このコラッツの数式は、要するに、 「割る2」 と 「×3」 と 「+1」 の組み合わせなのです。正の整数の中では、もっとも小さい、言い換えれば、 自然数の基礎とも言うべき三つの数字です。よって、 この三つの数字を色々と組み合わせれば、それ以上の大きな整数は、どの数字だって作り出せる のが当然のはずなのです。それは、逆も意味しています。 これらの三つの数字を上手に使えば、あらゆる整数を1にまで分解してしまう事 も可能な訳です。
コラッツの数式の場合は、 「割る2」と「×3」の組み合わせが実に絶妙です。一見、「×3」ばかりが続けば、「割る2」が追いつかず、 数は巨大化していくばかり のようにも感じられますが、ここに 「偶数は2で割って、奇数は×3+1」 という条件がついています。
偶数を計算したあとは偶数にも奇数にもなりますが、 奇数の計算のあとは必ず偶数になってしまうカラクリなのです。つまり、 確率的には、絶対に偶数の出現率の方が多くなる のであり、ゆえに、 偶数の「割る2」の回数の方が奇数の「×3」の回数の方を上回る事になる のです。だから、 この計算式を何度も繰り返せば、割る事の方が多くて、いずれは、最小の1にまで割れてしまうという理屈になるのです。
ここで、ひそかに重要な要素となっているのが 「+1」 です。この「+1」は、 奇数を偶数に変える役目 も果たしていますが、同時に、 元の数字を1ずつ、ずらしていく効果も持っています。このように、1ずつ、ずれてゆく事によって、 掛け算と割り算だけでは1には成らない数でも、少しずつ微調整された末に、やがては1にたどり着いてしまう と言う仕組みです。
コラッツの数式の構造は、言葉で説明すれば、ざっと、こんな感じなのですが、残念ながら、これだけでは、コラッツ予想を証明した事にはなりません。 数学の世界には「なんとなくイメージでは」という妥協は存在せず、正解は具体的な形にしなくてはいけないからです。
つまり、以上の解説を証明したければ、 それを立証した数式を構築する か、あるいは、 完全に証明してみせた過程を提示 しなくてはいけません。この簡単なコラッツの数式が、いまだに誰にも解明された事になっていないのは、 この証明の部分が厄介だから なのです。
タグ： コラッツ予想
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