順を表にしたのを次に示します。 4倍_組立順序表 最初に正8面体を1個いれ、次に正4面体を4個入れることを赤の矢印で示している。最後に、正8面体を1個載せれば終わりです。それでは、辺の大きさを5倍、6倍、7倍などと 大きくして行ったら 正8面体と正4面体の個数は幾つになるのだろうか。これを計算で求めてみたのが、次の表です。 拡大に要する個数表この表は、次の表を個数の合計数をまとめた表ですが、下の組立表の合計だけを表にしたものです。 拡大に要する正8面体と正4面体の個数表この表を作るにあたって、計算式を求めました。その計算式は、どのような構成になっているかを考えて、正8面体と正4面体の構成数式が次のように発見されました。正8面体についての構成式 二乗の式 4、9、16 は 2の二乗、3の二乗、4の二乗 です。正4面体についての構成式 は 各倍数の正4面体を順次入れた順で、表にしてみたとき、その構成が発見されました。その正4面体個数計算表を下に掲げます。 正4面体個数計算表この表は正4面体の下半分の個数表です。したがって、正4面体の合計個数はその2倍になります。この計算を行うに際して、EXCELで表計算を行いました。倍数をmとすると、セルに入る数式が 2m(m+1)に成っていますので、セルには m*2*(m+1)と書き込んであります。mは倍数を示すセルです。このようにして、合計計算もΣで簡単に求められた。2m(m+1)の式を発見するにあたっての数値の整頓を行って、どんな構成になっているかを考えてみたら、どのセルも同じ構成になっていることがわかったのです。その発見過程についての説明は、次回のページで致します。
Apr 13, 2013
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正20面体正20面体作品どの頂点にも正三角面が5個集まっている。5個集まった正3角形の輪郭は正5角形になっているのが特徴。貼り合わせが楽に出来る正20面体の展開図ダヴィンチの星 第5番目の星 正三角錐が5個集まっているのが見える。1個を見るだけでなく、数個置いて違った角度から見るのと同じ見方が出来るので、作品を4個並べて写した。自由に製作できる組立部品の設計図 この正三角形が直列に並んだ帯で正3角錐を作り、その組み立て方で自由にダ・ヴィンチの星が自由に作れる。いろいろな組み立て方をして、創造性を発揮させるのが楽しい工作となる。四個組の正三角錐と二個組の正三角錐の集合正3角錐が4個の部品が二つ(正3角錐8個)、正3角錐が2個の部品が六つ(正3角錐12個)で、合計20個の正3角錐がある。これらを自由に組み合わせて、ダ・ヴィンチの星を作る。 正20面体の特徴を理解しているので、正5角錐が5個集まるように組み合わせてゆく。自由な発想で組み合わせるので、時には、1個を切り離さなければならない場合が生しる。その場合の準備で、接続用の糊代部品が用意されている。 決められた通りに組み立てるだけでは面白みが無いので、こんな部品で製作するのが創造性をたくましくするのに役立つ。
Apr 12, 2013
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正12面体 と ダ・ヴィンチの星正12面体古葉書で作る正12面体用紙の使用率を考えると、部品組立のほうが大きな立体が作れる。展開図法で作ったのと大きさを比較してみる。 左が部品組立法で作った正12面体 右が展開図法で作った正12面体 その設計図を下に提示する。 4分割した部品で組み立てる設計図 ダ・ヴィンチの星 第4番目の星 作品部品組立て法による設計図貼り合わせと組立途中の作品噴霧塗装のかからないように糊代を折り込んで隠して吹きかけた。乾燥してから糊代を正規に折り返したが、一箇所そのようになってないところがある。 設計図面の実線と破線の表現 実線は山折、破線は谷折であるが、実線だけでも折込が分かりやすいときは、破線は用いない場合が多い。製図が楽に出来る方法とする。
Apr 10, 2013
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正4面体 正4面体が多量に作られた画像を展示します。正4面体に正4面体を4個載せたダ・ヴィンチの星単色の画像では全体の形がどのようになっているか分かりにくいので、載せた正4面体に色紙を貼り、それをさまざまな方向から写真に撮りました。 このだ・ヴィンチの星は簡単に作れるので、大きさも変えたりしてたくさん作りましたので、それを展示します。製作展開図実線は山折で、破線は谷折にして、糊代部で貼り付けて出来上がる。
Apr 3, 2013
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正8面体と正4面体の合成で正4面体を拡大する_6個の多面体で正8面体を作るパズル 正4面体と正8面体で作る正8面体の拡大 以前、正4面体の拡大については記述済であるが、正8面体の拡大については記述してなかったので、この度、新たに正確な設計を起こして、その確証を記述することとした。 以前の作品の画像 これは正8面体の隣接正三角面に正4面体を二個載せて出来た合成多面体4個と正8面体2個で組み立てられている。 正8面体の隣接正三角面に正4面体を二個載せて出来た合成多面体の設計図 その設計図を画用紙に印刷してデジカメで撮影した画像この設計図で製作した8面体4個と正八面体2個で辺が2倍の正8面体が組み立てられる。その合成多面体の体積計算をしてみると当然のことであるが、興味ある計算が行える。正4面体の体積を1として計算する計算表を下記に示す。辺が2倍になると体積は8倍(2の3乗倍)に成る。上の計算表は正4面体の体積を1としたときの表であるので、32/4=8 が辺を2倍にした正8面体の体積比となって、計算は正解となる。 立体の体積は体積比の3乗に比例するというのが、この表で認められている。数値を見るのは面倒だ、興味が無いという人にはつまらない冗長な計算だと思われるが、「多面体紙工作で数学を楽しむ」というのがこのことなのです。関連ページ 2009年 6月11日 正8面体に正4面体を4個あわせると、辺が2倍の正4面体となる2009年 6月21日 正4面体と正8面体の組合せで、大きな正4面体を作る 日記一覧のページを開くリンク我楽免機の日記の一覧 多面体紙工作での実験A B C D は 正8面体に正4面体が2個載っている形の8面体 E と F は 正8面体 左図は正8面体を置いた図 右図は8面体を2個 合わせた図左図は8面体を1個だけ追加して合わせた図 右図は更に8面体を1個合わせた図最後に正8面体を載せて辺が2倍の正8面体が完成した図「この6個の多面体で、正8面体を作りなさい。」と言うパズルを行なおうとも考えたのであった。更に、部品を多くして(8面体を二等分した、正4角錐と正4面体の合成多面体8個にする)「8面体8個と正4面体2個との合計10個で、せい8面体を作れ」というパズルも作れる。8面体を2等分した設計図
Mar 29, 2013
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左図は正6面体のひとつの面の輪郭を緑線で表している。右図のピンク線は凧形24面体のひとつの面を表している。この凧形24面体はこの輪郭で示したブロックの面が6個で構成されていると考えて、正6面体から凧形24面体が膨らんでできているというのを理解するための図です。 右図の緑線は左図の緑線と同じ大きさです。 この緑線が膨らんでピンク線と変化したとき、正6面体が凧形24面体になると理解するのです。逆も真なり右の図から左の図になるように置き換えることもできます。凧形の四辺形が四面でひとつのブロックとなって、それが6面でこの凧形24面体が構成されているので、その各ブロックをピンクの線から緑の線まで削り取れば立方体が作れます。 削り取るときの注意は、正方形の角(かど、凧形24面体のこのブロックの頂点)が同一平面であることに注意しなければなりません。六つのブロックを同じように削り取れば、その結果できた立体は正6面体(立方体)に成ります。 こんなことが考察できるのが多面体の不思議さと面白さです。難しい理論なしにトポロジーは大変面白い数学なのです。
Feb 15, 2013
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正三角形の辺の長さは8.6cmこの大きさの正八面体を作って、凧形24面体と並べて写真を撮る。前頁の図説と同じように考えれば、この膨らませられた多面体の構造が理解できる。まったく不思議な多面体である。
Feb 13, 2013
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凧形24面体の構成で新しい発見をした。それは、立方体を膨らませてこのような形ができたといことだった。そのことを模型で図説するため、凧形24面体の正六面体構成の頂点間6.9cmと同じ大きさの立方体を作って並べて写真を撮った。 下図がその写真です。 左の立方体の12個の辺の中点を、それぞれ同じ距離だけ外側に引き伸ばし、正方形の中点は同じ大きさの高さだけ外側に引き上げた立体が、右側の凧形24面体であると発見した。 まったく不思議な立体である。
Feb 13, 2013
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着色した凧形24面体golden24面体 6角凸面ブロック8角凸面ブロック正8面体構成になったり正6面体構成になったりするような構成が面白い。
Jan 25, 2013
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完全数 496 と 8128 の 約数を調べる1月6日に完全数のことを書きましたが、その3番目と4番目の完全数の約数を求めてみました下図の通りです。 完全数 496 8128.JPG EXCEL で表計算をしたのですがそのマクロは省略します。(表の上の列符号はEXCELの列名)小さい順に並べた5個の完全数 6, 28, 496, 8128, 33550336
Jan 19, 2013
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凧形60面体_展開図と部品組み立て混合製作法まだ、凧形60面体製作の設計にこだわっています。 薄紙で試作したのを上下三段階に輪切りにしてみました。 これをさらに切り開いて、展開図が作れるようにしました。 さらに、紙の使用率を上げることを考えて、下図のような設計ができました。あまり厚くない紙で作るならば、狭い糊代もこの広さで間に合いますが、厚手の紙で作るときは、別途、糊代を用意して貼りあわせを補足しなければならないでしょう。 この設計では、まだ作品はできていませんが、過去の紙工作の経験から、やってできないことはないと思います。 また明日からその工作に取り掛かります。
Jan 17, 2013
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凧形60面体_もう一つの組立製作法擬似正三角形を二個連結して、糊代を10箇所接着した形にしました。この部品10個で凧形60面体が組み立て製作が出来ます。下の画像はその全部品図です。5枚を貼り合わせた製作途中の画像は下のとおりになりました。貼り合わせ検討ではアルファベットを一枚一枚に記入して試作しましたが、結果はその必要無しでした。紙風船を貼り合わせるように、順に貼り合わせてゆけば簡単に形ができてゆきます。 この形は、世界地図の描き方の中にあった一種の形に似ています。グード図法と言うのがあって、その形に似ています。残りの5枚も同じように貼り合わせてゆけば完成します。貼り合わせ線を緑色の線で上書きしてあります。 凧形60面体の組立製作法をいくつか考えましたが、この設計図での製作が一番楽でした。
Jan 16, 2013
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凧形60面体の正20面体構成での設計凧形60面体を眺めていたら、隣り合った3つの面がやたらと擬似三角形に見えて来た。数えてみたら、そのブロック構成面が20個あったので、正20面体構成法で設計を行った。(60÷3=20 これが数えた結果です。)正20面体構成の説明図隣接する3面を緑線で囲んだブロックが20個あります。この構成は正20面体と同じ構成ですので、この隣接3面ブロックを20個描いて、糊代の設計を行ったのが、下の図です。凧形60面体の正20面体構成での設計図糊代の数量が大きいですけれど、貼り合わせは、ABC順に行えば割合楽に組み立てられます。 霙の雪が降っているので、屋内作業には大いに結構な工作でした。いつもの通り、薄い紙で糊代の確認を行いましたが、合っていました。途中で、アルファベットの順序変更をしたので、紙面が汚くなっていますが、試作としては十分な出来合いでした。 正20面体構成法では、非常に時間がかかりますが、楽しんで実行したので、一日が知らない間に過ぎてゆきました。 多面体紙工作は展開図法だけでなく、部品組立法で自由に作れますので、その設計が楽しいのです。同じ多面体でも、見方を変えれば正12面体や正20面体にも見えるのです。その見方によって、違った設計が行えるのが非常に楽しく感じます。今日の感想 足を痛めて歩行困難で外出が出来なくなった時間、余計にその設計に専念できました。何が幸福なのか、その状態を体験してみないと分からないのが人生の楽しみかとも思いました。 霙の振る寒い冬の一日の感想でした。
Jan 14, 2013
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凧形多面体の設計検討と工作法前のページに載せた設計図には作り方と設計の意図が記述してありませんでしたので、順序が逆になりましたが、このページで解説いたします。凧形24面体 正6面体構成法正6面体の辺は12個であるから、4面を正多面体のひとつの面と見做して考えると、設計した糊代が適格に貼り合わせられるかを検討したのがこの画像です。検討試作であるので、辺をきちんと折込んで無くても良い。糊代が合っていることだけを確認したが、間違いは無かったので合格である。この貼り合わせは割合簡単に出来た。貼り方の順序を示す必要が無いほど簡単であった。 正8面体構成法貼り合わせの仕方を示すための画像である。底無し正四角錐二つを、お互いに底同士を貼り合わせて作る方法です。4箇所に糊代がある4つのブロックは、底無し四角錐の底辺に糊代が有るように貼り合わせてあります。この図は底面の一箇所だけが貼貼り合わせてあります。凧形60面体正12面体構成の設計ですので、凧形の面が5個集まって一つのブロックを構成してあるので、正12面体を貼り合わせるのと全く同じ方法で作れます。12個のブロックに A から L まで符号をつけて有るので、アルファベット順に貼り合わせてゆけば、割合楽に作れます。常に、前のブロックの糊代に次のブロックの糊代の無い辺を合わせてゆくように貼り合わせます。 こんな設計後の検討する記事を書いたことが無かったので、自分の記録としても記述してみました。設計後に行う私の常套手段でした。複雑な多面体のときの糊代の決定には、エラーが付きまとって、何度もこの検討を繰り返すことがあります。そのための方法として、印刷用紙は薄い紙にして、辺の折込をしなくても貼り合わせ検討が容易にできるように工夫してあります。 検討試作品は凹凸の多い物になりますが、糊代が合格している事が見られれば良いのでこれで充分間に合います。
Jan 12, 2013
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凧形多面体つくりに、毎日没頭していました。出来た作品を展示します。大型の凧形60面体はソフトボールくらいの大きさがあります。凧形24面体のほうが工作しやすかったので、数多く作ってしまいました。大型の凧形24面体は赤と青の噴霧塗装を施してみました。金色とは少し替わった色合いを感じます。製作パターンの設計凧形24面体 正6面体構成設計 正8面体構成設計 輪切り三重構造設計凧型60面体 正12面体構成設計
Jan 11, 2013
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正6面体と完全数の関係正6面体の面の数は6であって、この6は完全数の最初のものである。さらに、辺の数と対角線の数の合計が28になって、これは2番目の完全数であるという。このことを「プラトンとアルキメデスの立体_美しい多面体の幾何学」(ダウド・サットン著 駒田曜 訳)を読んで知った。その内容説明は以下の通り。 正6面体の辺は12個あり、面対角線は12個、立体内部対角線が4個ある。これらの合計、すなわち、8個の頂点を結ぶ直線を合計すると、28個になる。これが対角線の個数の合計である。 辺と対角線の説明図右側の頂点間対角線は、立体内部の対角線のことである。(表示の訂正) 完全数(かんぜんすう,perfect number)その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のことである。例えば 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14) が完全数である。ウィキペディアで調べた完全数を、ここに5個 列挙すると、次のようになる。 6, 28, 496, 8128, 33550336
Jan 6, 2013
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少年時代には竹を割いて凧の骨をつくり、それに紙を貼って活糸で大空高く凧をあげましたが、最近ではその風情が見られなくなりました。お正月ですので、それに代わって画用紙で凧形多面体を作りました。凧形24面体の作り方(A)図のパターンを8枚作り、それらの切れ目は貼り合わせて、これらを正8面体構成風に合成貼り合わせを行って作ります。(B)図のパターンを4枚作り、それらの切れ目は貼り合わせて、これらを正6面体構成風に合成貼り合わせを行って作ります。凧形60面体の作り方 上図のパターンを12枚作り、それらの切れ目は貼り合わせて、これらを正12面体構成風に合成貼り合わせを行って作ります。作品どなたの作品画像か存じませんが、お借りしました。借用をありがとうございます!紙工作した凧形多面体の面がこの大空に舞い上がっている凧と同じパターンです。
Jan 4, 2013
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三角錐追加した三角台四面体星型多面体を創りました下図は、昨日試作した穴開き三角台四面体です。昨日作った三角台四面体の穴4個の位置に、正三角錐を4個付け足して星型多面体を作りました。下の3葉の画像は、それぞれ三方向から見た追加星型三角台四面体の様相です。真上から見ると、立方体が見えます。左の図は辺を二倍にした正三角の中央に正三角錐が載っている様子が見えます。右の図は辺を三倍にした正三角の上に三角台が乗っている様子が見えます。赤線と緑線で縁どりした三角台の図を載せます。三角台が見える方向から撮影しました。これが三角台です赤線で縁どりした正三角が台の頂上で、側面が正三角三面と正方形三面で、底面は正六角形と成っています。構成の様子がそのように見えるということで、実際の作品は内部がガランドウになっています。出来上がった結果の多面体は辺が3倍になった大きな正三角の中央に三角台が載った多面体のようになっています。でも、一応、星形多面体と認めることとします。
Dec 28, 2012
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正六角四面体に三角台を載せて膨らませたら立方体が見えてきた正六角面に三角台を載せれば膨らんだ立体になると考えた。三角台は正三角と正四角が各3面づつ斜辺になっていて、頂上が正三角形で底面が正六角だから、この三角台を四個載せれば良いと考えた。その結果出来たのが、下図の通りの立体だ。不思議と、この立体には辺が2倍の正三角形が四面できた。見る方向を変えて、辺の比が1:2の長方形を上面にして上方から眺めてみると立方体が見えてきた。ただし、正方形面の四つの角が切除されている立体だ。この様相は立方体の八つの角を、底面が正三角になるように切除した立体だった。その切除の仕方が、正方形平面の対角は同じで、一方は1で他方は2の割合で切除されている。それゆえ、立方体の切除された残りの面が1:2の長方形に成っている。他方、この大きな正三角の中央の穴を埋めて新しい多面体を作ったら新しい多面体の創造になる。結果、下図のような多面体ができた。
Dec 27, 2012
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星型多面体もオイラーの定理を適用できます次の6種類の星型多面体にオイラーの定理を適用してみます。1 正三角錐4面体2 正六面体の角に正三角錐を載せた多面体3 ケプラーの星型八面体4 正12面体に正5角錐を載せた多面体5 切頂12面体に正3角錐が載った多面体6 正6面体と正8面体の複合星型多面体1 正三角錐4面体これはダ・ヴィンチの星の一種と同じ星型多面体です。 面 12 正3角 12=3×4 頂点 8 正3角錐の頂点 4 と その正三角錐の麓のコル 4 辺 18 正4面体の辺 6 と三角錐の斜辺 3×4=122 正六面体の角に正三角錐を載せた星形多面体正8角6面を正6面体構成に貼り合わせて、その穴開き面に正三角錐を載せてできる星形多面体です。00000000 面 30=5×6 ( 1(正8角)+ 4(正3角))×6 頂点 32=8+3×8 3角錐の頂点8箇とその麓のコルの合計24との総計 コルは上面、側面、体面、各面に8個づつある。故に 3×8 辺 60=12+6×8 8角面が接続されている辺12個と正三角錐構成辺6個の合計48個との総計3 ケプラーの星型八面体正8面体に正三角錐が載っている星型多面体で、ダ・ヴィンチの星の一種でもある。 面 24=3×8 頂点 32=8+6 三角錐の頂点8箇とその麓のコルの合計6個との総計 コルは内蔵されていると看做した正8面体の頂点でもある。 このコルは同一平面内のクロスした尾根と成っている。 辺 36=12+3×8 内蔵されていると看做した正8面体の辺12個と載せられた正三角錐の辺8個の合計24個との総計 4 正12面体に正五角錐を載せた星型多面体 面 60=5×12 頂点 32=12+20 正五角錐の頂点の合計と内蔵されていると看做した正12面体の頂点20個との合計 辺 90=30+5×12 内蔵されていると看做した正12面体の辺30個と載せられた正五角錐の辺12個の合計60個との総計 5 切頂12面体に正三角錐が載った星形多面体 面 72=3×20+12 正三角錐20個の斜面の合計と正12面体の面との合計 頂点 50=20+30 正三角錐の頂点20個と点接続している正12面体の頂角(コル) の合計30個との総計 正五角が点接続されている点がコルになっている。 辺 120=6×20 正4面体の辺20個分が、この星型多面体の総辺数6 正6面体と正8面体の複合星型多面体 面 48=3×8+4×6=4824+24 正6面体の八つの角の面の合計と正8面体の六つ の角の合計との総計 頂点 26=8+6+4×3=26 正6面体の頂点と正8面体の頂点と同一平面でクロ スしたコルとの総合計 辺 72=6×8+4×6=48+24 立方体の角である4面体の変数の合計と正8面体の斜辺の合計との総計 以上の星型他面体について、どの多面体も面の個数と頂点の個数の和は辺の個数り2個多い。これはオイラーの多面体の定理に適合していることを証明している。これを一覧表にしたのが下の表である。上の表で、面と頂点を合計するとその右の辺の数より2多い。これは、先に述べたオイラーの定理「面の個数と頂点の個数の和は辺の個数り2個多い」を満たしている。
Dec 25, 2012
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正12角4面体の三要素を調べる正n無限大角多面体の正四面体構成について、面を正6角、正9角と変化させたときの穴開き多面体を見てきたので、更に角度を増やした性12面体四面で作られる穴開き四面体を調べてみよう。下図のような展開図のABC点が合わさるようにして穴開き四面体を作る。ABCが合わされて出来た正12角4面体の開かれた穴の形は(1)の様であり、穴を平面で補うとすれば下図の(2)と(3)のように、二通りが考えられる。。その1 三角面と六角面で補った場合 面 F 4×4+4=20 頂点 V 9×4=36 辺 E 12×4+6=48+6=54 E+2=F+V と言うオイラーの定理を満足している。その2 全て三角面で補った場合 面 F 9×4+4=40 頂点 V 10×4=40 辺 E 18×4+6=72+6=78 これも、オイラーの定理を満足している。その2の場合には、六角の中央の頂点が高くなると、その六角錐の麓がコルに成る。このコルも頂点とみなされて計算が合う。オイラーの定理は、コルを頂点とみなしたとき適合する。 作品左は真上から見た図であり、右は正12角形が見られるように写真を撮った。
Dec 22, 2012
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無限大角多面体から派生する多面体を調べて、オイラーの定理が適合することを確認する無限大角四面体から派生する多面体は数多くあるが、例として、正四面体構成の多面体についてだけを見てみる。 それも、正三角の二倍角(六角)と三倍角(九角)で調べてみる。1 面が正六角である多面体 開いている面は正三角であるので、八面体になる。 これはすでに以前のページで投稿してあるので説明はは省略する。 この多面体はすでにオイラーの定理が当てはめられることは承認済みである。 以前のページを示す Dec 8, 2012 正多面体構成の正無限大角多面体総編集 2 面が正九角である多面体開いている面は鋭角3鈍角3の六角形であるので、この面は三角が四面で埋め合わせられる。上図のようなABCDEF六角が開いた面に現れるので、ここを三角形四個で埋めれば、20面体が出来る。 開いた面(1個)について 面数 4 頂点 6 辺 9これらを考慮すると、この20面体の三要素は 次のようになる。 面数 F 4+4×4=20 頂点 V 6×4=24 辺 E 6+9×4=42オイラーの法則に当てはめてみると、次のとおり適合する。 オイラーの定理 V+F=E+2 左辺 V+F=24+20=44 右辺 E+2=42+2=44 左辺と右辺は等しい。このように、オイラーの定理に適合している。正n無限大角四面体について、開いた面の辺が2と3に着いて見てきたが、4の場合(正12角)に着いても同様に調べることが出来る。 なお、他の4種類の正n無限大角多面体に着いても同様に、開いた面を三角で塞いで面数の大きな多面体が出来る小尾tも分かる。 このように、五種類の正n無限大角多面体は様々な多面体の構成を立証するのに役立てられる。ただし、その多面体は基本が正多面体のものに限られるが、かなり色々な多面体が作り出されることになる。
Dec 20, 2012
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面の大きさを同じにした無限大角多面体5種類の作品上記5種類の多面体の構成は下記の正多面体構成と同じ様態です。 円形を切り抜くためのコンパスは下図のようなものです。無限大角多面体の総合評定面の大きさを同じにしたことにより、5種類の多面体の大きさがどのようなものであるか明確に判断できるように作りました。 また、これらの多面体から、穴を埋めて出来る多面体の種類を推定することが出来ます。
Dec 19, 2012
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正八面体と正四面体の変化を交互に速替わりする模型を作ることを考えた。正三角形4面で正八面体を作る_穴開き正八面体その穴開き正八面体が正4面体に速変わりする。正三角ABCD4枚にはそれぞれ角に番号を振る。番号は(1)と2と(3) (○)で囲んだ番号は点接続されているものとする。番号の振り方は時計回りとする。(機種異存文字を使用した為、このような表現に成っている)正八面体から正四面体に変身(変更)させるのにどのような方法をとろうかと考えてが、紐で結ぶ方法をとった。正八面体から正四面体に変身するに必要な接続のための紐を角に貼り付けた。正三角形の接続AとBの角にある紐をこちら側で結び、CとDの角にある紐を向こう側で結べば穴開き正八面体が出来る。CとDの角にある紐を向こう側で結べば穴開き正八面体が出来る。AとBの角にある紐を向こう側で結べば穴開き正八面体が出来る。正八面体、正四面体を構成するのに、正三角の角に紐をつけて、固定したり結んだりして角の点接触を図る。正八面体固定されている紐のほかに、紐が更に貼り付けてあるのは、正四面体に変換するときに必要なので着けてある。正八面体に紐で結んで構成してある様子を見る。正四面体正四面体が構成されている様子を見る。点接続についてB1D1-C2,B3C3-A2,A3D3-B2,A1C1-D2もう一つの正四面体構成の方法があるが、画像は省略する。接続のみ下に記す。A1C1-B2,B1D1-A2,B3C3-D2,A3D3-C2正八面体から正四面体に変わる様子を見るための図を下に示す。A2B2をほどいて固定されたB1D1の角にA2を持ってきて結ぶ。C2D2をほどいて固定されたA3D3にC2を持ってきて結ぶ。以上は図説で正八面体と正四面体の変化を説明したが、両手で二つの角の紐を持って、右手の紐を解いてその正三角の面を滑らせて、いとも簡単にマジックのように正四多面体に変化することが出来る。左手の指でA2B2の紐を持ち、右手の指ででC2D2の紐を持ち、Aの三角面が左手の掌にあるならば、左手でAの三角を維持したまま、右手のD2の紐を離し、D1をA2に持ってゆくようにすれば、後は自然と正四面体の形に各面が移動してゆく。これを素早く行えば、まさに手品を行っているように見える。 これらのことは、実際に行っているのを見るのでなければ、その感覚が理解できないと思われます。 この様子を動画で見てもらえないのを残念に思います。出演した多面体たち出演者 ご苦労様でした。様々な大きさでしたが、それぞれ縮小して載せましたので、大きさが変えられて出演しています。
Dec 10, 2012
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正多面体構成の正無限大角多面体総編集正多角形の角を大きくしてゆくと、最後は正無限大角となる。単に無限大角と言った場合、楕円も無限大角とみなすことも出来るので、正多角形の終局の最大角は正無限大と呼ぶことにする。この正無限大角多面体は不明の穴開きの正多面体構成にして5種類の無限大角多面体が考えられる。そのモデルを順に面数の少ないほうから列挙してみる。1 正四面体構成 左図は上方から見た図であり、右図は側面から見た図である。正四面体は正三角面であるので、この構成を眺めていると、正三角の倍数角であれば、穴開き四面体が作れる。 その考えで作った穴開き多面体は下図の如し。 2 正六面体構成 左図は上方から見た図であり、右図は別方向から見た図である。正六面体は正四角6面であるので、この構成を眺めていると、正四角の倍数角であれば、穴開き六面体が作れる。 その考えで作った穴開き多面体は下図の如し。 左図は正4角の点接続多面体であり、右図は正四角の二倍角の正八角6個で作った多面体である。3 正八面体構成 モデル 8.JPG左図は正無限大角八面体であり、右図は正八面体の構成面、正三角形の二倍角(正六角)で作った穴開き六面体である。ともに、正四面体の頂点が上方にある位置においたのと同じ状態に置いてある。この正無限大八面体の穴開きの様子を見ると、正方形が想像できるので、右図のような多面体も容易に理解できる。4 正12面体構成左図は正無限大十二面体であり、右図は正十二面体の構成面が正五角形であるので、その二倍角の正十角12個で作った多面体である。この正無限大十二面体構成を眺めると、構成面の倍角(正10角、正15角・・・)であれば辺が接続された多面体が作れることが分かる。5 正二十面体構成左図は正無限大二十面体であり、右図は正二十面体の構成面が正三角形であるので、その二倍角の正六角20個で作った多面体である。正二十面体はその頂点を眺めると、正三角形が5個集まって正五角錐を構成している。どの頂点を見ても正五角錐が認められ、その底辺の正五角面は面交差をしていると考察できるのも興味あることである。それが、この正無限大二十面体から想像できるということが面白い。
Dec 8, 2012
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無限大角八面体と切頭八面体_無限大という数値の面白さ無限大角という観念を取り入れた多面体をいくつか作ってきた。正多面体の構成と同じ無限大角の穴開き多面体は正多面体の数と同じだけあると考えられる。これらは、あえて無限大という角を用いた不明点のある立体である。この考え方に従えば、正八面体構成の無限大八面体も作れるので、それを製作した。無限大角多面体を眺めて発想するのは、正多面体の角の二倍の角でこの正八面体構成の多面体が出来ることである。その考えに従って作った多面体が下図に示すとおりの切頭八面体であった。無限大角の概念とその応用 無限大角とは、円のことであるが、正n角形の内角の大きさを調べたとき、角度を最大にしたらどうなるかと計算を進めていったとき、その極限値が円に成るという結果を得た。これを無限大角という表現で、このブログに用いたのであった。そのことによって、正多面体構成の穴開き多面体の作成が容易に考えられるようになった。 正20面体構成の穴開き多面体は正三角形の寄り集まった頭を切って出来る多面体であるので、正六角形の20個を貼り合わせてゆけば、サッカーボールが出来るということも推察できる。これは、正二十面体の頭をちょん切って出来る多面体が正五角形12面と正六角形20面の32面体であって、通称サッカーボールと呼んでいる多面体であることを認識しているときに、推定できることであった。無限大角という概念を取り入れたとき、穴開き多面体についての概念が拡張できたのであった。参考多面体
Dec 4, 2012
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無限大角六面体と無限大角十二面体の試作ダイレクトメールのはがきで円形のパターンを18枚切り抜き、六枚で無限大角六面体と無限大角十二面体を作った。無限大角六面体は円周を四等分した点をセロテープで点接続した。無限大角十二面体については、円形紙の接続は、円周を五等分した点を全部糸で接続するつもりあった。点接続であるので、このような方法をとったが、大変面倒な工作法であるので、途中からはセロテープで表裏に貼って接続した。これで、どんな多面体になっているかが、大体の様子は分かる。無限大角多面体についての考察十二面体を眺めているうちに、十二面体の構成は点接続か面接続かの違いがあるだけで、立体形態は正十二面体の構成とまったく同じであるので、線接続について考えるならば、円周を五の倍数で等分して形成される正多角形であるならば線接続の多面体が作れることに気がついた。それで、正十角形のパターン紙をA4判コピー紙で十二枚作り、十角形十二面体を試作した。試作予想とおり、まったく線接続になっている。A4判コピー紙で作ったのは、立体の裏側に指が入るから線接続をするとき、貼り合せが容易になることを考えての工作だった。十角形を設計したときの円の十等分線を消さないでそのまま残しておいたのが現れている。正十角形6個パターンこのパターンを12個 印刷して切り抜きます。
Dec 3, 2012
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正多角形の角数を大きく増加して行くとその内角は180度に近づく多面体では正多角形が表面に現れているものがある。それらの角は何度なのかを調べたことがなかったので、EXCEL表計算を用いて調べてみました。その結果、面白い発見がありました。角数を増やしてゆくと、その角の大きさは大きくなってゆくのわかりますが、中心角を1度にしたとき、179度になります。さらに角数を増やしてゆけば、180度に近づきますが、絶対に180度にはなりません。180度になるのは円の接線だけです。このことは、「円周を無限大に等分して出来る正多角形の内角が180度である」ということです。数学では極限値を求める問題がありますが、その極限値で表現したのでした。これが数学の面白いところです。計算表に用いた数式の図説正五角形と正六角形で調べて見ました。ABを底辺にした三角形には、その正多角形の角が二つ使われています。A点は分割されて出来た三角形の共通点です。この二つの点の数2をn角形の角数nから差引いた数がn角形の中に分割された三角形がある個数です。その正多角形には、その正多角形の角数から2を引いた数の三角形があるのです。即ち、正n角形の分割された三角形の数は n-2 個です。この正n角形の内角の総和は 180×(n-2)度であって、これをnで割れば、内角の大きさが求められます。故に、正n角形の内角の大きさは 次の式で求められます。 {180×(n-2)}/ n = 180-360/n ・・・ 単位は度
Dec 1, 2012
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円筒を直角に接続する方法(トイレット芯でオブジェを作る)かつて、トイレットペーパー芯で下図のようなオブジェを作ったが、断面を正方形にして接続したのでした。このページでは、断面を円形そのままで接続する方法を考えたのでその設計方法を発表します。切断の方法 設計図筒の表面を引き伸ばして展開した図紙の筒をL接続可能にするためのゲージが作れます。厚紙にこのパターン図を描いて切り取って筒を作り、これをトイレットペーパー芯に被せて切り取り曲線を引く。そのゲージを作る展開図です。このパターンで切断した筒は平面状に接続できます。四本をつき合わせてつなげばクロスした筒が出来ます。ボール紙で模型を作る断面切断が正しいことを大きな模型を作って確認します。接続部分の継ぎ目が直線で、きれいに接続されてます。筒の切り口も、45°で切って有るので、接続後の直線が見えています。逆L状に立てて眺めた図です。内側 緑色の直線を引いた部分 その設計通り直線になっています。設計が正しかったことが、この模型で認められました。以上は平面状で円筒を接続する方法でしたが、これを立体状に接続するには、筒の先端を直角に回転して同様な曲線で切ればよい。その切断展開図を下に示します。このパターンで先端を切り取った円筒を6本つき合わせて接続すれば、中心軸が三方向に直交した立体が作れます。製作作業は時間がかかりますが、この方法で最初に挙げたオブジェも円筒のままで接続された立体として作れます。切断方法の設計図_その考え方前頁の続きになりますので、詳細には説明をしませんでしたが、曲線を描くときプロットす数が多ければ正確になるのですが、10°毎にプロットする点を決めました。側面図では、筒の中心線に対して45°の角度で切り取る線を描いてありますが、円周上の各点に真上から見た直線を中心線に平行に引いてあります。 円周を引き伸ばして平面にしたときの各点の位置を曲線で繋げば正確な曲線が描けますが、此処では、隣り合った各点を直線で引いてあります。このような簡略法でも、この方法で作った模型では結構正しい接続が出来たのでした。
Nov 27, 2012
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設計試作した資料と一緒に作品5個を写真に取りました。大きさ確認のために、ゴルフボールを一緒に置いてあります。カラー着色した作品の後のコピー用紙で設計検討試作した大きな多面体がその資料です。私はゴルフはしませんが、ゴルフ練習場外の道路脇でゴルフボールを拾って来たのがありますので、いつも大きさ確認の時には、これを一緒に並べて撮影します。
Nov 20, 2012
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製作途中で設計変更を行う_正四角錐星型八面体八部品がまったく同じパターンで描いてあるので、糊代の数が四枚多すぎる。施工作順序は部品Aの右側に部品Bを貼ってゆく。ABCD順序で貼り合わせてゆく。これを製作中に切って取り除いて貼り合わせていたが、貼り合わせの時に工作しやすいように設計を改定した。改定前の設計図改定後の設計図折り曲げ方向を確実にしたことと、貼りあわせを間違えないように、符号を入れた。最後の部品Hを貼り合わせる時には、正六角形の糊代は無くした。 この設計図であれば、誰にでも間違いなくこの多面体を製作できる。糊代の数改定前の糊代の数 40 (5×8=40)改定後の設計図 コーン部 3×8=24 正六角形部 3×8÷2=12 (重複しているので2で割る) 合計 36失敗は成功の母 失敗した設計ではないが、糊代の数を調べて設計すれば、最初から合理的な設計が出来るということを今回も再自覚した。多すぎる糊代を工作中に切り取るという方法は合理的でないのであった。
Nov 20, 2012
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