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2007.01.11
テーマ： 塾の先生のページ(8528)
カテゴリ： カテゴリ未分類
問題再掲
〔問１〕
(1) x, yは正の整数でx＋y＝2006を満たすときxyの最大値の末尾の数は…( ア )
レク先生、☆toshi☆先生、簡単な問題におつきあいいただいてありがとうございました。
さて、これを見てくれた高校生諸君！ ちょっと参考にしてね。
〔解法１…(最速)〕
問題に 「○,△は『正の数』」 とあったら、 まず相加・相乗平均の定理 を思い浮かべるべし。
この定理は、習いたてでは不等式の証明でしか使わないが、受験生になってわかるとおり、
ここでもこれをそのまま使える。(x＋y)/2でx＋yの形がそのまま使え、√xyの中にそのままxy
がある。
(x＋y)/2≧√xyだから、1003≧√xy。
両辺を２乗して、1003^2≧xy。
従ってxyの最大値は1003^2
きかれているのは末尾(一の位)の数字だけだから、3^2＝９。
これなら 暗算可能 。
〔解法２…(関数の考え方１)〕
文字が２種類では困る → １つの文字にまとめて 考える。x＋y＝2006よりy＝2006－x。
これをxyに代入して、xy＝x(2006－x)
軸は0と2006の中点すなわちx＝1003にくるので頂点のx座標は1003。
しからばy座標は ？
ここで頂点からもう一点(0, 0)までの 変化の割合 を使う。y＝ax^2というのは、
頂点から(t, at^2)までの各成分を比較すると、xの増加分がtのとき、yの増加分がat^2にな
このxy＝の二次式ではa＝－1。だから、頂点から(0, 0)までの横(x)の増加分が|1003|なので
縦(xy)の増加分が|1003|^2になる。
つまり頂点の座標は(1003, 1003^2)。 で、この答えは3^2＝９
〔解法２…(関数の考え方２)〕 …一番普通
xy＝x(2006－x)
＝－(x－1003)^2＋1003^2 より、最大値は1003^2。 したがって3^2＝９
以上とりあえず３通り紹介しましたが、 記述なら最後が一番書きやすい 。
でも マーク試験のように途中経過を書く必要がないなら 、最初の方法が一番速く答えを出せる
でしょう。
２番目のような考え方もわかっておくと 、二次関数の基本形の３種類、
y＝ax^2＋bx＋c…(1)
y＝a(x－p)^2＋c…(2) ←頂点の座標だけわかる
y＝a(x－α)(x－β)…(3) ←x軸との交点の座標がわかる
のうち、(2)よりも (3)の方が便利 だということがわかるでしょう。
なぜなら、(3)では頂点の座標は、x座標は２点の中点, y座標はaを利用すれば暗算でも出て
しまうので。
普段は いろいろな攻め口 を考えておいて、出た問題に応じて「どの攻め口がこの場合は一番ラ
クか!?」を マーク式と記述式で使い分けられるようになったら 、キミの数学力は天下一品だ。
〔問１〕
(1) x, yは正の整数でx＋y＝2006を満たすときxyの最大値の末尾の数は…( ア )
レク先生、☆toshi☆先生、簡単な問題におつきあいいただいてありがとうございました。
さて、これを見てくれた高校生諸君！ ちょっと参考にしてね。
〔解法１…(最速)〕
問題に 「○,△は『正の数』」 とあったら、 まず相加・相乗平均の定理 を思い浮かべるべし。
この定理は、習いたてでは不等式の証明でしか使わないが、受験生になってわかるとおり、
ここでもこれをそのまま使える。(x＋y)/2でx＋yの形がそのまま使え、√xyの中にそのままxy
がある。
(x＋y)/2≧√xyだから、1003≧√xy。
両辺を２乗して、1003^2≧xy。
従ってxyの最大値は1003^2
きかれているのは末尾(一の位)の数字だけだから、3^2＝９。
これなら 暗算可能 。
〔解法２…(関数の考え方１)〕
文字が２種類では困る → １つの文字にまとめて 考える。x＋y＝2006よりy＝2006－x。
これをxyに代入して、xy＝x(2006－x)
軸は0と2006の中点すなわちx＝1003にくるので頂点のx座標は1003。
しからばy座標は ？
ここで頂点からもう一点(0, 0)までの 変化の割合 を使う。y＝ax^2というのは、
頂点から(t, at^2)までの各成分を比較すると、xの増加分がtのとき、yの増加分がat^2にな
このxy＝の二次式ではa＝－1。だから、頂点から(0, 0)までの横(x)の増加分が|1003|なので
縦(xy)の増加分が|1003|^2になる。
つまり頂点の座標は(1003, 1003^2)。 で、この答えは3^2＝９
〔解法２…(関数の考え方２)〕 …一番普通
xy＝x(2006－x)
＝－(x－1003)^2＋1003^2 より、最大値は1003^2。 したがって3^2＝９
以上とりあえず３通り紹介しましたが、 記述なら最後が一番書きやすい 。
でも マーク試験のように途中経過を書く必要がないなら 、最初の方法が一番速く答えを出せる
でしょう。
２番目のような考え方もわかっておくと 、二次関数の基本形の３種類、
y＝ax^2＋bx＋c…(1)
y＝a(x－p)^2＋c…(2) ←頂点の座標だけわかる
y＝a(x－α)(x－β)…(3) ←x軸との交点の座標がわかる
のうち、(2)よりも (3)の方が便利 だということがわかるでしょう。
なぜなら、(3)では頂点の座標は、x座標は２点の中点, y座標はaを利用すれば暗算でも出て
しまうので。
普段は いろいろな攻め口 を考えておいて、出た問題に応じて「どの攻め口がこの場合は一番ラ
クか!?」を マーク式と記述式で使い分けられるようになったら 、キミの数学力は天下一品だ。
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Last updated
2007.01.11 16:14:06
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