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大阪大学 2014年 理系 Σ1/√kの整数部分
問：Σ(k=1→40000) 1/√kの整数部分を求めよ。コメント：この問題を数字で眺めても答えはでない。数列の和を求める公式もないし、計算するとなると途方もない。そこで考えてほしい。y＝1/√xを考えた場合、上の和の式は図形的に何を表しているだろうか。こういう発想になったとき、この問題は簡単に解けることに気がつく。これは積分の問題なのだと。その時の感動はとても大きく、だからこの問題を紹介しようと思った。解法：y＝f(x)=1/√xを考える。今、任意の整数kを用いて、座標Ak(k,f(k)),Bk(k,f(k+1)),Ck(k+1,f(k+1)),Dk(k+1,f(k)),Pk(k,0),Qk(k+1,0)を定義する。このとき、長方形AkPkQkBkの面積をRk、CkPkQkDkの面積をSkとすると下記(1)式が成り立つ。Sk < ∫(k→k＋1)1/√xdx < Rk1/√(k+1) < ∫(k→k＋1)1/√xdx < 1/√k…(1)（A)∫(k→k＋1)1/√xdx < 1/√kについて考える。各kごとに積算していくと、Σ(k=1→39999)∫(k→k＋1)1/√xdx < Σ(k=1→39999)1/√k⇔∫(1→40000)1/√xdx < Σ(k=1→39999)1/√k ⇔∫(1→40000)1/√xdx < Σ(k=1→40000)1/√k - 1/√40000⇔∫(1→40000)1/√xdx＋1/200 < Σ(k=1→40000)1/√k よって定積分を行うと、2*(√40000-√1)＋1/200 < Σ(k=1→40000)1/√k⇔398＋1/200 < Σ(k=1→40000)1/√k…(2)（B)1/√(k+1) < ∫(k→k＋1)1/√xdxについて考える。各kごとに積算していくとΣ(k=1→39999)1/√(k+1) < Σ(k=1→39999)∫(k→k＋1)1/√xdx⇔Σ(k=1→39999)1/√(k+1) < ∫(1→40000)1/√xdx⇔-1+Σ(k=1→40000)1/√k
2015年01月25日
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2012年 京都大学 極限の基礎問題
問：aが正の実数のとき、Lim (n→∞) (1+a^n)^(1/n)を求めよ。コメント：問題はとてもシンプル。どこかで見たことある形であり、Lim (a→∞) (1+1/a)^a = Lim (a→0) (1+a)^(1/a)= eを想像するかもしれないが、この問題は別の問題である。eに縛られないでほしい。解法：0＜a≦1のとき、1＜(1+a^n)≦1+1^n = 2が成り立つ。従って、1
2015年01月26日
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2014 横浜国大・理工 後期 微分法の応用/4次関数のグラフ
=======================================実数a,bに対して関数f(x)を次のように定める。f(x) = (x^2+ax+2)^2-(x^2+ax+2)+b次の問いに答えよ。(1)関数f(x)のグラフが直線x = -a/2に関して対称であることを示せ。(2)方程式f(x) = 0 がただ一つの実数解をもつとき、aの範囲を求め、bをaの式であらわせ。=======================================(コメント)(2)は個人的に良問だと思う。(x^2+ax+2) = tとおく定石問題という見方もあるけれども、どうせなら、問い1で何故対称であることを論証したのか、なるべく応用していくにはグラフの形を具体的に考える方法がいいと思いました。今回は形から解を導く方法をとっています。(解法)(1)f(x)は、f(x)＝(x^2+ax+2){(x^2+ax+2)-1}+b = (x^2+ax+2)(x^2+ax+1)+b…(1-1)と変形できる。今、任意の実数をpとして、f(x)がx = -a/2で対称⇔f(p-a/2) = f(-p-a/2)…(1-2)であり、(1-2)を証明すればよい。(1-1)より、f(p-a/2) = {(p-a/2)^2+a(p-a/2)+2}{(p-a/2)^2+a(p-a/2)+1}+bf(p-a/2) = (p^2-ap+a^2/4+ap-a^2/2+2)(p^2-ap+a^2/4+ap-a^2/2+1)+bf(p-a/2) = (p^2-a^2/4+2)(p^2-a^2/4+1)+b…(1-3)f(∸p-a/2) = {(-p-a/2)^2+a(-p-a/2)+2}{(-p-a/2)^2+a(-p-a/2)+1}+bf(-p-a/2) = (p^2+ap+a^2/4-ap-a^2/2+2)(p^2+ap+a^2/4-ap-a^2/2+1)+bf(-p-a/2) = (p^2-a^2/4+2)(p^2-a^2/4+1)+b…(1-4)(1-3)、(1-4)より、任意の実数pに対して(1-2)は成り立つのでf(x)は、x=-a/2で対称となっている。(2)導関数f'(x)は下記のように求められる。f'(x) = (x^2+ax+2)'(x^2+ax+1)+(x^2+ax+2)(x^2+ax+1)’f'(x) = (2x+a)(x^2+ax+1)+(2x+a)(x^2+ax+2)f'(x) = (2x+a)(2x^2+2ax+3)…(2-1)ここで、f'(x)=0を考えると下記三つの解をもつ。x = -a/2, {-a±√(a^2-6)}/2…(2-2)※p = √(a^2-6)/2このことから、f(x)はx = -a/2で対称となり、かつx = -a/2で極値をもつことがわかる。(2-A) a^2-6＞0の時を考える。p= √(a^2-6)/2とおくと、解はx＝±p-a/2とあらわすことができ、これもまた異なる二つの実数である。この時、f(p-a/2)とf(-p-a/2)は問い1より等しくなり、このような条件を満たすグラフは、図(A)のようになる。しかし、f(x)=0が実数解をもつとき、図(A)のグラフは必ずx軸と二点以上交わるためf(x)=0の実数解は一つに定まらない。よって、 a^2-6＞0を満たさない。(2-B) a^2-6≦0の時を考える。a^2-6=0の時、f'(x)=(2x+a)^3であり、a^2-60となるので、f'(x)の正負は(2x+a)の正負と一致する。よってx＜-a/2のとき、f'(x)＜０…(2－4)x＝-a/2のとき、f'(x)＝０…(2－5)x＞-a/2のとき、f'(x)＞０…(2－6)となり、4次関数のグラフの形は図（B)のようになる。図Bが実数解を一つ持つ場合は、f(-a/2）=0の時に限られる。f(-a/2）=0 ⇔(-a^2/4+2)(-a^2/4+1)+b = 0b = a^4/16 - 3a^2/4 + 2 …(2-7)以上より、-√6≦a≦√6かつb = a^4/16 - 3a^2/4 + 2が解。
2014年11月04日
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東大数学 2003年 円周率の計算
問い 円周率は3.05より大きいことを証明せよ。コメント) これも有名入試問題。個人的には、円周率が3.1より大きいことを証明せよ。という問題でもいいと思います。3.05じゃ中学生でも解析できてしまうからです。色々な解法があるけれども、個人的に好きな解法は下記の解法がおすすめ。数学3の知識を駆使して、精度良く求められるので個人的には大好きだ。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝A=∫dx/(1+x^2)を考える。x=tanθとおくと、dx/dθ=1/cos^2θ,1+x^2 = 1+tan^2θ=1/cos^2θより、A=∫dθ=θ+C…(1)となる。ここで、0≦x≦1/√3(0≦θ≦π/6)でAを積分すると考えると、A=π/6…(2)である。今y=f(x)=1/(1+x^2)のグラフを考える。y'=f'(x)=-2x/(1+x^2)^2…(3)y''=f''(x)=(2(3x^2 -1))/(x^2+1)^3…(4)より、y=f(x)の増減表、およびf(x)のグラフは下記のとおりである。次に、曲線上に下記の点を取ることにする。A(0,f(0)),B(√3/6,f(√3/3)),C(√3/3,f(√3/3))∴A(0,1),B(√3/6,12/13),D(√3/3,3/4)またA～Cからx軸に垂線を下ろし、その交点をそれぞれO,P,Qとする。更に、四角形ABPO、四角形BCQPの面積をそれぞれS1,S2とすると、f(x)は積分範囲において上に凸な関数であり、下記の不等式が成り立つ。S1+S2＜π/6⇔6(S1+S2)＜π…(5)※誤解しないでほしいのが、上に凸じゃなくて 下に凸だったら台形の面積はグラフの積分結果より大きくなる。 上に凸だから上の不等式が成り立つのだ。よってS1=(√3/6)*(1+12/13)*1/2S2=(√3/6)*(12/13+3/4)*1/2S1+S2 = (√3/12)*(187/52)6(S1+S2) = (√3/2)*(187/52) = √3*187/104＞1.798＊1.732＞3.113.11＜πとなり、円周率πは3.05より大きい。
2015年02月01日
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2014 一橋大学 整数問題(合同式その5)
a-b-8とb-c-8が全て素数となるような素数の組(a,b,c)を全て求めよ。コメント：非常にシンプルな問題ですよね。一見すると、攻める手立てがなく、多くの受験生にとって漠然とした問題に感じられたのでは？この問題を見た方。とりあえず考えてみえてください。いい練習になります。特に素数の基本的な性質として、素数は2以上であり、2を超える素数は奇数だということを良く意識してください。そのうえで解法を読んでください。解法は書きながら※で注釈をいれて追加のコメントをしていきます。===============================================(解法)a-b-8もb-c-8も素数なので、a-b-8≧2かつb-c-8≧2をみたす。よって下記の不等式がなりたつ。a-b-8≧2かつb-c-8≧2⇔a-b≧10かつb-c≧10⇔a-10≧bかつb≧c+10…(1)(1)より、a≧c+20かつb≧c+10となり、必然的にa,bは2より大きい素数なのでa,bは奇数となる。従って、a-b-8は必ず偶数となり、これを満たす素数は2である。よって、a-b-8=2⇔a=b+10…(2)と定まる。ここで、b-c-8=pとおき、pが奇数の場合、および偶数の場合を考える。(A)pが奇数の場合、b-c-8=pを考えるとbが奇数なので、cが偶数になる。cは素数であることから、c=2となる。このとき、b=10+p…(3),a=20+p…(4)となりa,bが素数となるようなpの値を考えればよい。※なんとなく、この式をみたらp=3、b=13、a=23じゃないのか？と疑問に持ってほしい。 そして僕はこの条件だとこれしか解がないんじゃないの？って思いました。 その時、ふと2004年の早稲田の政経の合同式の問題を思い出しました。 そうか、この問題も3で割ったあまりで考えていくとp=3以外の素数は存在しないと 証明できるんじゃないのか？本質的には早稲田の政経や阪大2013年と同じ問題だ。 こう連想したので、次のように解きました。今、pを3で割ったあまりの値ごとにa,bが存在する条件を考える。(A-1) p≡0(mod3)のとき、pは素数だからp=3となる。このとき、b=13かつa=23より条件を満たしている。(A-2) p≡1(mod3)のとき、a≡21≡0(mod 3)となり、必ずaが20以上の3の倍数になるのでaが素数になることはなく、不適。(A-3) p≡2(mod3)のとき、b≡12≡0(mod 3)となり、必ずbが10以上の3の倍数になるのでbが素数になることはなく、不適。以上より、pが奇数のときの解はp=3に限られ、(a,b,c)=(23,13,3)が解となる。(B)pが偶数の場合、pは素数なのでp=2となる。このとき、b=c+10,a=c+20となり、これらが素数を満たす条件を各cごとに考えていく。同様に、cを3で割ったあまりごとにa,bが存在する条件を考える。(B-1) c≡0(mod3)のとき、cは素数だからc=3となる。このとき、b=13かつa=23より条件を満たしている。(B-2) c≡1(mod3)のとき、a≡21≡0(mod 3)となり、必ずaが20以上の3の倍数になるのでaが素数になることはなく、不適。(B-3) c≡2(mod3)のとき、b≡12≡0(mod 3)となり、必ずbが10以上の3の倍数になるのでbが素数になることはなく、不適。以上より、pが偶数のときの解はp=2に限られ、(a,b,c)=(23,13,2)が解となる。∴(a,b,c)=(23,13,2),(23,13,3)
2014年11月08日
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d/dx(log x) = 1/xの証明
logxの微分が1/xとなることの証明です。非常に解りやすい説明だと思うので、理屈で理解していない方は、この動画をみるといいでしょう。
2015年02月02日
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数学自由研究：13 じゃんけんの勝率について
(1)5人で1回じゃんけんをしたときに、2人が勝つ確率を求めよ。(2)5人で1回じゃんけんをしたときに、勝負がつく確率を求めよ。(3)n人で1回じゃんけんをしたときに、勝負がつく確率を求めよ。コメント：基本問題なのだが、n人で一般化するとわかるだろうか?基本的なことは、じゃんけんを考えるを参考にしてください。n人がじゃんけんしてk人が勝つ確率は、全事象が3^n通り。勝つ人の組み合わせがnCk,そして勝つための手が3とおりあるので、3*nCk/3^n = nCk/3^(n-1)となるのです。(1)じゃんけんの5人が出しうるすべての手は3^5通り。勝者の組み合わせは、5C2=5*4/2*1=10通り。勝者の勝ち方は、グーチョキパ－の3とおりである。従って、3*10/3^5=10/81が求める確率。(2)じゃんけんの5人が出しうるすべての手は3^5通り。勝者の選び方は、(5C4+5C3+5C2+5C1)= Σ(k=0→5)5Ck - 5C5 - 5C0 = 2^5 - 2 =30とおりである。※2項定理 Σ(k=0→n)nCk = 2^nを使っている。5C5と5C0がないだけだからそれを引いた。勝者の勝ち方は、グーチョキパ－の3とおりである。従って、3*30/3^5=10/27が求める確率。(3)じゃんけんのn人が出しうるすべての手は3^通り。勝者の選び方は、(nCn-1+…+nC2+nC1)= Σ(k=0→n)nCk - nCn - nC0 = 2^n - 2 勝者の勝ち方は、グーチョキパ－の3とおりである。従って、3*(2^n - 2)/3^n = (2^n - 2)/3^(n-1)このようにして、じゃんけんの確率は一般化できる。まずここをしっていてほしい。
2015年01月29日
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