昨晩は熟睡できたと思う.
午前中, 数学をやる. かなり集中できた. しかし...
それと比べてしまうと, 数学への集中度はまだ先がある感じがする. どこか思考の緻密さが欠けているような.
やろうとしていることは単純である.
$\mathscr{C}$ を任意の圏とする. $\mathscr{C}$ の射の全体 $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ も圏になる. $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ を圏 $\mathscr{C}$ の射圏 (arrow category) と呼ぶ.
$\mathscr{C}$ の 2 つの射 $f : X \to Y$ と $g : X' \to Y'$ に対して, 同型射 $u : X \to X'$ と $v : Y \to Y'$ が存在して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
X \ar[d]_{f} \ar[r]^{u} & X' \ar[d]^{g} \\
Y \ar[r]_{v} & Y'
}
\end{xy}
\end{equation*}
が可換図式になるとき, $f$ と $g$ は射圏 $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ において $(u, v) : f \to g$ を同型射として同型であると言い,
\begin{equation*}
f \simeq g \quad (\text{in} \, \mathrm{Ar}(\mathscr{C}))
\end{equation*}
と表わす. $f$ の $\mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ における同型類を $\left[ f \right]$ と書くことにする.
ここで $f : Y' \to Z$, $g : X \to Y$ が $\mathscr{C}$ の射で,
\begin{equation*}
Y \simeq Y' \quad (\text{in} \, \mathscr{C})
\end{equation*}
が成り立っているとき, $\left[ f \right]$ と $\left[ g \right]$ の合成 $\left[ f \right] \circ \left[ g \right]$ を整合性のとれた形でどのように定義すればよいか.
無理をせず地道にやる.
午後はチラシ配りをした. 外出することへの抵抗感がちょっと強くて慎重にやったが体調は大丈夫だった. 安心した.
帰宅してシャワーを浴びて夕食の支度をする.
ポトフを作った. ソーセージ, キャベツ, 玉葱, 人参, 茄子を入れる.
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