Cutting a cake

「ケーキの切れない非行少年たち」という本が少し前に話題になりました。私は読んでないんですけど。私だったら「ケーキを3等分しろ」と言われたら、こう切る(a)。クリームやデコレーションが乗ってる一番上と下の段ではかなり不公平ですね。ではこうだ(b)。体積が同じなら3等分に違いはないですよね？どこで切れば3等分になるか、計算してみよう。(c)の赤い線でカットするわけですが、計算を簡単にするために４分の１で考えます。(d)のような扇形です。中学の数学でこういう問題ありましたよね。パズルみたいで好きだった。ただし今回は三角関数を使わなければ解けませんでした。青い補助線を引きます。この線は半径と同じ長さで、r と置きます。できた３角形の残りの辺を　a, b、小さいほうの角度をθと置きます。線で区切られた形の面積をS1, S2, S3とします。S1が元の円の３分の１の半分、S2+S3が元の円の３分の１の４分の１になるような赤線の位置を求めれば良いわけです。r が定数なので、a, b, θはどれか一つが決まれば残りは決まる値です。その関係は以下のようになります。sinθ= a / rcosθ= b / r以下の条件でθを求めます。S2+S3 = πr^2 / 12（式１）S2は単純な３角形で、θで表すとS2 = ab/2 = (r^2・sinθ・cosθ) / 2S3は扇形なので、円の面積の角度比で求められ、S3 = πr^2・(θ/ 2π) = θr^2 / 2これらを式１に代入します。S2+S3 = πr^2 / 12(r^2・sinθ・cosθ) / 2 + θr^2 / 2 = πr^2 / 12まとめるとsinθ・cosθ+ θ = π/ 6シンプルになってきました。倍角の公式使ってみましょう。sin2θ+ 2θ = π/ 3「θ＝〇〇」の形にしたかったけどこれ以上できなかった。やり方はあるかもしれないけど、分からなかったのでここからは「ソルバー」に任せます。excelのアドインで、設定した条件に最も近い変数を「数打ちゃ当たる」で最適値を求めます。結局コンピュータ頼りになっちゃうのは不本意だけど。直径15㎝の5号のサイズで計算させてみます。θ= 0.27 [rad]a = 1.99 [cm]b = 7.23 [cm]したがって端から r - a = 5.51cmの位置で切れば3等分です。ふう、これで不平等にならずにケーキを3人に分けられるぜ！