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jinsan0716
『ＪＩＮさんの陽蜂農遠日記』にアクセスありがとう ございます。 このブログは、 陽：太陽光発電、 蜂：趣味の養蜂、 農：菜園、花、スロー＆アクティブシニアライフ、 遠：旅行、 を中心とした備忘録を兼ねた17年間にわたる毎日のブログ(雑記帳）です。 書き込んでいただける方は、写真下の『コメントを書く』から 気楽に、ご感想、ご意見ご質問等を書き込んでいただきたく。
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2022.09.09
カテゴリ： ＪＩＮさんの農園
【 カプレカ数Ⅰ（カプレカー定数）
】とは
『ある数字の桁を並び替えて最大にしたものから、最小にしたものの差を
取ったとき（カプレカ操作）、元の値に等しくなる数をいう。』
例えば
180 810(最大)-018(最小)＝792 ×
372 732-237＝495 ×
495 954-459＝495 ◯ ➡ 【カプレカ数】
593 953-359＝594 ×
716 761-167＝594 ×
★3桁のカプレカ数が495のみであることの証明
0≤c≤b≤a≤9である。
このとき，(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)
99の倍数である。あとは99の倍数を1つずつ調べればよい。
198 → 981-189=792 ×
297 → 972-279=693 ×
396 → 963-369=594 ×
495 → 954-459=495 ◯ ➡ 【カプレカ数】
594 → 954-459=495 ×
693 → 963-369＝594 ×
792 → 972-279=693 ×
990 → 990-099＝891 ×
・カプレカ操作とは、「桁を並び替えてできる最大の数から最小の数を引く」という操作のこと。
・3 桁の数であればすべて 495に帰着し、4桁の数であればすべて6174に帰着する。
・5桁のカプレカ数は存在しない。
★ ４桁のカプレカ数が「６１７４」のみであることの証明
したがって、0≦a−d≦9 の 10通りと 0≦b−c≦9の 10通りが存在するので、
候補が10×10＝100 通りに絞り込める。
あとは 100個の候補に対して実験すると、6174 がカプレカ数であることが示せます。
★５桁のカプレカ数が存在しないことの証明
★６桁以降のカプレカ数の一覧
6 桁 の場合、少し面白くて
549945
631764 → 766431−134667=631764
と カプレカ数が2つ 見つかります。
7桁になると再び【カプレカ数 】 は存在しない 。
しかし 8桁 になると
63317664 → 76664331−13346667=63317664
97508421 → 98754210−01245789=97508421
と、またまた カプレカ数が2 つ 見つかります。
もどる ・・・
・・・ つづく ・・・
『ある数字の桁を並び替えて最大にしたものから、最小にしたものの差を
取ったとき（カプレカ操作）、元の値に等しくなる数をいう。』
例えば
180 810(最大)-018(最小)＝792 ×
372 732-237＝495 ×
495 954-459＝495 ◯ ➡ 【カプレカ数】
593 953-359＝594 ×
716 761-167＝594 ×
★3桁のカプレカ数が495のみであることの証明
0≤c≤b≤a≤9である。
このとき，(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)
99の倍数である。あとは99の倍数を1つずつ調べればよい。
198 → 981-189=792 ×
297 → 972-279=693 ×
396 → 963-369=594 ×
495 → 954-459=495 ◯ ➡ 【カプレカ数】
594 → 954-459=495 ×
693 → 963-369＝594 ×
792 → 972-279=693 ×
990 → 990-099＝891 ×
・カプレカ操作とは、「桁を並び替えてできる最大の数から最小の数を引く」という操作のこと。
・3 桁の数であればすべて 495に帰着し、4桁の数であればすべて6174に帰着する。
・5桁のカプレカ数は存在しない。
★ ４桁のカプレカ数が「６１７４」のみであることの証明
したがって、0≦a−d≦9 の 10通りと 0≦b−c≦9の 10通りが存在するので、
候補が10×10＝100 通りに絞り込める。
あとは 100個の候補に対して実験すると、6174 がカプレカ数であることが示せます。
★５桁のカプレカ数が存在しないことの証明
★６桁以降のカプレカ数の一覧
6 桁 の場合、少し面白くて
549945
631764 → 766431−134667=631764
と カプレカ数が2つ 見つかります。
7桁になると再び【カプレカ数 】 は存在しない 。
しかし 8桁 になると
63317664 → 76664331−13346667=63317664
97508421 → 98754210−01245789=97508421
と、またまた カプレカ数が2 つ 見つかります。
もどる ・・・
・・・ つづく ・・・
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