2015年02月の記事
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英語教材の販売を始めました。
詳細はこちら10円で販売しています。日本人が言えないだろう英語の表現を10個収録。今回は電子レンジでチンしてくださいという表現を例文に載せているけれども、日本人が英語を話せない理由の九割ぐらいは、日常生活にフォーカスした英会話を勉強しないからだと思います。だから、電子レンジでチンするというなんでもない表現すら話せない。もう、こういうのやめましょう。学校英語だけじゃ英語はたりないんです。そういう想いから、10円で10個ずつ具体的な英語を教えることにしました。よろしければ、英会話力向上に役立ててください。更新する都度、毎回ブログで報告します。
2015年02月15日
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化学熱力学：マイヤーの関係式
■理想気体の内部エネルギーやがて分子論の立場から論証しようと思いますが、理想気体の場合、内部エネルギーは温度のみの関数になります。そもそも、内部エネルギーの定義を思い出してください。分子には分子間力による位置エネルギーと、分子の熱運動による運動エネルギーが存在します。系における分子のこれらのエネルギーの総和を内部エネルギーといいました。分子の運動エネルギーは系の体積と独立です。一方、分子の位置エネルギーは分子間力であるため、体積などによって相互作用を受けるといえます。したがって、分子間相互作用のない理想気体は温度だけの関数になるのです。これらの事実から、内部エネルギーには次の関係式が成り立ちます。(∂U/∂T)p = (∂U/∂T)v…1上の式を用いると後述するマイヤーの関係式が論じられるのです。■マイヤーの式前回までの議論で、モル比熱CpやCvを定義しました。マイヤーは、理想気体に対して下記のことが成り立つことを見出したのです。Cp - Cv = Rこの式のことをマイヤーの関係式といいます。早速証明してみよう。理想気体の場合、定圧モル比熱は下記のようにあらわせる。nCp =(∂H/∂T)p = (∂U/∂T)p +(∂(PV)/∂T)p nCp = (∂U/∂T)v +(∂(nRT)/∂T)p = (∂U/∂T)v +nR …2ここで、nCv =(∂U/∂T)v よりCp-Cvを計算すると、下記のようになる。Cp - Cv = (1/n)*(∂U/∂T)v +R - (1/n)*(∂U/∂T)v = R …3このようにして、マイヤーの式を証明することができました。
2015年02月14日
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化学熱力学：内部エネルギーと定積モル比熱について
エンタルピーが定圧条件下の熱や比熱に応用できる物理量なら、内部エネルギーUは定積条件下の熱や比熱に応用できる物理量なのです。ここで、おさらしてみましょう。熱力学の第一法則より、内部エネルギー変化dUは下記の式であらわせる。dU = d'q + d'w …(1)dV = 0の時の仕事d'ｗはゼロなので、下記のようにあらわせる。dU = d'q …(2)つまり、エンタルピー変化量が圧力一定化の時、熱ならば内部エネルギー変化量は体積が一定化の時の熱なのです。次に、全微分の式は偏微分の式を用いて下記のように書き換えられる。dU = (∂U/∂T)v dT + (∂U/∂V)t dV …(3)dV = 0の条件を考えると、dUは下記の式のようになる。dU = (∂U/∂T)v dT …(4)ここで1モルあたりの熱量をQとするとq = nQと変形できる。以上より、体積一定下ではdq' = nd'Q = dU = (∂U/∂T)v dT d'Q/dT = (1/n)*(∂U/∂T)v …(5)d'Q/dTは定積モル比熱と呼ばれる物理量であり、Cvで表す。Cvは(5)式より下記のようになる。Cv = (1/n)*(∂U/∂T)v …(6)いかかですか。エンタルピーと似たような形式の表現が内部エネルギーも可能なのです。こういったところが、熱力学の美しさかもしれませんね。本日はここまで。
2015年02月14日
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化学熱力学：エンタルピーと定圧モル比熱
■エンタルピーについてさて、前回状態量という概念を学び内部エネルギーUも状態量であることを論じた。そこで、下記のような物理量Hを考えてみる。H = U + PV …1当然、HはPとVだけで決まればUも一意的に決まるし、新しい物理量Hも状態量である。このHのことを熱学ではエンタルピーと呼ぶ。エンタルピーが一体何なのか。これについて解説する。■エンタルピーの微分形エンタルピーを微分していくと下記のように変形できる。dH = dU + PdV + VdPdH = d'q + d'w + PdV + VdPdH = d'q - PdV + PdV + VdPdH = d'q + VdP …2この式を見てわかるように、定圧のとき(dP = 0のとき）、dH = d'q …3となり熱量変化と一致することが確認できる。つまり、エンタルピーの変化量は定圧条件に限って熱量と同じ意味をもつのです。また、この式から熱量は定圧条件の時に状態量のようにふるまうという解釈もできるでしょう。■エンタルピーの微分形(2)エンタルピーの全微分は偏微分を用いて次式のようにもあらわすことができる。dH = (∂H/∂T)p dT + (∂H/∂P)t dP …4定圧条件を考えるとdP = 0であり、下記のように変形できる。dH = (∂H/∂T)p dT …55を3式に代入すると下記のような変形ができる。d'q = (∂H/∂T)p dTd'q/dT = (∂H/∂T)p …6ここで1モルあたりの熱量をQとするとq = nQと変形できる。これを6式に代入するとnd'Q/dT = (∂H/∂T)p …7のように変形できるので下記のように変形できる。d'Q/dT =(1/n)* (∂H/∂T)p …8この式が重要。dQ'/dTはモル比熱と呼ばれる物理量であり、圧力が一定の時は定圧モル比熱という。定圧モル比熱は物理学ではCpであらわすことが多く、下記のような式であらわせる。Cp ＝ (1/n)* (∂H/∂T)p …9このように、エンタルピーという状態量を定義すると、定圧環境下のいろいろな物性が評価できるため、熱学では重要な関数といえるのです。今後もエンタルピーはいろいろな式の中で姿を見せることでしょう。
2015年02月14日
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化学熱力学：状態量について。内部エネルギーは状態量か？
状態量について：内部エネルギーは状態量か？■状態量とは？状態 量とは、(温度と体積) 等の状態が決まれば，どういう経路でその状態になったかに無関係に決まる物理量のことです。じゃあ状態って何のことかというと、ここでは｢シリンダ内に気体が充満している状態｣とだと考えてください。この「シリンダ内の気体」がどういう状態であるかは、温度、体積、圧力の3つで表現できるのです。そして、この温度、体積、圧力もまた状態量だといえるのです。それを裏付ける根拠は、気体の状態方程式だと思っています。状態方程式とは何か後述させていただきます。■気体の状態方程式状態方程式とは、状態量の間に成立する関係式のことです。先ほど、温度、体積、圧力もまた状態量だといいましたが、この気体の状態方程式を眺めてみても頷けることでしょう。例えば、気体の巨視的な状態は、下記のような状態方程式で規定されるのです。P = f(n, V , T)…1(P⇒圧力, V⇒体積 , T⇒温度 , n⇒気体の物質量)ここで、理想気体の場合は高校化学で習ったと思いますが、気体定数Rを用いて PV = nRT…2nはシリンダ内で漏出しないので一定と考えます。この式が意味することは、状態1(V1,T1)から状態2(V2,T2)にどんな経路で移動させようとも圧力Pは決まってしまうし、V,Tについても同様のことが言えるという意味です。やはり、こういった関係式を眺めてみてもPやVやTって状態量だなって思いますよね。■内部エネルギーは状態量か？さて、ここで躓くことが多い。内部エネルギーは状態量ですと何の説明もなく議論されるからです。結論からいうと状態量です。例えば、状態1(P1, V1)から他の状態2(P2, V2)を往復する経路を考えます。経路1では、状態1⇒状態2と移動しましょう。経路2では、状態2⇒状態1と戻る場合を考えましょう。それぞれの経路における内部エネルギー変化をI、Jとします。もし、内部エネルギーが状態量であれば、I+J=0となるのはいうまでもありません。じゃあ、背理法的にそうならない場合を考えてみましょう。もし、内部エネルギーが状態量でなければ、|I|>|J|になるように経路を選べるのです。この場合、（P1, V1)から（P2, V2)へ行き、それからもとの状態（P1, V2)に戻って来たときにエネルギーがあがっています。たとえば断熱圧縮で外部から仕事を貰い体積がV1からV2に縮み、そのあと断熱膨張して外部に仕事をして、もとの状態（V2→V1)に戻るときに温度がもとより高くできるのです。でも、それって気体の状態方程式に明らかに矛盾してますし、無限に同じ操作を行えば系の内部エネルギーは果てしなく増加させられるのです。エネルギー保存則が崩壊してませんか？つまり、内部エネルギーは状態量だといえるでしょう。■仕事と熱は状態量か？熱力学の第一法則を思い出してください。ΔU = q + wとなりますよね。ここで、可逆過程の仕事の式としてw = -∫pdVだということを思い出してみてください。この式から考えても、仕事は状態量ではありません。では、qは状態量でしょうか？q = ΔU +wと変形すればわかると思いますが、状態量＋状態量出ない量の足し算になっています。状態量＋状態量は状態量ですが、状態量＋状態量でない物理量は状態量ではありません。(よく考えてみれば当たり前のことです。考えてみてわからなかったら質問してください。)したがって、qもまた状態量なのです。■熱力学の第一法則の微分形熱力学の第一法則は、微分形にして下記のようにあらわすことがあります。dU = d'q + d'wdとd’の違いは状態量かそうでないかです。熱力学ではこういう表記をよく使うので覚えてください。今日はここまで。
2015年02月14日
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化学熱力学：熱力学の第一法則
A:熱とは何か 熱とは一体何なのか。昔の人は、熱とは熱素(カロリック)という物質によって引き起こされるものであると考えていました。しかし、熱学の研究が進むにつれて熱の正体はカロリックではなく、物質を構成する分子（原子）の乱雑な運動そのものだと突き止めました。世の中の物質はすべて分子（原子）からできています。そしてその分子（原子）はすべて乱雑な運動をしています。この運動エネルギーの大きさが熱の大きさになっていたのです。B:熱と仕事の等価性/熱の仕事等量 1843年、ユリウス・ロベルト・フォン・マイヤーによって、下記のことが明らかになったのです。1．運動のエネルギーが熱になること⇒摩擦が発生すると、運動エネルギーが熱になることを想像してほしい。2．熱が運動のエネルギーに変わり得ること⇒内燃機関がまさにそれである。この事実は面白いです。熱というのは分子の運動だからこそ、力学的な仕事に変換したり、仕事そのものを熱に変えられるのです。また、ジェームズ・プレスコット・ジュールは、マイヤーの実験を参考にして｢仕事によって水に力学的な仕事W[J]を与えた時に発生する熱量Q｢cal]｣を算出したのです。この結果は下記の通りです。W = 4.19Q この4.19という比例定数こそが、仕事等量と呼ばれる値です。これは、熱と仕事は同一のものなのだということを支持する実験結果であり、熱と仕事の等価性はマイヤーやジュールによって確認されたのです。C:熱力学第一法則前述したように分子の熱運動が熱の正体です。そこで、熱のエネルギーを運動論に基づいて定義しましょう。分子には分子間力による位置エネルギーと、分子の熱運動による運動エネルギーが存在します。系における分子のこれらのエネルギーの総和を内部エネルギーといいます。内部エネルギーをU、系に加えた仕事をw、系に加えた熱をqとすると下記の式で表現できます。ΔU = q + w …1この式こそ熱力学の第一法則と呼ばれる熱学の大原則なのです。余談：圧力Pの気体を圧縮し、体積をdVだけ減少させる仕事を考えると、下記のように書き換えられます。dw = -PΔV …2E:準静的過程熱的な平衡状態（熱平衡状態）を保ったままで、非常にゆっくりかつ静かに状態を変化させることを、準静的過程と言います。例えば、シリンダー内の気体をピストンで圧縮する過程を考えましょう。シリンダーを素早く動かした場合、気流が発生して気体の内部エネルギーに余計な仕事が加わっています。そうではなくて、シリンダーを無限にゆっくり動かし、余計な仕事を加えないような過程が準静的な過程です。なんでそんなわけのわからない動かし方を定義するのかというと、以後の議論のためです。実は以後の熱力学の議論では、準静的過程であるという前提でさまざまな現象を考察していきます。ですから、この説明がよくわからなくても、ものすごーくゆっくり動かしていて気流が発生していない状況だというイメージを持っていただければそれで十分です。準静的過程という言葉は、熱力学で躓くきっかけになる概念ですが、まずはそういったイメージを持っていただきたいですね。F:可逆過程と不可逆過程気体の仕事には、可逆過程と不可逆過程があります。例えば、シリンダー内のピストンを準静的に動かし、圧縮⇒膨張を繰り返すとします。このシリンダー内で摩擦が発生する場合、気体を圧縮した後再び膨張しても元通りの内部エネルギーを維持できません。このような変化は不可逆過程です。一方、摩擦が発生せずに準静的に仕事を繰り返し続けると、仕事の収支はw = - PΔVと考えればゼロになります。したがって、圧縮と膨張時で元の状態に戻すことができるでしょう。このような過程は可逆過程といえるのです。皆さまに誤解しないでほしいのは、可逆過程は準静的だが準静的過程だからと言って可逆過程ではないのです。摩擦があると不可逆なんです。ここを誤解している人が沢山いますが、ここは誤解しないように。G:可逆過程における仕事圧力Pの気体を体積V1からV2に変化させる場合、wには次式が成り立ちます。w =- ∫ (V1⇒V2)PdV …3(追記⇒理想気体の場合、PV = nRTが成り立つので、下記のように変形できる。w = - ∫ (V1⇒V2)nRTdV /V = -nRT*Ln(V2/V1) = nRTLn(V1/V2) …4この式ぐらいが化学でよく使う式だと思っていますね。本日はここまで。次回はエンタルピーを解説します。
2015年02月14日
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電池の化学その２：実際の電池の放電容量がどのように決まるか。
電池の化学：理論放電容量の求め方。では、電池の放電容量を解説した。しかし、前回の例では黒鉛単独の放電容量を求めただけにすぎない。ここでは、実際の電池において正極と負極の放電容量が異なる場合、どのようにして放電容量が決まるか考えよう。そこで下記の例題を考えよう。例）正極がMnO2、負極が亜鉛のアルカリ乾電池がある。MnO2の重量を0.869g,亜鉛の重量を0.654gとする。以下の問いに答えよ。問い1⇒正極の理論放電容量(mAh/g)の理論値を求めよ。反応：2MnO2 (s) + H2O (l) + 2e− →Mn2O3 (s) + 2OH− (aq)MnO2の原子量は、86.9より0.869/869＝1/100 mol。流れる電子は1/100。Qt＝1/100×96485/0.869*1000/3600= 308 mAh/g問い2⇒負極の理論放電容量(mAh/g)の理論値を求めよ。反応：Zn (s) + 2OH− (aq) → ZnO (s) + H2O (l) + 2e−亜鉛の原子量は、65.4より0.654/65.4＝1/100 mol。流れる電子は2/100。Qt＝2/100×96485/0.654*1000/3600= 820 mAh/g問い3⇒この電池の実際の放電容量(mAh)の理論値はいくつか。正極の容量 = 308 * 0.869 = 268.0 mAh負極の容量 = 820 * 0.654 = 536.3 mAhこのように、放電容量の値が正極、負極で異なっているとどうだろうか。答えは268mAhである。冷静に考えればわかるが、この電池の場合、負極はまだ反応する余地があるが、正極は268.0 mAhまで反応すると反応しきってしまうということだ。このように、電池の容量は正極の容量と負極の容量の両方の値を比較することで決まる。電池を作る場合、例えば缶やボタン式の電池など限られた容積の中で作るので上の例ならなるべく無駄な亜鉛を減らし、正極の量を増やしていくことが電池を作る上で理想的だと解るだろう。
2015年02月13日
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電池の化学：理論放電容量の求め方。
しばしば新聞とかニュースとかで次世代電池ということが議題にあがる。皆さまが利用している携帯の電池も、長持ちしたら便利なのは当然のことであり、容量(寿命)の高い新しい電池の開発は不可欠である。では、この容量って一体どうやって計算しているのだろうか。計算方法となると、ベーシックな議論なのに解説しているページが少ない。そこで、本稿では容量とは何か。容量ってどうやって計算するのか。改めて解説していこうと思う。1)終止電圧と放電容量について例えば、電池は放電して電流を流し続けるとだんだん電圧が落ちていき、最後は0Vになる。0Vにならなくても、ある電圧に達したらパワー不足で電気回路が動作しなくなる電圧というものがある。こういうときに、電池は電池切れとなるわけだが、実質的に電池切れとなる電圧のことを、終止電圧という。それを踏まえたうえで、放電容量とは何か。定義を書こう。放電容量をQとすると、下記の式であらわせる。Q＝電流I(mA)×持続時間T(h)…(1)ここで、接続時間Tとは電流Iが終始電圧まで実際に流せた時間である。放電容量Qは、まさに電池の寿命の指標であり、このQを改善していく材料の開発が不可欠といえる。2)材料のもつ放電容量についてしばしば、電池には理論的な容量があると言われることがある。では、なぜ理論的に容量が決まってしまうのか。これについては、高校化学の知識があれば理解可能なことである。例えば、リチウムイオン電池の負極カーボンは下記のような反応を行う。Li(+) + 6C + e - → C6Li …(2)今カーボンを12g用いる例を考えてみよう。すると、カーボンの原子量は12 g/molであり、カーボンは1molあることがわかる。化学式を考えてみよう。化学式の係数とモル比は一致するので、この電池の場合、1/6モルの電子が流れたことになる。ファラデーの法則より、1molの電子は96485 クーロンであるので、カーボンが反応すると96485/6クローンの電子が流れることがわかる。カーボン1g当たりの電気量に換算すると、96485/6/12 = 1340.7 クローン/gだとわかる。ここで1クーロン＝1A×1s = 1000mA×1/3600hなので、理論放電容量Qtは、Qt = 1340.7×1000/3600 = 372.4 mAh/gだとわかる。実際は終始電圧が0Vではないので、これより若干下がるだろうし、材料の持っている全てのエネルギーを引き出すことはとても難しい。、理論容量と実際の容量は必ずしも一致しないのである。ただ、すべての電池の容量は理論容量を超えないのだ。そして、理論容量は反応さえ分かればすべての電池において高校化学程度の知識で求められる。このことをしっていてほしい。
2015年02月13日
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入試における基本問題のまとめその4…三次方程式を題材とした整数問題
問い1：3次方程式 x^3-(p-3)x^2-3x+p-1 = 0の三つの解が 全て整数となるような実数pの値を求めよ。問い2：a,b,cは整数とする｡三次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が 有理数αに解をもてばαは整数であることを示せ。問い3：三次方程式x^3+x-8=0は有理数解をもたないことを示せ。問い4：x^3-x^2+9x-5=0は整数解をもたないことを示せ。問い5：pを素数とする。xの三次方程式 x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-p=0 が 整数解を持つときpの値は？解法)問い1f(x) = x^3-(p-3)x^2-3x+p-1とおく。f(1) = 0より、整数解の一つはx=1である。また、（x-1)で因数分解するとf(x) = (x-1)(x^2-(p-4)x+1-p) = 0と表せるので、x^2-(p-4)x+1-p=0が整数解となるような実数pの条件を考えればよい。※実質的には三次方程式のふりをした二次方程式の問題だった。残り二つの解をa,bとおくと、解と係数の関係からa+b=p-4 …(1)ab=-p+1 …(2)(1)+(2)より、ab+a+b=-3(a+1)(b+1)=-2…(3)これを満たす整数a,bの組(a,b)は、(1,-2)(-2,1)(0,-3)(-3,0)に限られる。よってp=1,3となる。解法)問い2 有理数解をx=p/qと表す。ここで(p,q)は互いに素な整数とする。三次方程式に代入すると、(p/q)^3+a(p/q)^2+b(p/q)+c=0p^3/q = apq + bpq^2+cq^3…(1)ここで右辺は整数であるので、p^3/qも整数となるが、p,qは互いに素であるので、q=1となる。従って、有理数解αは整数解であることが示された。解法)問い3 三次方程式x^3+x-8=0が有理数解aを持つとすると、aは整数である。aを代入すると、a^3+a-8 = 0⇔a(a^2+1) = 8a＜a^2+1であり、また、0＜a^2+1を考えると、これを満たす整数、(a,a^2+1)の組は、(1,8),(2,4)のみである。ところが、いずれの条件も満たすaは存在せず矛盾。よって、三次方程式は有理数解をもたない。解法)問い4：f(x)=x^3-x^2+9x-5として、そのグラフを考える。f'(x) = 3x^2-2x+9 = 3{x^2-(2/3)x+1/9}-1/3+9=3(x-1/3)^2+26/3＞0より、f(x)は単調増加する関数である。更に、f(0)=-5,f(1)=4より、f(x)の解は0＜x＜1の間にあることがわかる。従って、f(x)=0は整数解をもたない。解法)問い5：問題にはいるまえにコメントをさせてほしい。誤答例。解と係数の関係より、αβγ=pだから、(α,β,γ)=(1,1,p),(-1,-1,p),(-1,1,-p)という組み合わせが考えられるということで、x=±1を代入する解法が書かれているけれども、それで本当にいいだろうか?ここで書かれているのは、あくまで整数解をもつと書いてあるが、全部が整数解だなどとは一言も書いていない。例えば、(√2-1,√2+1,p)の場合も、αβγ=(2-1)p=pで、整数解pが一応存在する。これも問題文の条件を満たしているのだ。直感的にx=1のとき、p^2-8p+7=0だからp=7と思うかもしれないけれども、ちゃんと論証するとなると、解と係数の関係より、(α,β,γ)=(1,1,p),(-1,-1,p),(-1,1,-p)と論じるのは言葉足らずではないだろうか。それを踏まえたうえで解説しよう。f(x)=x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-pとおく。整数解をaとすると、f(x)は(x-a)で割ることができるので、x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-p=(x-a)(x^2+bx+c)=x^3+(b-a)x^2+(c-a)x+acと表せる。各係数を比較するとb-a=p^2+2⇔b=a+p^2+2c-a=-7p+4⇔c=a-7p+4と表せるので、bとcは整数である。更に、p=acと表せるので、a,b,cは整数であることから、(a,c)=(1,p),(p,1),(-1,-p),(-p,-1)のいずれかの場合に限られる。以上により場合別けを行う。a=1のとき、f(1)=0⇔p^2-8p+7=0⇔p=7,1より、p=7が解となる。a=-1のとき、f(-1)=0⇔p^2+6p-3=0より、pは整数にならない。a=pのとき、f(p)=0⇔p^4+p^3-5p^2+3p = 0⇔p^3+p^2-5p+3=0,(p-1)^2(p+3)=0より、pは素数にならない。a=-pのとき、f(-p)=0⇔p^4-p^3+9p^2-5p = 0⇔p^3-p^2+9p-5=0より問い4の結果からpは整数解をもたない。よって、a=1が解であり、その時のpの値は7である。
2015年02月09日
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ニュートン法による立法根の近似
xの関数y = f(x)に対して、f(x) = 0の解は以下の方法で近似できる。まず、x軸上にx_kをとり、点(x_k,f(x_k))を考える。この点に接する接線を引くと、下記の式が得られる。y = f'(x_k)(x - x_k))+f(x_k)…(1)この接線とx軸の交点を(x_k+1,0)として以下の数列を得ることができる。f'(x_k)(x_k+1 - x_k))+f(x_k)=0x_k+1 = x_k - f(x_k)/f'(x_k)…(2)例えば、グラフにすると、下記のようになる。この数列はf(x)=0の解に収束する数列であり、ニュートン法を使うと、解の値を精度よく近似できるのだ。そこで実験してみよう。問い：2^(1/3)の近似値を求めよ。f(x) = x^3 - 2とする。この時、f'(x) = 3x^2であり、x1 = 1として計算すると下記のとおりである。x2 = 1 - (1-2)/3*1 = 1+1/3 = 4/3x3 = 4/3 - (64/27 - 54/27)/(16/3) = 91/72 = 1.2638このx3^3を計算すると実は2.018であり、かなり精度がいいです。x4以降は電卓に頼らざるをえませんが、計算してみましょう。x4 = 1.259933…x5 = 1.259921…x4^3 = 2.000059x5^3 = 2.000000001このように比較的簡単な操作で3乗根の値がわかってしまうのだ。ニュートン法は偉大な功績だとおもう。
2015年02月09日
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慶應義塾医学部 2013 確率と漸化式
コメント：確率と漸化式の基本を理解するには、非常にいい問題だと思う。京大の確率の問題と併せて、難関大学の確率の問題になれていってほしい。問い1：1回目の操作で赤玉が3個になる確率は、最初の操作でAから白玉を選び、Bから赤玉を選ぶ確率に等しい。最初の操作でAから白玉を選ぶ確率は、1/3最初の操作でBから赤玉を選ぶ確率は、1/3積の法則より、a1=(1/3)*(1/3)=1/9…(あ)1回目の操作で赤玉が2個になる確率は、最初の操作でAから白玉を選び、Bから白玉を選ぶ確率、及び最初の操作でAから赤玉を選び、Bから赤玉を選ぶ確率の和となる。前者の確率は、1/3*2/3=2/9.後者の確率は2/3*1/3=2/9よって、b1=2/9+2/9=4/9…(い)1回目の操作で赤玉が0個になる確率は0より、赤玉が1個だけ残る確率は余事象を考えると、1-1/9-4/9 = 4/9。よってc1 = 4/9…（う）問い2：袋Aにおける赤玉の個数をX、白玉の個数をYとして、ある回数のボールの個数を(X,Y)であらわす。(a)… n+1回目が(3,0)である場合は、n回目の状態が(2,1)の場合かつ次の操作でAの白玉を取り出し、Bから赤玉をもらう場合に限られる。これは、an+1 = bn*(1/3)*(1/3) = (1/9)*bn…(1)となる。(b)… n+1回目が(2,1)である場合は、下記3とおりである。(b-1)…n回目は、(3,0)である場合。(b-2)…n回目は、(2,1)であり、次の操作でも(2,1)になる場合。(b-3)…n回目は、(1,2)であり、次の操作で(2,1)になる場合。(b-1)の確率はanである。(b-2)の確率は、問い1よりbn*4/9である。更に(b-3)の確率は、次の操作でAから白玉を選び、Bから赤玉を選ぶ確率であり、cn*(2/3)*(2/3)となる。よってbn+1 = an + (4/9)bn + (4/9)cn…(2)となる。(c)… n+1回目が(1,2)である場合は、下記3とおりである。(c-1)…n回目は、(2,1)であり、次の操作で(1,2)になる場合。(c-2)…n回目は、(1,2)であり、次の操作でも(1,2)になる場合。(c-3)…n回目は、(0,3)であり、次の操作で(1,2)になる場合。(c-1)の確率は問い1より(4/9)*bnである。(c-2)の確率は、次の操作でAで赤玉を選び、更にBでも赤玉を選ぶ確率、および次の操作でAで白玉を選び、更にBでも白玉を選ぶ確率となり、前者は、cn*(1/3)*(2/3)=(2/9)*cn。後者はcn*(2/3)*(1/3)=(2/9)*cnよって(4/9)*cnとなる。(c-3)の確率は、余事象を考えると1-an-bn-cnである。以上より、cn+1=1-(5/9)bn-(5/9)cn-an…(3)となる。従って、(2)、(3)より、bn+1+cn+1=1-(1/9)(bn+cn)pn+1 = 1 - (1/9)pnここで特性方程式x=1-x/9⇔x=9/10を利用するとpn+1 - 9/10 = 1 - (1/9)pn - 9/10pn+1 - 9/10 = (1/90)＊(9-10pn)10pn+1 - 9 = (-1/9)*(10pn-9)10pn - 9 = (-1/9)^(n-1)*(10p1-9)=(-1/9)^npn = (-1/9)^n*(1/10)+(9/10)問い3：赤玉の個数の期待値Enを考える。E1 = 3*a1+2*b1+1*c1=3/9+8/9+4/9 = 5/3En+1 = 3*an+1 + 2*bn+1 + cn+1 En+1 = (1/3)*bn + 2*[an + (4/9)bn + (4/9)cn] + 1-(5/9)bn-(5/9)cn-an En+1 = an + (2/3)bn + (1/3)cn + 1En+1 = (1/3)*(3an+2bn+cn)+ 1En+1 = (1/3)*En + 1ここで特性方程式x = (1/3)x+1⇔x = 3/2を利用するとEn+1 - 3/2 = (1/3)En + 1 - 3/2 = (1/3)*(En - 3/2)En - 3/2 = (1/3)^(n-1)*(E1 - 3/2)En = (1/3)^(n)*(1/2)+3/2
2015年02月09日
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円の接線の公式を導出する。
公式の導出自体が入試で出ます。円の接線の場合、上記の動画が参考になるのでリンクしておきましょう。
2015年02月03日
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d/dx(log x) = 1/xの証明
logxの微分が1/xとなることの証明です。非常に解りやすい説明だと思うので、理屈で理解していない方は、この動画をみるといいでしょう。
2015年02月02日
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オリジナル問題⇒e^xを微分するとe^xなのか?
e = lim(x→0)(1+x)^(1/x)と定義する。この時下記の問いに答えよ。(1)lim(x→0){log[e](1+x)}/x を計算せよ。※[]の数は底を表す。(2)f(x) = e^xとして、f'(x) = e^xとなることを証明せよ。コメント：こんな入試問題でてもいいんじゃないかと思い、出題してみた。公式を暗記している人から見たらぎょっとする問題かもしれないが、ちゃんと一つ一つの公式を理解している人からみれば、さほど難しい問題ではありませんね。(1) log[e]e = 1 = lim(x→0)log[e](1+x)^(1/x) = lim(x→0){log[e](1+x)}/xとなるので、lim(x→0){log[e](1+x)}/x = 1(2)微分の定義よりf'(x) = lim(h→0) {e^(x+h)-e^x}/h = e^x * lim(h→0) {e^(h)-1}/hと表せる。ここで、t+1=e^(h)とおくと、h→0のとき、t→0だとわかる。すなわち、f'(x) = e^x * lim(t→0) t/{log[e](t+1)} f'(x) = e^x * 1/[lim(t→0){log[e](1+t)}/t](1)の結果を使うと、f'(x) = e^x*1 = e^x
2015年02月02日
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二項定理の基礎問題の解き方
受験生が苦手とする二項定理の解き方について。基礎問題ぐらいなら、この講義を理解すれば大分対応できるでしょう。
2015年02月02日
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東大数学 2003年 円周率の計算
問い 円周率は3.05より大きいことを証明せよ。コメント) これも有名入試問題。個人的には、円周率が3.1より大きいことを証明せよ。という問題でもいいと思います。3.05じゃ中学生でも解析できてしまうからです。色々な解法があるけれども、個人的に好きな解法は下記の解法がおすすめ。数学3の知識を駆使して、精度良く求められるので個人的には大好きだ。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝A=∫dx/(1+x^2)を考える。x=tanθとおくと、dx/dθ=1/cos^2θ,1+x^2 = 1+tan^2θ=1/cos^2θより、A=∫dθ=θ+C…(1)となる。ここで、0≦x≦1/√3(0≦θ≦π/6)でAを積分すると考えると、A=π/6…(2)である。今y=f(x)=1/(1+x^2)のグラフを考える。y'=f'(x)=-2x/(1+x^2)^2…(3)y''=f''(x)=(2(3x^2 -1))/(x^2+1)^3…(4)より、y=f(x)の増減表、およびf(x)のグラフは下記のとおりである。次に、曲線上に下記の点を取ることにする。A(0,f(0)),B(√3/6,f(√3/3)),C(√3/3,f(√3/3))∴A(0,1),B(√3/6,12/13),D(√3/3,3/4)またA～Cからx軸に垂線を下ろし、その交点をそれぞれO,P,Qとする。更に、四角形ABPO、四角形BCQPの面積をそれぞれS1,S2とすると、f(x)は積分範囲において上に凸な関数であり、下記の不等式が成り立つ。S1+S2＜π/6⇔6(S1+S2)＜π…(5)※誤解しないでほしいのが、上に凸じゃなくて 下に凸だったら台形の面積はグラフの積分結果より大きくなる。 上に凸だから上の不等式が成り立つのだ。よってS1=(√3/6)*(1+12/13)*1/2S2=(√3/6)*(12/13+3/4)*1/2S1+S2 = (√3/12)*(187/52)6(S1+S2) = (√3/2)*(187/52) = √3*187/104＞1.798＊1.732＞3.113.11＜πとなり、円周率πは3.05より大きい。
2015年02月01日
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京大2006 tan1°は有理数か?
タイトルの通りです。大学受験で超有名な問題です。前回千葉大学でlog[2]3が無理数かと論じたり、京都大学で、(2)^(1/3)は無理数かと論じたのでこれも論じてみよう。====================================tan1°が有理数だと仮定する。すなわち、互いに素な整数p,qを用いて、tan1°= p/qと表せるとする。このとき、tan2°= 2(tan1°)/{1 - (tan1°)^2}=2(p/q)/{1-(p/q)^2}と表せるので、分子、分母がともに有理数であり、tan2°も有理数となる。同様に、tan2°,tan4°,tan8°,tan16°,tan32°は有理数である。ここで、tan30°= tan(32°-2°)= (tan32°-tan2°)/{1＋tan32°tan2°}であり、右辺辺は有理数となる。一方、tan30°=1/√3より左辺は無理数であるので、矛盾。すなわち、tan1°は有理数ではない。この辺の問題というのは、有理数という概念を理解していますか?というだけの問題であり、一連の問題は有理数の定義さえしっていれば焦る問題ではないだろう。
2015年02月01日
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2002年 千葉大学 ある対数が無理数であることの証明
2002年千葉大学 対数(1)log[2]3は無理数であることを証明せよ。(2)nが正の整数のとき、log[2]nが整数でない有理数になることはあるかどうか調べよ。コメント→無理数であることの証明は有理数でないことを証明するのです。この手のも問題は必ず、互い素な自然数、p,qを用いて式=p/qとなるような有理数だと仮定し、p,qが互いに素でないので矛盾と誘導すればいいのです。パターン問題であり、さほど難しくないかもしれない。ただし、そういう解法をイメージできないとギョっとする問題かもしれない。(1)log[2]3が有理数だと仮定する．すなわち互いに素な自然数p,qを用いてlog[2]3=p/qと表せるとする．このとき，2^(p/q)=3となり，両辺をq乗すれば2^p=3^qとなる。ところが，p,qは自然数であり、左辺は必ず偶数，右辺は必ず奇数となるので上記等式は成立せず矛盾。よって、log[2]3は無理数となる。(2)log[2]nが有理数になる場合を考える。このとき互いに素な自然数p,qを用いてlog[2]n=p/qと表せるので、2^p=n^qが成り立つ。このとき、両辺を比較するとnは2のみを素因数にもつ整数だと考えられるので任意の整数mを用いてn=2^mとあらわせる。このとき、log[2]n=mとなり整数値になる。従って、log[2]nが有理数なら、その値は整数値である。
2015年02月01日
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東大 理系 2003 解と係数の関係を利用した整数問題
2次方程式x^2-4x-1=0の2つの実数解のうち大きいものをα，小さいものをβ とする。n=1,2,3…に対し、s_n=α^n+β^nとおく。(1) s_1，s_2，s_3を求めよ。また、n≧3に対し、s_nをs_n-1とs_n-2で表せ。(2) β^2003以下の最大の整数を求めよ。(3) α^2003以下の最大の整数の1の位の数を求めよ。コメント：(1)、(2)は簡単。(3)で答えを導けるかが得点の分かれ目といえるでしょう。1の位の問題と言えば、中学入試で有名な3^100の1の位の数を求めよという問題がある。この時の解法は、3→9→24→81→243…と規則性があって、 1の位は3,9,4,1と繰り返している。同じように、1の位って繰り返すんじゃないだろうか?という思考になった人は、(3)も解けるだろう。解らない問題は実験するのだ。(1)解と係数の関係より、下記(A),(B)が成り立つ。α+β=4…（A)αβ =-1…（B)従って、s_1～s_3は下記の通りになる。s_1 = α+β = 4s_2 = α^2+β^2 = (α+β)^2 -2αβ = 16 + 2 = 18s_3 = α^3+β^3 = (α+β)*(α^2+β^2-αβ) = 4*(18+1) = 76また、x^2-4x-1=0⇔x^2=4x+1より、両辺にx^nをかけると下記(c)式が成り立つ。x^(n+2) = 4x^(n+1)+x^n…(c)(c)式にα、βを代入すると以下のとおりである。α^(n+2) = 4α^(n+1)+α^n…（D) β^(n+2) = 4β^(n+1)+β^n…（E)（D)+(E)⇔ α^(n+2)+β^(n+2) = 4{α^(n+1)+β^(n+1)}+α^n+β^n…(F)以上より、s_n = 4*s_n-1 + s_n-2となる。(2)二次方程式の解は下記のとおりである。x^2-4x-1=0 ⇔ x^2-4x+4=5 ⇔ (x-2)^2 = 5 ∴ x = 2±√5となる。従って、β＜αより、β=2-√5,α=2+√5である。－1＜β＜0より、(-1)^2003＜β^2003＜0^2003 ∴-1＜β^2003＜0従って、β^2003を超えない最大の整数は-1である。(3)α^2003 + β^2003 = s_2003 ⇔ α^2003 = s_2003 - β^2003より、s_2003＜α^2003＜s_2003+1…（A) が成り立つ。従って、α^2003を超えない最大の整数は、s_2003を超えない最大の整数と等しい。そして、s_nは、s_1,s_2,s_3が整数であるので、帰納的にs_nは整数となる。従って、s_nを超えない最大の整数はs_nと一致する。今、ある整数xの1の位の数をf(x)と表すことにする。また、P_n = f(s_n)であらわされる数列P_nを定義する。そして、s_nは整数であり、n≧3に対して、s_n-1 = 10X+p, f(s_n-1) = p (X,pは任意の整数)s_n-2 = 10Y+q, f(s_n-2) = q (Y,qは任意の整数)と表せる。このとき、下記(B)式が成り立つ。f(s_n) = f(4*(10X+p)+(10Y+q)) = f(10(4X+Y)+4p+q) = f(4p+q)P_n = f(4f(s_n-1)+f(s_n-2)) = f(4*P_n-1 + P_n-2)…（B)この(B)式を用いて1の位を計算するn=4のとき、P_n-3、P_n-2,P_n-1,P_n,は下記のとおりである。P_(4-3) = f(s_1) = 4P_(4-2) = f(s_2) = 8P_(4-1) = f(s_3) = 6P_(4-0) = f(s_4) = 2この時、この次のn+1,n+2,n+3,n+4番目の数列もまた、P_5 = f(s_5) = f(4*2+6) = 4P_6 = f(s_6) = f(4*4+2) = 8P_7 = f(s_7) = f(4*8+4) = 6P_8 = f(s_8) = f(4*6+8) = 2…(C)となる。※ここで規則が見えてきますよね。またn=mのとき、P_m-3=4,P_m-2=8,P_m-1=6,P_m=2が成り立つとして、この次のm+1,m+2,m+3,m+4番目の数列もまた。P_(m+4-3) = P_(m+1) = f(4*2+6) = 4P_(m+4-2) = P_(m+2) = f(4*4+2) = 8P_(m+4-1) = P_(m+3) = f(4*8+4) = 6P_(m+4-0) = P_(m+4) = f(4*6+8) = 2…(D)となり、帰納的に、P_n={4,8,6,2,4,8,6,2…4,8,6,2}と繰り返す数列だとわかる。よってα^2003の1の位は、P_2003 = 6である。
2015年02月01日
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