$\mathbf{問題.}$ 以下に示す圏の定義が本節で与えた圏の定義と同等であることを示せ. ここで行う定義において, 元 $e$ が $\textbf{恒等性 (identity property)}$ を持つとは, 任意の $f$ と $g$ に対して, $e \circ f$ が定義されるならば常に $e \circ f = f$ が成り立ち, $g \circ e$ が定義されるならば常に $g \circ e = g$ が成り立つことである.

以下に定義を述べる: 圏とは, 記号 "$\circ$" によって表わされる部分 2 項演算を持った集合で以下の条件を満たすものである.

• ($a$) 以下の各々の条件は同値である.
  
  • 　(i) $f \circ g$ と $g \circ h$ が定義される;
  • 　(ii) $f \circ (g \circ h)$ が定義される;
  • 　(iii) $(f \circ g) \circ h$ が定義される;
• ($b$) $(f \circ g) \circ h$ が定義されるならば, $(f \circ g) \circ h =
  f \circ (g \circ h)$ が成り立つ;
• ($c$) 任意の $f$ に対して, 恒等性を持った元 $e$, $e'$ が存在して $e
  \circ f$ と $f \circ e'$ が定義される.