60ばーばの手習い帳

　「人間ならば哺乳類である」という命題は真でした。この命題の逆は「哺乳類ならば人間である」ですが、人間でなくてもゴリラは哺乳類ですから、偽です。

「人間ならば哺乳類である」という命題の命題の裏は「人間でなければ哺乳類ではない」ですが、これもゴリラは哺乳類ですから偽です。

　「人間ならば哺乳類である」という命題の対偶はどうでしょう。「哺乳類でなければ人間でない」は真です。鳥類・は虫類の中に人間はいないからです。（SFならありでしょうが）

　ある命題が真であるときは、その対偶も必ず真になります。人間と哺乳類の関係なら、命題の真偽がストレートにわかりますが、真偽がわかりにくい命題の場合、その対偶の真偽を確かめることで判断できることもあります。証明によく使われる手法です。

　ある命題が偽であると仮定して、そこから矛盾を導き出し、従って、最初の仮定が間違っていたと結論づける、つまり命題が真であるとするのが「背理法」です。

　√2が無理数であることを直接証明しようと思ったら、どんな整数aとbを用いてもｂ/a（a≠0）の形で表せないことを言わなければ成りません。√2が有理数であると仮定すると、矛盾が導き出せるので、この背理法の証明が良く使われます。

　ほかにも、方程式を利用する証明があります。√2はｘ²－2＝0という方程式の解になります。方程式の有理数解の法則から、もし、この方程式に有理解があるなら、±1か±2になるのですが、√2はそのどれにもあてはまりません。従って、√2は有理数ではありません。

　正攻法でだめなら、逆や裏、対偶から攻めよ、ということですね。


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