数学: 圏論の復習 ── 集合の圏の余完備性: ていへんかけるたかさわるに

数学: 圏論の復習 ── 集合の圏の余完備性

圏論の復習 ── 再び極限集合の圏の完備性 , 再び余極限の続き.

定義 (余完備性).圏 $\mathscr{C}$ において, 任意の有限図式の余極限が存在するとき, $\mathscr{C}$ は 有限余完備 (finite cocomplete)であると言う. さらに任意の図式の極限が存在するとき, $\mathscr{C}$ は 完備 (cocomplete)であると言う.

集合の圏について次が成り立つ. すなわち, 集合の圏は完備かつ余完備である.

定理.集合の圏 $\mathbf{Set}$ は余完備である.

証明.$D : \mathscr{I} \rightarrow \mathbf{Set}$ を集合の圏 $\mathbf{Set}$ における任意の図式とし, $S$ を全ての $D(i)\, (i \in \mathrm{Ob}{\mathscr{I}})$ にわたる非交和 (disjoint union) とする.
\begin{equation*}
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S = \coprod_{i \in \Ob{\sI}} D(i)
\end{equation*} $x,y \in S$ が次の条件のいずれか一方を満足するとき $x R y$ と書いて, $S$ 上の関係 $R$ を定義する:
(i) x = y.
(ii) $\sI$ における射 $e : i \rightarrow j$ が存在して,
・ $x \in D(i)$, $y \in D(j)$ で $(D(e))(x) = y$;
・ $x \in D(j)$, $y \in D(i)$ で $x = (D(e))(y)$
の少なくとも一つが成り立つ.
条件 (i) は $x R x$ を意味する. すなわち $R$ は反射的 (reflexive) である. また条件 (ii) は $x R y$ ならば $y R x$ が成り立つことを意味する. すなわち $R$ は対称的 (symmetric) である.
$x,y \in S$ とする. $S$ 内の有限列 $x_0,\dots,x_n$ で $x_0=x,x_n=y$ かつ
\begin{equation*}
x_i R x_{i+1} \quad (i=0,\dots,n-1)
\end{equation*} を満たすものが存在するとき, $x E y$ と表わすことにする. $E$ は $S$ 上の関係だが, $x R y$ のとき $x_1=x,x_1=y$ とおけば $x E y$ となるので $E$ は $R$ を含む.
$E$ が同値関係であることを示す. $x,y,z \in S$ とする. まず, $x_0=x=x_1$ とおくことにより有限列 $x_0,x_1$ は $x=x_0 R x_1=x$ を満たすから $x E x$, すなわち $E$ は対称的である. 次に $x E y$ とすると, 有限列 $x_0,\dots,x_n$ で $x_0=x,x_n=y$ かつ $x_i R x_{i+1}\,(i=0,\dots,n-1)$ となるものが存在する. ここで, $y_i=x_{n-i}\, (i=0,\dots,n)$ とおくと, 有限列 $y_0,\dots,y_n$ は $y_0=x_n=y,y_n=x_0=x$ かつ $R$ が対称的であることから $y_i=x_{n-i} R y_{i+1}=x_{n-i-1}\,(i=0,\dots,n-1)$ である. よって $y E x$ となるから $E$ は対称的である. 最後に $x E y, y E z$ とすると, 有限列 $x_0,\dots,x_m$ で $x_0=x,x_m=y$ かつ $x_i R x_{i+1}\,(i=0,\dots,m-1)$ となるもの, および有限列 $y_0,\dots,y_n$ $y_0=y,y_n
=z$ かつ $y_j R y_{j+1}\,(j=0,\dots,n-1)$ となるものが存在する. ここで, 有限列 $x'_0,\dots,x'_{m+n}$ を
\begin{equation*}
x'_i = \begin{cases}
x_i & (i=0,\dots,m), \\
y_{i-m} & (i=m+1,\dots,m+n)
\end{cases}
\end{equation*} と定義すると
\begin{gather*}
x'_0=x_0=x, \quad x'_m=x_m=y=y_0 R y_1=x'_{m+1}, \quad x'_{m+n}=y_{n}=z, \\
x'_i R x'_{i+1} \qq (i=0,\dots,m+n)
\end{gather*} となるから $x E z$ であり $E$ は推移的 (transitive) である. 以上より $E$ は $S$ 上の同値関係である.
ここで,
\begin{equation*}
P = S/E
\end{equation*} とおき, $q : S \rightarrow P$ を商写像 (quotient mapping) とする. $P$ を頂点とする $D$ からの余錐を
\begin{equation*}
p = q|D, \quad\text{i.e.,}\quad p(i) = q|D(i) : D(i) \longrightarrow P \qq (i \in \Ob{\sI})
\end{equation*} と定義する.
$P=\Colim{D}$ であり, $p : D \rightarrow P$ がそれに伴う普遍的な可換余錐であることを示す. それには, 任意の $D$ 上の可換余錐 $c : D \rightarrow T$ に対して, 写像 $u : P \rightarrow T$ で図式
\begin{equation}
\label{dgm:u.p=c}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D \ar[r]^{p} \ar[dr]_{c} & P \ar[d]^{u} \\
& T
}
\end{xy}
\end{equation} を可換にするものが一意的に存在することを言えばよい.
まず, $p$ が可換余錐であることを示す. 任意の $\sI$ の射 $e : i \rightarrow j$ に対して, 図式
\begin{equation}
\label{dgm:p(i)=p(j).D(e)}
\begin{xy}
\xymatrix@=20pt {
D(i) \ar[dd]_{D(e)} \ar[drr]^{p(i)} & & \\
& & P \\
D(j) \ar[urr]_{p(j)} & &
}
\end{xy}
\end{equation} を考える. 任意の $x \in D(i)$ と $y=D(e)(x) \in D(j)$ に対して, $y$ の定義より $x E y$ が成り立つ. よって
\begin{align*}
p(j) \circ D(e)(x) & = p(j)(D(e)(x)) \\
& = (q|D(j))(D(e)(x)) = q(x) = (q|D(i))(x) \\
& = p(i)(x)
\end{align*} である. すなわち図式 (\ref{dgm:p(i)=p(j).D(e)}) は可換となり, $p$ が可換余錐であることがわかる.
次に $c : D \rightarrow T$ を $D$ からの任意の可換余錐とする. 仮定より任意の $\sI$ の射 $e : i \rightarrow j$ と任意の $x \in D(i)$, $y=D(e)(x) \in D(j)$ に対して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=20pt {
D(i) \ar[dd]_{D(e)} \ar[drr]^{c(i)} & & \\
& & T \\
D(j) \ar[urr]_{c(j)} & &
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である. これは $x E y$ ならば $c(i)(x)=c(j)(y)$ であることを意味する. このことにより $x$ の $E$ による同値類を $[x]_E$ ($=q(x)$)と表わしたときに, 写像 $u : P \rightarrow T$ を $u([x]_E)=c(i)(x)$ によって定義することができる. $u$ の定義により, 図式 (\ref{dgm:u.p=c}) において
\begin{equation*}
u \circ p(i)(x) = u(p(i)(x)) = u((q|D(i))(x)) = u(q(x)) = u([x]_E) = c(x)
\end{equation*} が成り立つ. よって図式 (\ref{dgm:u.p=c}) は可換である. さらに $p$ が全射であることにより, このような $u$ は一意的に定まる.
したがって $P=\Colim{D}$ であり集合の圏 $\Set$ は余完備である.