タイムマシーン・プロジェクト・プルミエ・クリュ・ＶＶ

『剰余の定理』です
YouTubeで様々な問題を自分で見て、
①基本解法
②類題の提示
③発展応用問題
を網羅的かつコンパクトにまとめました

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剰余の定理

① 整式 P （ｘ）を（ｘ＋１） ^２ で割ると５ｘ＋２余り

　　　　　　　　ｘ - ２で割ると３余るとき

　　　　　　　　（ｘ＋１） ^２ （ｘ - ２）で割った余りは？

② 整式Ｐ（ｘ）をｘ－１で割ったときの余りが５

　　　　　　　　（ｘ＋１） ^２ で割ったときの余りがｘ－８のとき

　　　　　　　　（ｘ―１）（ｘ＋１） ^２ で割ったときの余りは？

③ ｘ ^２０１１ をｘ ^２ ＋１で割った余りは？

　ｘ ^１００ をｘ ^２ ＋ｘ＋１で割った余りは？

　ｘ ^２０１４ をｘ ^４ ＋ｘ ^３ ＋ｘ ^２ ＋ｘ＋１で割った余りは？（山梨医）

④ ｘ ^ｎ を（ｘ―２） ^２ で割った余りは？

⑤ ｘ ^３０ を（ｘ＋１） ^３ で割った余りは？

おまけ

ｘ ^１２ をｘ ^４ - １で割った余り

剰余の定理解法

① 　解法１　 P （ｘ）＝（ｘ＋１） ^２ （ｘ - ２） Q （ｘ）＋ a ｘ ^２ ＋ b ｘ＋ｃとおく

　　　　　　ｘ＝－１とｘ＝２を代入　『 あと一つ式が必要 』

　『 a ｘ ^２ ＋ b ｘ＋ｃを式変形する 』 ⇒ a ｛（ｘ＋１） ^２ - ２ｘ - １｝＋ b ｘ＋ｃ＝ a （ｘ＋１） ^２ ＋（ b- ２ a ）ｘ＋ｃ -a

　Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋１） ^２ （ｘ - ２） Q （ｘ）＋ a （ｘ＋１） ^２ ＋（ b- ２ a ）ｘ＋ｃ -a

　（ｘ＋１） ^２ で割った余りが５ｘ＋２より　 b- ２ a ＝５　 c-a ＝２

　解法２　Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋１） ^２ （ｘ - ２） Q （ｘ）＋ a （ｘ＋１） ^２ + ５ｘ＋２ とおく

　　　　　Ｐ（２）＝３より a を求める

　解法３　 Ｑ（ｘ）に注目 する　

　　　　　Ｐ（ｘ）＝（ｘ＋１） ^２ Ｑ（ｘ）＋５ｘ＋２　・・・（１）

　　　　　Ｐ（２）＝（２＋１） ^２ Ｑ（２）＋５×２＋２＝３

　　　　　よって、Ｑ（２）＝ - １　この事から、 Ｑ（ｘ）＝（ｘ - ２）Ｒ（ｘ） - １ 　・・・（２）とおける

　　　　　（２）を（１）に代入する

　解法４　 微分の利用

P （ｘ）＝（ｘ＋１） ^２ Q （ｘ）＋５ｘ＋２

　　　　　Ｐ´（ｘ）＝２（ｘ＋１）Ｑ（ｘ）＋（ｘ＋１） ^２ Q ´（ｘ）＋５

　　　　　よってＰ´（ - １）＝５　

P （ｘ）＝（ｘ＋１） ^２ （ｘ - ２） Q （ｘ）＋ a ｘ ^２ ＋ b ｘ＋ｃ

Ｐ´（ｘ）＝

２（ｘ＋１）（ｘ - ２）Ｑ（ｘ）＋（ｘ＋１） ^２ Q （ｘ）＋（ｘ＋１） ^２ （ｘ - ２） Q ´（ｘ）＋２ a ｘ＋ b

　　Ｐ（ - １）＝ - ２ a ＋ b

② 　整式Ｐ（ｘ）をｘ－１で割ったときの余りが５

　　　　　　　　（ｘ＋１） ^２ で割ったときの余りがｘ－８のとき

　　　　　　　　（ｘ―１）（ｘ＋１） ^２ で割ったときの余りは？

③ 　ｘ ^２０１１ をｘ ^２ ＋１で割った余りは？　

⇒ 　ｘ ^２０１１ ＝（ｘ ^２ ＋１）Ｑ（ｘ）＋ a ｘ＋ b とおく
ｘ ^２ ＋１＝０の解　 ± i 　を代入 する

　　ｘ ^１００ をｘ ^２ ＋ｘ＋１で割った余りは？

⇒ ｘ ^２ ＋ｘ＋１＝０の解をωとおく と、 ω ^３ ＝１を利用 する

⇒ 　ｘ ^３ - １の因数分解
⇒ 　次数下げも使う

　ｘ ^２０１４ をｘ ^４ ＋ｘ ^３ ＋ｘ ^２ ＋ｘ＋１で割った余りは？（山梨医）

⇒ ｘ ^４ ＋ｘ ^３ ＋ｘ ^２ ＋ｘ＋１＝０の解をωとおく ω ^５ ＝１を利用する
⇒ 　ｘ ^５ - １の因数分解

⇒ 　次数下げも使う

④ ｘ ^ｎ を（ｘ―２） ^２ で割った余りは？

　２項定理や微分

⑤ ｘ ^３０ を（ｘ＋１） ^３ で割った余りは？

　パスラボ　係数が大きくなるので計算ミス注意

⇒ 微分×２回　２項定理

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​かなり前に作ったものですが、​
解法の 要点 、 キーワード だけ書いて、
口頭でも説明しました

こんな風に、一つの領域にこだわった
『 深堀勉強 』
めちゃくちゃ理解が深まります
これを 全部の分野で やればいいわけです

最後に応用問題ラスボス的な動画を投下して、
今回のブログを終わりにします