JINさんの陽蜂農遠日記

jinsan0716

『ＪＩＮさんの陽蜂農遠日記』にアクセスありがとうございます。このブログは、陽：太陽光発電、蜂：趣味の養蜂、農：菜園、花、スロー＆アクティブシニアライフ、遠：旅行、を中心とした備忘録を兼ねた17年間にわたる毎日のブログ(雑記帳）です。書き込んでいただける方は、写真下の『コメントを書く』から気楽に、ご感想、ご意見ご質問等を書き込んでいただきたく。

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数の不思議(その2)：142857

(1)

カテゴリ：ＪＩＮさんの農園

不思議なふるまいを見せる6桁の数字があります。
「 142857 」という何気ない自然数が、単純なかけ算で、面白い現象を見せてくれるのです。

■ 142857に、1、2、3、4、5、6を順にかけてみます。

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

この計算で、どのようなことが起こっているでしょうか。

それぞれの積には 1、4、2、8、5、7の6つの数字しか出て来ないのです 。

かけ算をする順序を変えて、

142857 × 1 = 142857

142857 × 3 = 428571

142857 × 2 = 285714

142857 × 6 = 857142

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

掛け算の結果の数値は 1、4、2、8、5、7の6つの数字が、上の如くに、数字がどんどん右下に
ずれていっているのがわかります、これを「巡回数」👈リンクと呼びます。

■ そして 142857 × 7 = 999999　になります。

8倍以上では崩れてしまうように思えるが、先頭の数を移動して末尾(一の位)に加えると保たれる 。

142857 × 8 = 1142856 → 先頭の1を末尾の6に加える → 142857
142857 × 9 = 1285713 → 先頭の1を末尾の3に加える → 285714
142857 × 10 = 1428570 → 先頭の1を末尾の0に加える → 428571
142857 × 11 = 1571427 → 先頭の1を末尾の7に加える → 571428
142857 × 12 = 1714284 → 先頭の1を末尾の4に加える → 714285
142857 × 13 = 1857141 → 先頭の1を末尾の1に加える → 857142
142857 × 14 = 1999998 → 先頭の1を末尾の8に加える → 999999
142857 × 15 = 2142855 → 先頭の2を末尾の5に加える → 142857
142857 × 16 = 2285712 → 先頭の2を末尾の2に加える → 285714

となる。このように、 一番左の桁の数を一番右の桁の数に加えるという操作 を行うと、また 142857 の順序が現れる。
これは、より大きい数でも成り立つ。

142857 × 71 = 10142847 → 左2桁の 10 を残りの 142847 に加える → 142857
142857 × 52989018 = 7569852144426 → 右から6桁ずつ 7、569852、144426 と　　　　区切ってそれぞれを足す → 714285

 ■ 142857には、さらに不思議な性質が。
こんどは、142857を142と857に2等分 して足してみましょう。
142 + 857 = 999　　と 答えに9が並びます。

285 + 714 = 999

428 + 571 = 999

571 + 428 = 999

714 + 285 = 999

857 + 142 = 999

と、 すべて和が 999 になっています。
■ こんどは、142857を14と28と57に3等分して足してみましょう。

14 + 28 + 57 = 99 　と 和に9が並びます 。

さらに、142857を1、4、2、8、5、7に6等分して足してみましょう。9になるでしょうか。

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27

となって、残念ながら9にはなりません。自然数を6個も足すのですから、9にならないのは
自然なことかもしれません。
しかし、この足し算をもう1回繰り返し、27の各位の数を足すと、

2 + 7 = 9

となります。 142857の6等分も9に関係しています。

■ 1/7を小数で表すと、

1/7 = 0.142857 142857 142857 …
となり、 142857 が繰り返し現れます 。
このように、同じ数字が繰り返し現れる小数を循環小数と言います。
1/7 を小数で表す計算から、
3/7 = 0.428571428571… = 428571/999999
このことを用いると、142857 を3倍すると 428571 になる理由は、
次のように説明できます。
3/7 = 1/7×3
0.428571428571… = 0.142857142857…×3
428571/999999 =142857/999999×3
428571 = 142857×3
142857 の本質は1/7の循環する部分 だったのです。

■ 142857と自然数÷7
1÷7＝ 0. 142857 142857 14 ・・・

2÷7 = 0.2857 142857 1428・・・

3÷7 = O. 42857 142857 142・・・

4÷7 = O. 57 142857 142857・・・

5÷7 = 0.7 142857 142857・・・

6÷7 = 0.857 142857 14285・・・
7÷7 = 1

8÷7 = 1 . 142857 142857

 ■ 14287の2乗
142857 ＾ 2＝20408 122449
(【＾】これは「 キャレット 」または「 ハット 」という記号で【＾2】は2乗を表す )
最初に0を付けて桁数を合わせ2分割して加算すると
020408＋ 122449 ＝142857　さらに2分割して加算すると999
このように「2乗した数の前の部分と後ろの部分を分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる」
ような数のことも“ カプレカ数 ”と呼びます。
例えば、 297 は“ カプレカ数 ”である。297＾2 = 88209 であり、これを上位の 2桁 88 と
下位の3桁 209 とに分けて足すと 88 + 209 = 297 となる。
この定義でのカプレカー数を小さな順に並べる と、下記の如し
1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, …