60ばーばの手習い帳

　放物線と言えばｙ＝ax²＋ｂx＋ｃ（a≠０）の2次関数のグラフが頭に浮かびます。


　放物線の図形的な意味は、「１本の直線と１点からの距離が等しい点の集合」です。直線と点の位置によって放物線の形（広がりかた）と頂点の位置が変わります。
軸がx軸、頂点が原点である放物線を「放物線の標準形」といいます。

　放物線ｙ²＝aｘの焦点は、y²＝４pｘと見比べて解きます。a＝４pから、p＝a/4→焦点の座標が（a/4、０）と算出されます。準線はx＝−a/４です。

　x軸が軸である（横向きの）放物線に対して、もっと前から親しいんできた？ｙ＝ax²＋ｂx＋ｃの2次関数のグラフは、軸がy軸の放物線です。

　y＝aｘ²＋bx＋cのグラフの頂点は、平方完成を使って求めました。同様に、放物線x＝aｙ²＋ｂy＋cの頂点も平方完成を行って求めます。頂点がわかれば、頂点以外のｙの値を1個代入して、そのときのxの値を求めればグラフが通る1点がわかるので、グラフも書けます。

　放物線上の点（x₁、ｙ₁）における接線方程式をｐを使って表すと、y₁y＝２ｐ(x＋ｘ₁)になります。

　放物線が、準線と焦点からの距離が等しい点の軌跡と定義されたことが新鮮でした。

　２次式で表される曲線は、放物線、楕円、円、双曲線のいずれかになります。順次見ていきます。