Mathematics lover's

多様体

久々の更新です(^^)この度セミナーで多様体を研究することになりました！テンション最高潮です！！ということでこの場を借りて多様体の素晴らしさをつらつら書き連ねてみます。微分を考える上で必要最低限の条件を課した空間です。多様体の作り方。1,まず、普通の何でもいい集合Mを持ってきます。2,MにHausdorffな位相、つまりT4分離公理を満たす位相を入れて位相空間とします。3,続いて、Mを被覆する開集合族を１つ持ってきます。4,3で持ってきた各開集合とm次元ユークリッド空間の開集合の間に同相写像（全単射な連続かつ開写像）を定めます。以上によって、m次元位相多様体（toporogcal manifold)が構成されたわけです。さらにここで4の条件を強めてみます。5,各局所座標間の変数変換を与える写像が全てCr級（つまりr階偏導関数が存在し、全て連続）とします。この条件5を付け加えたものを、m次元Cr級微分可能多様体(differentiable manifold of class Cr)と言います。一般に3次元以下の位相多様体には、勝手に微分構造が入って、微分可能多様体となるそうです。この同相写像によって、多様体上の関数fをユークリッド空間に引き戻して、微分可能になります。多様体を研究する理由は色々あると思いますが、特に感動する点は、座標変換の概念が多様体で説明すると理解しやすくなること、微分形式を学習する上で絶好の題材であるということです。微分は一般に方向を与えてやらないといけない、つまり座標系依存の概念ですが、微分形式によって座標系に依存しない表記ができるようになります。それによって、多様体上の積分（座標系を次々に変えて関数を積分する）ことができるようになる、これはかなり面白いです。