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jinsan0716
『ＪＩＮさんの陽蜂農遠日記』にアクセスありがとう ございます。 このブログは、 陽：太陽光発電、 蜂：趣味の養蜂、 農：菜園、花、スロー＆アクティブシニアライフ、 遠：旅行、 を中心とした備忘録を兼ねた17年間にわたる毎日のブログ(雑記帳）です。 書き込んでいただける方は、写真下の『コメントを書く』から 気楽に、ご感想、ご意見ご質問等を書き込んでいただきたく。
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2022.09.11
カテゴリ： ＪＩＮさんの農園
【分割数】（英: partition function） は
『自然数 n の分割（n をその順番の違いを除いて自然数の和として表す方法）の
総数を表す数論的函数である。
ただし、規約 p(0) = 1 および負の整数に対して p(n) = 0 と定める。
分割数の値
分割数の値について、
p(1) = 1
p(2) = 2
p(3) = 3
p(4) = 5
p(6) = 11
p(7) = 15
p(8) = 22
p(9) = 30
p(10)= 42
p(100) = 190,569,292
p(200) = 3,972,999,029,388
p(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991
例えば
『5をいくつかの正の整数の和で表す方法』 は、
★下図の如く
「奇数のみで分割する方法」の数と「異なる数で分割する方法」の数は常に一致します。
この事実は1748年にかの有名なレオンハルト・オイラーによって最初に証明されました。
すなわち
【奇数のみで表す分割方法】の総数＝【異なる数で表す分割方法】の総数
★分割数に関してはその他にも様々な性質が見つかっています。
例えば、ラマヌジャンによって
【「５で割って４余る数」の分割数は５で割り切れる】 ということが発見され、続けて
【「7で割って５余る数」の分割数は７で割り切れる】
【「11で割って6余る数」の分割数は11で割り切れる】 といった衝撃の事実も発見します。
『自然数 n の分割（n をその順番の違いを除いて自然数の和として表す方法）の
総数を表す数論的函数である。
ただし、規約 p(0) = 1 および負の整数に対して p(n) = 0 と定める。
分割数の値
分割数の値について、
p(1) = 1
p(2) = 2
p(3) = 3
p(4) = 5
p(6) = 11
p(7) = 15
p(8) = 22
p(9) = 30
p(10)= 42
p(100) = 190,569,292
p(200) = 3,972,999,029,388
p(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991
例えば
『5をいくつかの正の整数の和で表す方法』 は、
5
4+1
3+2
3+1+1
2+2+1
2+1+1+1
1+1+1+1+1
★下図の如く
「奇数のみで分割する方法」の数と「異なる数で分割する方法」の数は常に一致します。
この事実は1748年にかの有名なレオンハルト・オイラーによって最初に証明されました。
すなわち
【奇数のみで表す分割方法】の総数＝【異なる数で表す分割方法】の総数
★分割数に関してはその他にも様々な性質が見つかっています。
例えば、ラマヌジャンによって
【「５で割って４余る数」の分割数は５で割り切れる】 ということが発見され、続けて
【「7で割って５余る数」の分割数は７で割り切れる】
【「11で割って6余る数」の分割数は11で割り切れる】 といった衝撃の事実も発見します。
確かにp(4)=5,p(9)=30なので、どちらも５で割れます。またp(5)=7,p(12)=77なので、確かに７で割り切れます。さらにp(6)=11、p(17)=297=11×33なので11で割り切れます…。
恐るべき、分割数、そしてラマヌジャン…！
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