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Comments
2008.02.23
カテゴリ： カテゴリ未分類
勉強応援掲示板での回答を引用します。
単なる解説というだけでなく、同じ間違いをする子がけっこういるために。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
無題 投稿者： Slim Shady～～～～ 投稿日：2008/02/23(Sat) 01:24 No.4741
早速ですが質問です。
点（１、３）を通り、ベクトルn（５、－２）を法線ベクトルとする直線
の方程式は？という問題です。
中学生の自分ははじめ、”簡単じゃ～ん。”とフツーにやって、
答えを5/2x－y＋1/2にしたのですが、答えは5x－2y＋1でした。
何度もやっても5/2x-y+1/2になりました。普通に関数を使うことはベクトル
の問題において許されないのかなあと悩んでいます。
わかりやすい説明お願いします！！！！
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
Re: 無題 - 2008/02/23(Sat) 17:52 No.4742
Slim shady 君、凄いスピードの予習だな！
今まで言わなかったが、君が本格的に数学を究めていきたいなら、本題に入る前に
ちょっと言っておきたいことがある。
ねで思考し、論述する学問分野だ。無駄のない論理学ということは、書き方にとて
もうるさい約束事があるということ。そうしたことにもっと注意を向けなければい
けない。
例えば点Aの座標を示すなら「A(1，3)」であって「A＝(1，3)」ではないよね。
この違いがわかるかい？
A(1，3)は関係式ではない。ただの位置を示すものだ。ところがA＝(1，3)とすれば、
これは＝を夾んで左辺と右辺が与えられたため、左辺と右辺が等しいということを
示す関係式になる。
ベクトルの右につく(5，2)は位置か？ そうじゃなくて成分だろ。
だからそのx成分＝○，y成分＝△のような関係式でなくちゃならんのよ。そうする
とn→(5，－2)なんて表記はあるわけがない。n→＝(5，－2)でなくちゃならん。
がある一つの等式なんだろ。
君の答え・・・5/2x－y＋1/2も模範解答(として引用したもの)の5x－2y＋1も、
これが方程式(関係式)かね？
こんなものは関係式じゃないから答えにはならん (-_-;;
「わかる」とか「わからん」ということは、こういうところまで緻密に検討したう
表面だけを撫でた上っ面の「わかった」というのは、「本当にわかった」とはほど
遠い。数学が「論理学である」というのは、そういう意味さ。
以上が事前に言っておきたいことだ。
さて質問の解説に移る。
slim shady君のやったことは、中学の関数式・・・傾きと切片で表す方法・・・だ
ろ。
これはy＝ax＋b(←基本形)だったはず。「yとax＋bが＝で結ばれて『等しい』とい
う関係示す関係式」になっている。これを移項整理してax－y＋b＝0としたところで、
形は変わったが関係式であることには変わりない。「＝0」があるからね。
これがax－y＋bだけでは、関係式ではないだろ！
5/2x－y＋1/2＝0となれば、等式の性質として、“両辺に同じ数を掛けても等号は
成り立つ”となるから、5/2と1/2の分母の２を消すために両辺×２をやると、全部
の係数が整数になって形がきれいになる。
そこで両辺×２で→5x－2y＋1＝0 になって、模範解答の左辺と同じになるだろ。
模範解答も5x－2y＋1「＝0」になっていたはずだ。つまりどちらでも同じことなん
だが、係数が分数になったときは美しくするために分母の最小公倍数を掛けて全部
が整数係数にするのは、高校数学ではよくあること。しかしそれは元々が関係式の
形になっているからこそできることだ。
さて、そういうことで「やり方指定」でなければ、ベクトルの問題をグラフ式でや
っても一向に差し支えない。しかし今は「ベクトルの考え方で求める方法」を武器
の１つとして学ばせたいんだ。だからベクトル法も身につけなければ・・・・・。
両方の方法ができてグラフ法を使ったというなら格好いいがね。
ここでは法線ベクトルを使い、直線上のベクトルと法線ベクトルが直交する、すな
わち「２つのベクトルの内積＝０を使いなさい」ということだよ。
この直線上の点A(1，3)以外に点P(x，y)をとると、
(AP)→…直線のベクトル＝(x－1，y－3)。
また法線ベクトルn→＝(5，－2)で、(AP)→⊥n→だからその内積＝0。
(AP)→・n→＝(x－1，y－3)・(5，－2)＝5(x－1)－2(y－3)＝5x－2y＋1＝０
これが「内積利用流」だ。5x－2y＋1だけで終わったら話にならんよ (-_-;;
ベクトルを勉強しているなら、ベクトル流もできるようにならなくちゃね。
苦言ついでにもう１つ加える。
毎回毎回「わかりやすい説明を」とか「ていねいな解説を」とか書いてきているが、
ウロコ先生は掲示板では「わかりやすい説明」，「ていねいな解説」を心がけている。
でも解説がわかりにくいなら別だが、そうでないならこの「わかりやすい説明を」
などは逆に「イヤミ」と受け取られかねないことを承知しておくこと (-_-;;
論理的な緻密さを常に考えると同時に、読んだ人が気分を害さないような配慮(喧嘩
を売るつもりなら別)をした文章を書くようにいつも心掛けような (^-^)/
今回はズバズバ言ったが、そういうことで (^-^)
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Last updated
2008.02.23 18:18:05
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