今回も米田の補題を使う.
米田の補題 (The Yoneda Lemma).$\,$ $F : \mathscr{C} \rightarrow \mathbf{Set}$ を関手とし, 写像
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}[2]{\mathrm{Nat}(#1,#2)}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\varphi : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow FB
\end{equation*} を任意の自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ に対して
\begin{equation*}
\varphi(\lambda) = \lambda B(\Id{B})
\end{equation*} として定義する. このとき, $\varphi$ は自然な同型である.
なお, 自然同型 $\varphi$ の逆となる自然同型 $\varphi^{-1} : F \rightarrow \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}$ は任意の $u \in FB$ に対して, 自然変換 $(\varphi^{-1}(u) : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F) \in \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}$ を
\begin{equation*}
(\varphi^{-1}(u))C(g) = Fg(u) \qquad ((g : B \rightarrow C) \in \Hom_{\Ms{C}}(B, C))
\end{equation*} により与えるものである.
この自然同型 $\varphi$ による対応において, $\Ms{C}$ のある対象 $A$ と, ある自然変換
\begin{equation*}
(\beta : \Hom_{\Ms{C}}(A, -) \longrightarrow F) \in \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{F}
\end{equation*} で自然同型になっているものが存在する場合を考える.
つまり, $\beta$ は $\Hom_{\Ms{C}}(A, -)$ から $F$ への自然変換かつ同型射であり, $\Ms{C}$ の任意の射 $f : C \rightarrow C'$ に対して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(A, C) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(A, f)} \ar[r]^{{\beta C} \\ {\sim}} & FC \ar[d]^{Ff} \\
\Hom_{\Ms{C}}(A, C') \ar[r]^{\large\sim}_{\beta C'} & FC'
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる.
このとき $FA$ の元
\begin{equation*}
u = \varphi(\beta) = \beta A(\Id{A})
\end{equation*} を $F$ に対する 普遍元 (universal element)と呼ぶ. また $F$ を $A$ によって表現される 表現可能関手 (representable functor)と呼ぶ.
普遍元は次の命題によって特徴付けられる.
命題: 普遍元.$\,$ $F : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ を関手, $A$ を $\Ms{C}$ をの対象, $u \in FA$ とする. $u$ が $F$ に対する普遍元となるための必要十分条件は, 任意の $B \in \Ob{\Ms{C}}$ と $t \in FB$ に対して, 写像 $g : A \rightarrow B$ で
\begin{equation*}
Fg(u) = t
\end{equation*} を満たすものが一意的に存在することである.
普遍元の例を元の本から引用する.
例 1. 1 個の元から生成される自由群.$U : \Mb{Grp} \rightarrow \Mb{Set}$ を群の圏から集合の圏への忘却関手とする. すなわち, 群 $G$ に対して, $UG$ は群の構造を考えない単なる集合としての $G$ であり, 群の準同型 $f : G \rightarrow H$ に対して $Uf : UG \rightarrow UH$ は準同型の構造を考えない単なる集合間の写像としての $f$ である.
$G$ を 1 個の元 $g \in G$ から生成される自由群とする. この仮定より
\begin{equation*}
G = \left\{ g^n \mid n \in \mathbb{Z} \right\}
\end{equation*} と表わすことができる.
任意の群 $H$ に対して
\begin{alignat*}{2}
\beta H : \Hom_{\Mb{Grp}}(G, H) & \qq\longrightarrow\qq & UH \hspace{2mm} \\
(f : G \rightarrow H) \hspace{2mm} & \qq\longmapsto\qq & Uf(g)
\end{alignat*} と定義する. また, 任意の $h \in UH$ に対して
\begin{alignat*}{2}
\gamma H : UH \hspace{1mm} & \qq\longrightarrow\qq & \Hom_{\Mb{Grp}}(G, H) \hspace{2mm} \\
h \hspace{3mm} & \qq\longmapsto\qq & \hspace{2mm} (G \rightarrow H ; g \mapsto h)
\end{alignat*} と定義する. このとき,
\begin{equation*}
\gamma H \circ \beta H(f) = \gamma H(Uf(g)) = \gamma H(f(g)) = (G \rightarrow H ; g \mapsto f(g)) = f
\end{equation*} だから
\begin{equation*}
\gamma H \circ \beta H = \Id{\Hom_{\Mb{Grp}}(G, H)}
\end{equation*} が成り立つ. 逆に
\begin{equation*}
\beta H \circ \gamma H(h) = \beta H(G \rightarrow H ; g \mapsto h) = U(G \rightarrow H ; g \mapsto h)(g) = h
\end{equation*} だから
\begin{equation*}
\beta H \circ \gamma H = \Id{UH}
\end{equation*} が成り立つ. したがって, $\beta H$ と $\gamma H$ は互いに他の逆写像になっていてどちらも全単射である.
$\beta$ が自然変換であることを示すために, 任意の $k : H \rightarrow H'$ に対して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Mb{Grp}}(G, H) \ar[d]_{\Hom_{\Mb{Grp}}(G, k)} \ar[r]^{\beta H} & UH \ar[d]^{Uk} \\
\Hom_{\Mb{Grp}}(G, H') \ar[r]_{\beta H'} & UH'
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える. このとき, 任意の群の準同型 $f : G \rightarrow H$ に対して
\begin{align*}
\beta H' \circ \Hom_{\Mb{Grp}}(G, k)(f) &= \beta H'(k \circ f) = U(k \circ f)(g), \\
Uk \circ \beta H(f) &= Uk(Uf(g)) = (Uk \circ Uf)(g) = U(k \circ f)(g)
\end{align*} が成り立つが, これは上の図式が可換であることを意味する. したがって $\beta$ は自然変換であり, 同時に全単射でもあることから自然同型である.
\begin{equation*}
\beta : \Hom_{\Mb{Grp}}(G, -) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} U.
\end{equation*}
よって忘却関手 $U$ は自由群 $G$ によって表現され,
\begin{equation*}
u = \beta G(\Id{G}) = U(\Id{G})(g) = g
\end{equation*} が $U$ に対する普遍元である.
これを上記の命題における必要十分条件の記述に合わせて書けば次のようになる.
任意の群 $H$ と任意の $h \in UH$ に対して, $f : G \rightarrow H$ を
\begin{equation*}
f(g) = h
\end{equation*} によって定義される群の準同型とすると, この $f$ は
\begin{equation*}
Uf(u) = Uf(g) = f(g) = h
\end{equation*} を満たす一意的な写像である.
例 2. 冪集合関手に対する普遍元.ある集合にその部分集合の全体からなる集合を対応させる冪集合関手 $\Mb{P} : \Opp{\Mb{Set}} \rightarrow \Mb{Set}$ を考える. ここでは冪集合関手 $\Mb{P}$ を次のように定義する.
$A$ を任意の集合, $f : A \rightarrow B$ を集合 $A$ から集合 $B$ への任意の写像とする (混乱を避けるために, $\Mb{Set}$ の射 $f : A \rightarrow B$ を, $\Mb{P}$ のソースである逆圏 $\Opp{\Mb{Set}}$ の射として明示するときには $\Opp{f} : B \rightarrow A$ のように書くことにする). このとき, 冪集合 $\Mb{P}A$ を
\begin{equation*}
\Mb{P}A = \left\{ A_0 \mid A_0 \subset A \right\},
\end{equation*} 写像 $\Mb{P}f : \Mb{P}B \rightarrow \Mb{P}A$ を
\begin{equation*}
\Mb{P}f(B_0) = f^{-1}(B_0) \subset A \qquad (B_0 \subset B, \,\text{i.e.}\, B_0 \in \Mb{P}B)
\end{equation*} によって定める.
集合 $\Mb{0}$, $\Mb{1}$, $\Mb{2}$ を
\begin{align*}
\Mb{0} &= \varnothing, \\
\Mb{1} &= \left\{ \Mb{0} \right\} = \left\{ \varnothing \right\}, \\
\Mb{2} &= \left\{ \Mb{0}, \Mb{1} \right\} = \left\{ \varnothing, \left\{ \varnothing \right\} \right\} = \Mb{P}(\Mb{1})
\end{align*} により定義すると, 任意の集合 $B$ に対して写像
\begin{alignat*}{2}
\beta B : \Hom_{\Opp{\Mb{Set}}}(\Mb{2}, B) &= \Hom_{\Mb{Set}}(B, \Mb{2}) & \qq\longrightarrow\qq & \Mb{P}B \\
(\Opp{g} : \Mb{2} \rightarrow B) &= (g : B \rightarrow \Mb{2}) & \qq\longmapsto\qq & \left\{ x \in B \mid g(x) = \Mb{1} \right\}
\end{alignat*} は $\Hom_{\Opp{\Mb{Set}}}(\Mb{2}, B)$ から $\Mb{P}B$ への全単射である.
逆写像は各 $B_0 \in \Mb{P}B$ に対して
\begin{equation*}
g(x) = \begin{cases}
\Mb{1} & \qq (x \in B_0), \\
\Mb{0} & \qq (x \not\in B_0)
\end{cases}
\end{equation*} により定まる $g : B \rightarrow \Mb{2}$ を対応させる写像である.
したがって, 冪集合関手 $\Mb{P}$ は集合 $\Mb{2}$ によって表現され,
\begin{equation*}
u = \beta\Mb{2}(\Id{\Mb{2}}) = \left\{ x \in \Mb{2} \mid \Id{\Mb{2}}(x) = \Mb{1} \right\} = \Mb{1}
\end{equation*} が $\Mb{P}$ に対する普遍元である.
これを上記の命題における必要十分条件の記述に合わせて書けば次のようになる.
任意の集合 $B$ と任意の $B_0 \in \Mb{P}B$ に対して, $g : B \rightarrow \Mb{2}$ を
\begin{equation*}
g(x) = \begin{cases}
\Mb{1} & \qq (x \in B_0), \\
\Mb{0} & \qq (x \not\in B_0)
\end{cases}
\end{equation*} と定義すると, この $g$ は
\begin{equation*}
\Mb{P}g(u) = \Mb{P}g(\Mb{1}) = g^{-1}(\Mb{1}) = B_0
\end{equation*} を満たす一意的な写像である.
次の文章では, 自分の理解のために普遍元を特徴付ける上記の命題の証明の概要を与えておく. その後, 極限の定義に進む.
2018年09月13日
2018年09月07日
数学: 基本の復習 (4) ── 米田の補題 (続き)
先の文章で取り上げた米田の補題は次のようなものだった.
米田の補題 (The Yoneda Lemma).$\,$ $F : \mathscr{C} \rightarrow \mathbf{Set}$ を関手とし, 写像
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}[2]{\mathrm{Nat}(#1,#2)}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\varphi : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow FB
\end{equation*} を任意の自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ に対して
\begin{equation*}
\varphi(\lambda) = \lambda B(\Id{B})
\end{equation*} によって定義する. このとき, $\varphi$ は自然な同型である.
米田の補題の証明の概要は書いたが, ここでは "$\varphi$ が自然な同型である" という記述の意味について説明する.
上記の定義を見ればわかるが, $\varphi$ は $\Ms{C}$ の対象 $B$ と関手 $F : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ に依存して定まるものである. これを明確にするために, 単に $\varphi$ と書く代わりに $\varphi(B, F)$ と書くことにする.
\begin{equation*}
\varphi(B, F) : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow FB.
\end{equation*}
関手 $H : \Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}} \longrightarrow \Mb{Set}$ を次のように定義する.
$\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の対象 $(B, F)$ に対して,
\begin{equation*}
H(B, F) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}
\end{equation*} とする.
また, $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の射 $(g, \mu) : (B, F) \rightarrow (A, G)$ を任意にとる. ここで, $g : B \rightarrow A$ は ${\Ms{C}}$ の射であり, $\mu : F \rightarrow G$ は $\Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の射, つまり自然変換である. この射 $(g, \mu)$ に対して写像
\begin{equation*}
H(g, \mu) : H(B, F) \longrightarrow H(A, G)
\end{equation*} を
\begin{equation*}
H(g, \mu) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu} : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{G}
\end{equation*} と定義する.
この写像はわかりにくいので具体的に計算をしてみる. $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を自然変換とすると
\begin{equation*}
H(g, \mu)(\lambda) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda) : \Hom_{\Ms{C}}(A, -) \longrightarrow G
\end{equation*} だから $H(g, \mu)(\lambda)$ は $\Hom_{\Ms{C}}(A, -)$ から $G$ への自然変換である.
$C$ を ${\Ms{C}}$ の対象, $h : C \rightarrow C'$ を ${\Ms{C}}$ の射としたとき,
\begin{align*}
(H(g, \mu)(\lambda)C)(h) &= [(\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda))C](h) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{\mu}(\lambda))C(\Hom_{\Ms{C}}(g, C)(h)) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{\mu}(\lambda))C(h \circ g) \\
~ &= (\mu \circ \lambda)C(h \circ g)
\end{align*} である.
関手 $E : \Ms{C} \times\Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}} \longrightarrow \Mb{Set}$ を次のように定義する.
$\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の対象 $(B, F)$ に対して,
\begin{equation*}
E(B, F) = FB
\end{equation*} とする.
また, $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の射 $(g, \mu) : (B, F) \rightarrow (A, G)$ ($g : B \rightarrow A$ は ${\Ms{C}}$ の射, $\mu : F \rightarrow G$ は自然変換) に対して写像
\begin{equation*}
E(g, \mu) : E(B, F) \longrightarrow E(A, G)
\end{equation*} を
\begin{equation*}
E(g, \mu) = \mu A \circ Fg
\end{equation*} と定義する.
$E$ については名前が付いていて, $E(B, F) = FB$ となることから 評価関手 (evaluation functor)と呼ばれている. この 2 つの関手 $H$ と $E$ は写像
\begin{align*}
\varphi(B, F) : H(B, F) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} &\longrightarrow FB = E(B, F) \\
\lambda \hspace{15mm} &\longmapsto \hspace{5mm} \lambda B(\Id{B})
\end{align*} によって圏 $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の各々の対象 $(B, F)$ 上で同型となる.
命題.$\,$ $\varphi : H \rightarrow E$ は自然変換である.
この命題は定義に基いて計算を行えば証明できる.
大まかな流れを書く.
図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \ar[d]_{\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}} \ar[r]^{\hspace{12mm}\varphi(B, F)} & FB \ar[d]^{\mu A \circ Fg} \\
\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{G} \ar[r]_{\hspace{12mm}\varphi(A, G)} & GA
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える. 自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を任意にとる. $\lambda$ が自然変換だから, ${\Ms{C}}$ の射 $g : B \rightarrow A$ に関して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(B, B) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(B, g)} \ar[r]^{\lambda B} & FB \ar[d]^{Fg} \\
\Hom_{\Ms{C}}(B, A) \ar[r]_{\lambda A} & FA
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる.
上の図式に対して, 前述の計算結果と $\lambda$ の自然変換の図式を用いると
\begin{align*}
(\mu A \circ Fg) \circ \varphi(B, F)(\lambda) &= (\mu A \circ Fg)(\lambda B(\Id{B})) \\
~ &= \mu A \circ (Fg \circ \lambda B)(\Id{B}) \\
~ &= \mu A \circ (\lambda A \circ \Hom_{\Ms{C}}(B, g))(\Id{B}) \\
~ &= \mu A \circ \lambda A(g \circ \Id{B}) = \mu A \circ \lambda A(g) = \mu A \circ \lambda A(\Id{A} \circ g) \\
~ &= (\mu A \circ \lambda A)(\Id{A} \circ g) = (\mu \circ \lambda)A(\Id{A} \circ g) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{\mu}(\lambda))A(\Hom_{\Ms{C}}(g, -)(\Id{A})) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{\mu}(\lambda))A \circ \Hom_{\Ms{C}}(g, -)(\Id{A}) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda))A(\Id{A}) \\
~ &= \varphi(A, G)(\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda)) \\
~ &= \varphi(A, G) \circ \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda)
\end{align*} が得られる.
したがって対象としている図式は可換であり, $\varphi : H \rightarrow E$ は自然変換である.
まとめると, $\varphi ： H \rightarrow E$ は自然変換かつ, $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の各対象上で同型写像である.
このことにより, $\varphi$ は自然同型 (natural isomorphism) であると言われる.
次の文章以降では, 米田の補題によって普遍元 (universal element) の概念を導入した後に, 圏における図式の極限を定義する.
米田の補題 (The Yoneda Lemma).$\,$ $F : \mathscr{C} \rightarrow \mathbf{Set}$ を関手とし, 写像
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}[2]{\mathrm{Nat}(#1,#2)}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\varphi : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow FB
\end{equation*} を任意の自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ に対して
\begin{equation*}
\varphi(\lambda) = \lambda B(\Id{B})
\end{equation*} によって定義する. このとき, $\varphi$ は自然な同型である.
米田の補題の証明の概要は書いたが, ここでは "$\varphi$ が自然な同型である" という記述の意味について説明する.
上記の定義を見ればわかるが, $\varphi$ は $\Ms{C}$ の対象 $B$ と関手 $F : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ に依存して定まるものである. これを明確にするために, 単に $\varphi$ と書く代わりに $\varphi(B, F)$ と書くことにする.
\begin{equation*}
\varphi(B, F) : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow FB.
\end{equation*}
関手 $H : \Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}} \longrightarrow \Mb{Set}$ を次のように定義する.
$\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の対象 $(B, F)$ に対して,
\begin{equation*}
H(B, F) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}
\end{equation*} とする.
また, $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の射 $(g, \mu) : (B, F) \rightarrow (A, G)$ を任意にとる. ここで, $g : B \rightarrow A$ は ${\Ms{C}}$ の射であり, $\mu : F \rightarrow G$ は $\Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の射, つまり自然変換である. この射 $(g, \mu)$ に対して写像
\begin{equation*}
H(g, \mu) : H(B, F) \longrightarrow H(A, G)
\end{equation*} を
\begin{equation*}
H(g, \mu) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu} : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{G}
\end{equation*} と定義する.
この写像はわかりにくいので具体的に計算をしてみる. $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を自然変換とすると
\begin{equation*}
H(g, \mu)(\lambda) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda) : \Hom_{\Ms{C}}(A, -) \longrightarrow G
\end{equation*} だから $H(g, \mu)(\lambda)$ は $\Hom_{\Ms{C}}(A, -)$ から $G$ への自然変換である.
$C$ を ${\Ms{C}}$ の対象, $h : C \rightarrow C'$ を ${\Ms{C}}$ の射としたとき,
\begin{align*}
(H(g, \mu)(\lambda)C)(h) &= [(\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda))C](h) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{\mu}(\lambda))C(\Hom_{\Ms{C}}(g, C)(h)) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{\mu}(\lambda))C(h \circ g) \\
~ &= (\mu \circ \lambda)C(h \circ g)
\end{align*} である.
関手 $E : \Ms{C} \times\Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}} \longrightarrow \Mb{Set}$ を次のように定義する.
$\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の対象 $(B, F)$ に対して,
\begin{equation*}
E(B, F) = FB
\end{equation*} とする.
また, $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の射 $(g, \mu) : (B, F) \rightarrow (A, G)$ ($g : B \rightarrow A$ は ${\Ms{C}}$ の射, $\mu : F \rightarrow G$ は自然変換) に対して写像
\begin{equation*}
E(g, \mu) : E(B, F) \longrightarrow E(A, G)
\end{equation*} を
\begin{equation*}
E(g, \mu) = \mu A \circ Fg
\end{equation*} と定義する.
$E$ については名前が付いていて, $E(B, F) = FB$ となることから 評価関手 (evaluation functor)と呼ばれている. この 2 つの関手 $H$ と $E$ は写像
\begin{align*}
\varphi(B, F) : H(B, F) = \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} &\longrightarrow FB = E(B, F) \\
\lambda \hspace{15mm} &\longmapsto \hspace{5mm} \lambda B(\Id{B})
\end{align*} によって圏 $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の各々の対象 $(B, F)$ 上で同型となる.
命題.$\,$ $\varphi : H \rightarrow E$ は自然変換である.
この命題は定義に基いて計算を行えば証明できる.
大まかな流れを書く.
図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \ar[d]_{\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}} \ar[r]^{\hspace{12mm}\varphi(B, F)} & FB \ar[d]^{\mu A \circ Fg} \\
\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{G} \ar[r]_{\hspace{12mm}\varphi(A, G)} & GA
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える. 自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を任意にとる. $\lambda$ が自然変換だから, ${\Ms{C}}$ の射 $g : B \rightarrow A$ に関して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(B, B) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(B, g)} \ar[r]^{\lambda B} & FB \ar[d]^{Fg} \\
\Hom_{\Ms{C}}(B, A) \ar[r]_{\lambda A} & FA
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる.
上の図式に対して, 前述の計算結果と $\lambda$ の自然変換の図式を用いると
\begin{align*}
(\mu A \circ Fg) \circ \varphi(B, F)(\lambda) &= (\mu A \circ Fg)(\lambda B(\Id{B})) \\
~ &= \mu A \circ (Fg \circ \lambda B)(\Id{B}) \\
~ &= \mu A \circ (\lambda A \circ \Hom_{\Ms{C}}(B, g))(\Id{B}) \\
~ &= \mu A \circ \lambda A(g \circ \Id{B}) = \mu A \circ \lambda A(g) = \mu A \circ \lambda A(\Id{A} \circ g) \\
~ &= (\mu A \circ \lambda A)(\Id{A} \circ g) = (\mu \circ \lambda)A(\Id{A} \circ g) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{\mu}(\lambda))A(\Hom_{\Ms{C}}(g, -)(\Id{A})) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{\mu}(\lambda))A \circ \Hom_{\Ms{C}}(g, -)(\Id{A}) \\
~ &= (\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda))A(\Id{A}) \\
~ &= \varphi(A, G)(\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda)) \\
~ &= \varphi(A, G) \circ \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(g, -)}{\mu}(\lambda)
\end{align*} が得られる.
したがって対象としている図式は可換であり, $\varphi : H \rightarrow E$ は自然変換である.
まとめると, $\varphi ： H \rightarrow E$ は自然変換かつ, $\Ms{C} \times \Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ の各対象上で同型写像である.
このことにより, $\varphi$ は自然同型 (natural isomorphism) であると言われる.
次の文章以降では, 米田の補題によって普遍元 (universal element) の概念を導入した後に, 圏における図式の極限を定義する.
2018年09月05日
数学: 基本の復習 (3) ── 米田の補題
圏における図式の極限を定義する前段階として, 米田の補題について簡単にまとめる.
まず, $\mathrm{Hom}$ 関手 (Hom functor) と自然変換 (natural transformation) について復習する.
$\mathscr{C}$ を圏とし, $B \in \mathrm{Ob}(\mathscr{C})$ を $\mathscr{C}$ の任意の対象, $f : C \rightarrow C'$ を $\mathscr{C}$ の任意の射とする.
写像
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}[2]{\mathrm{Nat}(#1,#2)}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\Hom_{\Ms{C}}(B, -) : \Ms{C} \longrightarrow \Mb{Set}
\end{equation*} を, $\mathscr{C}$ の各対象 $C$ に対して
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(B, -)(C) = \Hom_{\Ms{C}}(B, C),
\end{equation*} $\mathscr{C}$ の各射 $f : C \rightarrow C'$ に対して $\Hom_{\Ms{C}}(B, f) : \Hom_{\Ms{C}}(B, C) \rightarrow \Hom_{\Ms{C}}(B, C')$ を
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(B, f)(g) = f \circ g \quad (g : B \rightarrow C)
\end{equation*} と定義すると, $\Hom_{\Ms{C}}(B, -) : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ は関手になる.
同様に, 写像
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(-, B) : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}
\end{equation*} を, $\Ms{C}$ の各対象 $C$ に対して
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(-, B)(C) = \Hom_{\Ms{C}}(C, B),
\end{equation*} $\mathscr{C}$ の各射 $f : C' \rightarrow C$ に対して $\Hom_{\Ms{C}}(f, B) : \Hom_{\Ms{C}}(C, B) \rightarrow \Hom_{\Ms{C}}(C', B)$ を
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(f, B)(g) = g \circ f \quad (g : C \rightarrow B)
\end{equation*} と定義すると, $\Hom_{\Ms{C}}(-, B) : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ は反変関手になる.
自然変換について.
$F : \Ms{C} \rightarrow \Ms{D}$, $G : \Ms{C} \rightarrow\Ms{D}$ を関手とし, $\left\{ \lambda C : FC \rightarrow GC \right\}_{C \in \Ob{\Ms{C}}}$ を $\Ms{C}$ の各対象に渡る射の族とする.
$\Ms{C}$ の任意の射 $g : C \rightarrow C'$ に対して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
FC \ar[d]_{Fg} \ar[r]^{\lambda C} & GC \ar[d]^{Gg} \\
FC' \ar[r]_{\lambda C'} & GC'
}
\end{xy}
\end{equation*} が可換になるとき, $\lambda$ を関手 $F$ から関手 $G$ への 自然変換 (natural transformation)と呼び, $\lambda : F \rightarrow G$ と記す. 各 $C \in \Ob{\Ms{C}}$ に対する $\lambda C$ を $\lambda$ の 構成要素 (components)と呼ぶ.
関手 $F$ から関手 $G$ への自然変換の全体からなる集合を
\begin{equation*}
\Nat{F}{G}
\end{equation*} と表わす.
実は自然変換 $\lambda : F \rightarrow G$ は関手圏 $\Func{\Ms{C}}{\Ms{D}}$ における射なので,
\begin{equation*}
\Nat{F}{G} = \Hom_{\Func{\Ms{C}}{\Ms{D }}}(F, G)
\end{equation*} である.
以上の準備の元に, 米田の補題は次のように述べられる.
米田の補題 (The Yoneda Lemma).$\,$ $F : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ を関手とし, 写像
\begin{equation*}
\varphi : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow FB
\end{equation*} を任意の自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ に対して
\begin{equation*}
\varphi(\lambda) = \lambda B(\Id{B})
\end{equation*} として定義する. このとき, $\varphi$ は自然な同型 (†1) である.
†1: $\varphi$ が自然な同型 (natural isomorphism) になるという意味は, $\varphi$ が自然変換であって, しかも同型写像を与えることである. 具体的な説明は次の文章で書く.
自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ に対して $\lambda B : \Hom_{\Ms{C}}(B, B) \rightarrow FB$ だから $\lambda B(\Id{B}) \in FB$ であり, $\varphi$ は確かに $\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}$ から $FB$ への写像となっている.
写像
\begin{equation*}
\psi : FB \rightarrow \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}
\end{equation*} を, 各 $u \in FB$ に対して $\psi(u) : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を, $g : B \rightarrow C$ について
\begin{equation*}
\psi(u)C(g) = Fg(u)
\end{equation*} として定義する.
この定義により $\psi(u) : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ が実際に自然変換となることを見てみる.
$h : C \rightarrow C'$ を $\Ms{C}$ の射とし, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(B, C) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(B, h)} \ar[r]^{\psi(u)C} & FC \ar[d]^{Fh} \\
\Hom_{\Ms{C}}(B, C') \ar[r]_{\psi(u)C'} & FC'
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える. $\psi(u)$ の定義より, $\Ms{C}$ の射 $g : B \rightarrow C$ に対して
\begin{align*}
Fh \circ \psi(u)C(g) &= Fh \circ Fg(u) = F(h \circ g)(u) \\
~ &= \psi(u)C'(h \circ g) \\
~ &= \psi(u)C' \circ \Hom_{\Ms{C}}(B, h)(g)
\end{align*} が成り立つ. よって上の図式は可換であり, $\psi(u) : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ は自然変換である.
$\varphi$ と $\psi$ が互いに他の逆写像になっていることを示す.
それには, 2 つの図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \ar[r]^{\hspace{12mm}\varphi} & FB & \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \ar[r]^{\hspace{12mm}\varphi} \ar[d]_{\Id{\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}}} & FB \ar[dl]^{\psi} \\
& FB \ar[ul]^{\psi} \ar[u]_{\Id{FB}} & \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} &
}
\end{xy}
\end{equation*} が共に可換になることを見ればよい.
まず, 左側の図式を考える. 任意の $u \in FB$ に対して, $\varphi$ と $\psi$ の定義から
\begin{align*}
\varphi \circ \psi(u) &= \varphi(\psi(u)) = \psi(u)B(\Id{B}) = F(\Id{B})(u) \\
~ &= \Id{FB}(u) = u
\end{align*} となる. よって
\begin{equation*}
\varphi \circ \psi = \Id{FB}
\end{equation*} が成り立つが, これは上の左側の図式が可換であることを意味する.
次に, 右側の図式を考える. 自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を任意にとる. $g : B \rightarrow C$ を $\Ms{C}$ の射とすれば, $\lambda$ が自然変換であることより図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(B, B) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(B, g)} \ar[r]^{\lambda B} & FB \ar[d]^{Fg} \\
\Hom_{\Ms{C}}(B, C) \ar[r]_{\lambda C} & FC'
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である. このことと $\varphi$ と $\psi$ の定義から
\begin{align*}
((\psi \circ \varphi)(\lambda))C(g) &= \psi(\varphi(\lambda))C(g) \\
~ &= \psi(\lambda B(\Id{B}))C(g) = Fg(\lambda B(\Id{B})) \\
~ &= Fg \circ \lambda B(\Id{B}) \\
~ &= \lambda C \circ \Hom_{\Ms{C}}(B, g)(\Id{B}) \\
~ &= \lambda C(g \circ \Id{B}) = \lambda C(g)
\end{align*} となる. よって
\begin{equation*}
\psi \circ \varphi = \Id{\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}}
\end{equation*} が成り立つが, これは上の右側の図式が可換であることを意味する.
以上より $\varphi$ と $\psi$ は互いに他の逆写像であり, したがって $\varphi$ は同型写像である.
次の文章では, $\varphi$ が自然な同型写像であることを示す.
まず, $\mathrm{Hom}$ 関手 (Hom functor) と自然変換 (natural transformation) について復習する.
$\mathscr{C}$ を圏とし, $B \in \mathrm{Ob}(\mathscr{C})$ を $\mathscr{C}$ の任意の対象, $f : C \rightarrow C'$ を $\mathscr{C}$ の任意の射とする.
写像
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}[2]{\mathrm{Nat}(#1,#2)}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\Hom_{\Ms{C}}(B, -) : \Ms{C} \longrightarrow \Mb{Set}
\end{equation*} を, $\mathscr{C}$ の各対象 $C$ に対して
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(B, -)(C) = \Hom_{\Ms{C}}(B, C),
\end{equation*} $\mathscr{C}$ の各射 $f : C \rightarrow C'$ に対して $\Hom_{\Ms{C}}(B, f) : \Hom_{\Ms{C}}(B, C) \rightarrow \Hom_{\Ms{C}}(B, C')$ を
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(B, f)(g) = f \circ g \quad (g : B \rightarrow C)
\end{equation*} と定義すると, $\Hom_{\Ms{C}}(B, -) : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ は関手になる.
同様に, 写像
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(-, B) : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}
\end{equation*} を, $\Ms{C}$ の各対象 $C$ に対して
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(-, B)(C) = \Hom_{\Ms{C}}(C, B),
\end{equation*} $\mathscr{C}$ の各射 $f : C' \rightarrow C$ に対して $\Hom_{\Ms{C}}(f, B) : \Hom_{\Ms{C}}(C, B) \rightarrow \Hom_{\Ms{C}}(C', B)$ を
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(f, B)(g) = g \circ f \quad (g : C \rightarrow B)
\end{equation*} と定義すると, $\Hom_{\Ms{C}}(-, B) : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ は反変関手になる.
自然変換について.
$F : \Ms{C} \rightarrow \Ms{D}$, $G : \Ms{C} \rightarrow\Ms{D}$ を関手とし, $\left\{ \lambda C : FC \rightarrow GC \right\}_{C \in \Ob{\Ms{C}}}$ を $\Ms{C}$ の各対象に渡る射の族とする.
$\Ms{C}$ の任意の射 $g : C \rightarrow C'$ に対して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
FC \ar[d]_{Fg} \ar[r]^{\lambda C} & GC \ar[d]^{Gg} \\
FC' \ar[r]_{\lambda C'} & GC'
}
\end{xy}
\end{equation*} が可換になるとき, $\lambda$ を関手 $F$ から関手 $G$ への 自然変換 (natural transformation)と呼び, $\lambda : F \rightarrow G$ と記す. 各 $C \in \Ob{\Ms{C}}$ に対する $\lambda C$ を $\lambda$ の 構成要素 (components)と呼ぶ.
関手 $F$ から関手 $G$ への自然変換の全体からなる集合を
\begin{equation*}
\Nat{F}{G}
\end{equation*} と表わす.
実は自然変換 $\lambda : F \rightarrow G$ は関手圏 $\Func{\Ms{C}}{\Ms{D}}$ における射なので,
\begin{equation*}
\Nat{F}{G} = \Hom_{\Func{\Ms{C}}{\Ms{D }}}(F, G)
\end{equation*} である.
以上の準備の元に, 米田の補題は次のように述べられる.
米田の補題 (The Yoneda Lemma).$\,$ $F : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ を関手とし, 写像
\begin{equation*}
\varphi : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow FB
\end{equation*} を任意の自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ に対して
\begin{equation*}
\varphi(\lambda) = \lambda B(\Id{B})
\end{equation*} として定義する. このとき, $\varphi$ は自然な同型 (†1) である.
†1: $\varphi$ が自然な同型 (natural isomorphism) になるという意味は, $\varphi$ が自然変換であって, しかも同型写像を与えることである. 具体的な説明は次の文章で書く.
自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ に対して $\lambda B : \Hom_{\Ms{C}}(B, B) \rightarrow FB$ だから $\lambda B(\Id{B}) \in FB$ であり, $\varphi$ は確かに $\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}$ から $FB$ への写像となっている.
写像
\begin{equation*}
\psi : FB \rightarrow \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}
\end{equation*} を, 各 $u \in FB$ に対して $\psi(u) : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を, $g : B \rightarrow C$ について
\begin{equation*}
\psi(u)C(g) = Fg(u)
\end{equation*} として定義する.
この定義により $\psi(u) : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ が実際に自然変換となることを見てみる.
$h : C \rightarrow C'$ を $\Ms{C}$ の射とし, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(B, C) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(B, h)} \ar[r]^{\psi(u)C} & FC \ar[d]^{Fh} \\
\Hom_{\Ms{C}}(B, C') \ar[r]_{\psi(u)C'} & FC'
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える. $\psi(u)$ の定義より, $\Ms{C}$ の射 $g : B \rightarrow C$ に対して
\begin{align*}
Fh \circ \psi(u)C(g) &= Fh \circ Fg(u) = F(h \circ g)(u) \\
~ &= \psi(u)C'(h \circ g) \\
~ &= \psi(u)C' \circ \Hom_{\Ms{C}}(B, h)(g)
\end{align*} が成り立つ. よって上の図式は可換であり, $\psi(u) : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ は自然変換である.
$\varphi$ と $\psi$ が互いに他の逆写像になっていることを示す.
それには, 2 つの図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \ar[r]^{\hspace{12mm}\varphi} & FB & \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \ar[r]^{\hspace{12mm}\varphi} \ar[d]_{\Id{\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}}} & FB \ar[dl]^{\psi} \\
& FB \ar[ul]^{\psi} \ar[u]_{\Id{FB}} & \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} &
}
\end{xy}
\end{equation*} が共に可換になることを見ればよい.
まず, 左側の図式を考える. 任意の $u \in FB$ に対して, $\varphi$ と $\psi$ の定義から
\begin{align*}
\varphi \circ \psi(u) &= \varphi(\psi(u)) = \psi(u)B(\Id{B}) = F(\Id{B})(u) \\
~ &= \Id{FB}(u) = u
\end{align*} となる. よって
\begin{equation*}
\varphi \circ \psi = \Id{FB}
\end{equation*} が成り立つが, これは上の左側の図式が可換であることを意味する.
次に, 右側の図式を考える. 自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を任意にとる. $g : B \rightarrow C$ を $\Ms{C}$ の射とすれば, $\lambda$ が自然変換であることより図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(B, B) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(B, g)} \ar[r]^{\lambda B} & FB \ar[d]^{Fg} \\
\Hom_{\Ms{C}}(B, C) \ar[r]_{\lambda C} & FC'
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である. このことと $\varphi$ と $\psi$ の定義から
\begin{align*}
((\psi \circ \varphi)(\lambda))C(g) &= \psi(\varphi(\lambda))C(g) \\
~ &= \psi(\lambda B(\Id{B}))C(g) = Fg(\lambda B(\Id{B})) \\
~ &= Fg \circ \lambda B(\Id{B}) \\
~ &= \lambda C \circ \Hom_{\Ms{C}}(B, g)(\Id{B}) \\
~ &= \lambda C(g \circ \Id{B}) = \lambda C(g)
\end{align*} となる. よって
\begin{equation*}
\psi \circ \varphi = \Id{\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}}
\end{equation*} が成り立つが, これは上の右側の図式が可換であることを意味する.
以上より $\varphi$ と $\psi$ は互いに他の逆写像であり, したがって $\varphi$ は同型写像である.
次の文章では, $\varphi$ が自然な同型写像であることを示す.
2018年09月04日
数学: 基本の復習 (2) ── 図式
圏論の基礎的な事柄を自分が復習した流れに沿って書き留めておく.
圏における極限のメモ.
図式の定義 → 米田の補題 → 極限の定義 → 余極限の定義 の順番で書く.
まず図式の定義から.
定義: グラフ (graph).$\, $ $O$ と $A$ を集合, $d^0,
d^1 : A \rightarrow O$ を写像とするとき, 4 つ組
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)} \newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}} \newcommand{\CommaCat}[2]{(#1
\downarrow #2)} \newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1, #2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\Nat}{\mathrm{Nat}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}} \newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}} \newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}} \newcommand{\Src}{d^{0, \mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1, \mathrm{op}}} \Ms{G} = (A, O, d^0, d^1)
\end{equation*} を グラフ (graph)と呼ぶ. $O$ の元を $\Ms{G}$ の 対象 (objects), $A$ の元を $\Ms{G}$ の 射 (arrows)と言う.
また, 任意の $\Ms{G}$ の射 $f \in A$ に対して, $d^0 (f) \in O$ を $f$ の ソース (source), $d^1 (f) \in O$ を $f$ の ターゲット (target)と言う.
$A \in O$ をソース, $B \in O$ をターゲットとする $\Ms{G}$ の射 $f$ を $f : A \rightarrow B$ のように記す.
グラフ $\Ms{G}$ はイメージとしては "射の合成が定義されていない圏" とも言える.
グラフに関するいくつかの用語を導入する.
$\Ms{G} = (O_1, A_1, {d_1}^0, {d_1}^1)$, $\Ms{H} = (O_2, A_2, {d_2}^0, {d_2}^1)$ をグラフとする. 写像 $F : \Ms{G} \rightarrow \Ms{H}$ が条件:
(i) $\Ms{G}$ の任意の対象 $A \in O_1$ に対して $F (A) \in O_2$ は $\Ms{H}$ の対象である;
(ii) $\Ms{G}$ の任意の射 $(f : A \rightarrow B) \in A_1$ に対して $(F (f) : F (A) \rightarrow F (B)) \in A_2$ は $\Ms{H}$ の射である.
を満たすとき, $F$ は $\Ms{G}$ から $\Ms{H}$ への 準同型 (homomorphism)であると呼ぶ.
任意の小さい圏 $\Ms{C}$ は, 射の合成を捨象することによってグラフと考えることができる. これを圏 $\Ms{C}$ の 台グラフ (underlying graph)と呼び $|\Ms{C}|$ と記す.
$F : \Ms{C} \rightarrow \Ms{D}$ を関手としたとき, グラフの準同型 $|F| : |\Ms{C}| \rightarrow |\Ms{D}|$ が導かれる.
定義: 図式 (diagram).$\,$ $\Ms{C}$ を圏, $\Ms{I}$ をグラフとするとき, グラフ準同型 $D : \Ms{I} \rightarrow |\Ms{C}|$ を $\Ms{C}$ における 図式 (diagram)と呼ぶ. $\Ms{I}$ を 添字グラフ (index graph)と呼ぶ. 添字グラフ $\Ms{I}$ が有限個の対象と射からなるとき, 図式 $D : \Ms{I} \rightarrow |\Ms{C}|$
を 有限グラフ (finite graph)と呼ぶ.
混乱の恐れが無いならば, 圏 $\Ms{C}$ における図式 $D : \Ms{I} \rightarrow |\Ms{C}|$ を, 単に $D : \Ms{I} \rightarrow \Ms{C}$ のように書く.
図式の例をいくつか挙げておく.
グラフ:
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_1: & 1 } \end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_2: & 1 & 2 } \end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_3: & 1 \ar[r]^{e} & 2 } \end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_4: & 1 \ar[r]^{e_1} & 2 & 3 \ar[l]_{e_2} }
\end{xy}
\end{equation*} を考える. これらに対して, 図式 $D_k :
\Ms{I}_k \rightarrow \Mb{Set} \qq (k = 1, 2, 3, 4)$ を次のように定義する. 極限の定義はまだ行っていないが, それぞれの図式の極限を示しておく (†).
†: $\Mb{Set}$ においては, 任意の図式に対してその極限が存在する.
(1) $D_1 : \Ms{I}_1 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { D_1(1) }
\end{xy}
\end{equation*} このとき, $\lim\, D_1$ は
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt { D_1(1) }
\end{xy}
\end{equation*} つまり, 集合 $D_1(1)$ 自身である.
(2) $D_2 : \Ms{I}_2 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt {
D_2(1) & D_2(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき, $\lim\, D_2$ は
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D_2(1) & D_2(1) \times D_2(2) \ar[l]_-{p_1} \ar[r]^-{p_2} & D_2(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} つまり 2 つの集合 $D_2(1)$ と $D_2(2)$ の直積である.
(3) $D_3 : \Ms{I}_3 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D_3(1) \ar[r]^{D_3(e)} & D_3(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき, $\lim\, D_3 = D_3(1)$ であり図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D_3(1) \ar[d]_{\Id{D_3(1)}} \ar[dr]^{D_3(e)} & \\
D_3(1) \ar[r]_{D_3(e)} & D_3(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる.
(4) $D_4 : \Ms{I}_4 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
& D_4(3) \ar[d]^{D_4(e_2)} \\
D_4(1) \ar[r]_{D_4(e_1)} & D_4(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき $P_4 = \lim\, D_4$ は図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
P_4 \ar[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & D_4(3) \ar[d]^{D_4(e_2)} \\
D_4(1) \ar[r]_{D_4(e_1)} & D_4(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にする. つまり $P_4$ は $D_4(1)$ と $D_4(3)$ の $D_4(2)$ 上の引き戻しである.
これで図式が定義できた.
この続きの文章では, 図式の極限を定義するための準備として米田の補題について書く.
圏における極限のメモ.
図式の定義 → 米田の補題 → 極限の定義 → 余極限の定義 の順番で書く.
まず図式の定義から.
定義: グラフ (graph).$\, $ $O$ と $A$ を集合, $d^0,
d^1 : A \rightarrow O$ を写像とするとき, 4 つ組
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)} \newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}} \newcommand{\CommaCat}[2]{(#1
\downarrow #2)} \newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1, #2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\Nat}{\mathrm{Nat}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}} \newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}} \newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}} \newcommand{\Src}{d^{0, \mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1, \mathrm{op}}} \Ms{G} = (A, O, d^0, d^1)
\end{equation*} を グラフ (graph)と呼ぶ. $O$ の元を $\Ms{G}$ の 対象 (objects), $A$ の元を $\Ms{G}$ の 射 (arrows)と言う.
また, 任意の $\Ms{G}$ の射 $f \in A$ に対して, $d^0 (f) \in O$ を $f$ の ソース (source), $d^1 (f) \in O$ を $f$ の ターゲット (target)と言う.
$A \in O$ をソース, $B \in O$ をターゲットとする $\Ms{G}$ の射 $f$ を $f : A \rightarrow B$ のように記す.
グラフ $\Ms{G}$ はイメージとしては "射の合成が定義されていない圏" とも言える.
グラフに関するいくつかの用語を導入する.
$\Ms{G} = (O_1, A_1, {d_1}^0, {d_1}^1)$, $\Ms{H} = (O_2, A_2, {d_2}^0, {d_2}^1)$ をグラフとする. 写像 $F : \Ms{G} \rightarrow \Ms{H}$ が条件:
(i) $\Ms{G}$ の任意の対象 $A \in O_1$ に対して $F (A) \in O_2$ は $\Ms{H}$ の対象である;
(ii) $\Ms{G}$ の任意の射 $(f : A \rightarrow B) \in A_1$ に対して $(F (f) : F (A) \rightarrow F (B)) \in A_2$ は $\Ms{H}$ の射である.
を満たすとき, $F$ は $\Ms{G}$ から $\Ms{H}$ への 準同型 (homomorphism)であると呼ぶ.
任意の小さい圏 $\Ms{C}$ は, 射の合成を捨象することによってグラフと考えることができる. これを圏 $\Ms{C}$ の 台グラフ (underlying graph)と呼び $|\Ms{C}|$ と記す.
$F : \Ms{C} \rightarrow \Ms{D}$ を関手としたとき, グラフの準同型 $|F| : |\Ms{C}| \rightarrow |\Ms{D}|$ が導かれる.
定義: 図式 (diagram).$\,$ $\Ms{C}$ を圏, $\Ms{I}$ をグラフとするとき, グラフ準同型 $D : \Ms{I} \rightarrow |\Ms{C}|$ を $\Ms{C}$ における 図式 (diagram)と呼ぶ. $\Ms{I}$ を 添字グラフ (index graph)と呼ぶ. 添字グラフ $\Ms{I}$ が有限個の対象と射からなるとき, 図式 $D : \Ms{I} \rightarrow |\Ms{C}|$
を 有限グラフ (finite graph)と呼ぶ.
混乱の恐れが無いならば, 圏 $\Ms{C}$ における図式 $D : \Ms{I} \rightarrow |\Ms{C}|$ を, 単に $D : \Ms{I} \rightarrow \Ms{C}$ のように書く.
図式の例をいくつか挙げておく.
グラフ:
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_1: & 1 } \end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_2: & 1 & 2 } \end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_3: & 1 \ar[r]^{e} & 2 } \end{xy} \\
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { \Ms{I}_4: & 1 \ar[r]^{e_1} & 2 & 3 \ar[l]_{e_2} }
\end{xy}
\end{equation*} を考える. これらに対して, 図式 $D_k :
\Ms{I}_k \rightarrow \Mb{Set} \qq (k = 1, 2, 3, 4)$ を次のように定義する. 極限の定義はまだ行っていないが, それぞれの図式の極限を示しておく (†).
†: $\Mb{Set}$ においては, 任意の図式に対してその極限が存在する.
(1) $D_1 : \Ms{I}_1 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt { D_1(1) }
\end{xy}
\end{equation*} このとき, $\lim\, D_1$ は
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt { D_1(1) }
\end{xy}
\end{equation*} つまり, 集合 $D_1(1)$ 自身である.
(2) $D_2 : \Ms{I}_2 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=12pt {
D_2(1) & D_2(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき, $\lim\, D_2$ は
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D_2(1) & D_2(1) \times D_2(2) \ar[l]_-{p_1} \ar[r]^-{p_2} & D_2(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} つまり 2 つの集合 $D_2(1)$ と $D_2(2)$ の直積である.
(3) $D_3 : \Ms{I}_3 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D_3(1) \ar[r]^{D_3(e)} & D_3(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき, $\lim\, D_3 = D_3(1)$ であり図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D_3(1) \ar[d]_{\Id{D_3(1)}} \ar[dr]^{D_3(e)} & \\
D_3(1) \ar[r]_{D_3(e)} & D_3(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる.
(4) $D_4 : \Ms{I}_4 \rightarrow \Mb{Set}$
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
& D_4(3) \ar[d]^{D_4(e_2)} \\
D_4(1) \ar[r]_{D_4(e_1)} & D_4(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} このとき $P_4 = \lim\, D_4$ は図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
P_4 \ar[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & D_4(3) \ar[d]^{D_4(e_2)} \\
D_4(1) \ar[r]_{D_4(e_1)} & D_4(2)
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にする. つまり $P_4$ は $D_4(1)$ と $D_4(3)$ の $D_4(2)$ 上の引き戻しである.
これで図式が定義できた.
この続きの文章では, 図式の極限を定義するための準備として米田の補題について書く.
2018年09月03日
数学: 基本の復習 (1) ── 引き戻し
読んでいる本 (†1) ではこのところずっと, $\mathscr{C}$ を小さな圏としたとき, 集合の圏 $\mathbf{Set}$ に値をとる関手の圏
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}{\mathrm{Nat}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\mathscr{E} = \Func{\Opp{\Ms{C}}}{\Mb{Set}} \quad (\text{†2})
\end{equation*} がトポスになることの証明を追っている.
†1: Michael Barr, Charles Wells, "Toposes, Triples and Theories"
†2: ここで $\Ms{E}$ の対象となる関手のソースの圏として $\Ms{C}$ ではなく逆圏 $\Opp{\Ms{C}}$ を指定している. だから, 考えている関手は共変関手 (covariant functor) ではなく反変関手 (contravariant functor) ということになる. どうしてこうするのかまだ実感できていないが, 本には応用上便利になるからであって $\Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ で共変関手による議論を進めても全く同様の結果が得られる, と書いてある. なお, 本書においては, 圏の間の写像 $F : \Ms{C} \rightarrow \Ms{D}$ で,
(i) $\Ms{C}$ の射 $f : A \rightarrow B$ に対して $Ff : FA \rightarrow FB$ は $\Ms{D}$ の射である;
(ii) 任意の対象 $A \in \Ob{\Ms{C}}$ に対して $F(\Id{A}) = \Id{FA}$ が成り立つ;
(iii) $\Ms{C}$ の射 $g : B \rightarrow C$ に対して $F(g \circ f) = F(g) \circ F(g)$ が成り立つ.
を満たすものを $\Ms{C}$ から $\Ms{D}$ への共変関手, または単に関手と定義する. その上で関手 (= 共変関手) $F : \Opp{\Ms{C}} \rightarrow \Ms{D}$ を $\Ms{C}$ から $\Ms{D}$ への反変関手と定義している.
その中で
\begin{equation*}
\Sub(\Colim\, D) = \lim \Sub(D)
\end{equation*} という命題が出てくる. ここで $D : \Ms{I} \rightarrow \Ms{E}$ は任意の $\Ms{E}$ 内の図式, $\Sub : \Ms{E} \rightarrow \Mb{Set}$ は部分対象関手である.
非常にきれいな結果だと思う.
この命題の証明を追いかける中で, 圏論の基礎的な部分, 特に集合の圏 $\Mb{Set}$ の性質に関わるいくつかの事柄を再確認した.
自分の理解が充分でなかったためである.
せっかくなので復習したことをまとめておく.
ここではまず引き戻しについて.
定義 (引き戻し).$\,$ 図式 $D$:
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
~ & B \ar[d]^{g} \\
A \ar[r]_{f} & C
}
\end{xy}
\end{equation*} に対して, 対象 $P$ と 2 つの射 $p_1 : P \rightarrow A$, $p_2 : P \rightarrow B$ の組で次の条件 (i), (ii) を満たすものを図式 $D$ に対する 引き戻し(または ファイバー積 (fiber product)) と呼ぶ.
(i)$\,$ 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
P \ar[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & B \ar[d]^{g} \\
A \ar[r]_{f} & C
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である;
(ii)$\,$ 対象 $T$ と 2 つの射 $h : P \rightarrow A$, $k : P \rightarrow B$ の組で図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
T \ar[d]_{h} \ar[r]^{k} & B \ar[d]^{g} \\
A \ar[r]_{f} & C
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものに対して, 射 $(h, k) : T \rightarrow P$ で図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=22pt {
T \ar@/_/[dddr]_{h} \ar[dr]|{(h, k)} \ar@/^/[drrr]^{k} & ~ && ~ \\
~ & P \ar[dd]_{p_1} \ar[rr]^{p_2} && B \ar[dd]^{g} \\
~ & ~ & ~ & \\
~ & A \ar[rr]_{f} && C
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものが一意的に存在する.
集合の圏 $\Mb{Set}$ における引き戻しとは具体的にどのような集合になるのか.
少し考えると $\Mb{Set}$ における図式 $D$ に対しては, 次の集合 $P$ が引き戻しとなることがわかる.
\begin{align*}
P &= \left\{\, (x, y) \in A \times B \mid f(x) = g(y) \,\right\} \\
&= \bigcup_{z \in C}^{~}\, (f^{-1}(z) \times g^{-1}(z)) \\
&= \bigcup_{z \in C}\, (f^{-1}, g^{-1})(z).
\end{align*} ここで 2 行目 (または 3 行目) は各 $z \in C$ に対して定まる $A \times B$ の部分集合 $f^{-1}(z) \times g^{-1}(z)$ (または $(f^{-1}, g^{-1})(z)$) の $C$ 全体にわたる和集合である.
一般的には引き戻しは圏における極限の一種であり, 図式 $D$ に対して
\begin{equation*}
P = \lim\, D
\end{equation*} とも書かれる.
では, 圏における極限とは何だったろうか.
これについては別の文章で書く.
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
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\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\mathscr{E} = \Func{\Opp{\Ms{C}}}{\Mb{Set}} \quad (\text{†2})
\end{equation*} がトポスになることの証明を追っている.
†1: Michael Barr, Charles Wells, "Toposes, Triples and Theories"
†2: ここで $\Ms{E}$ の対象となる関手のソースの圏として $\Ms{C}$ ではなく逆圏 $\Opp{\Ms{C}}$ を指定している. だから, 考えている関手は共変関手 (covariant functor) ではなく反変関手 (contravariant functor) ということになる. どうしてこうするのかまだ実感できていないが, 本には応用上便利になるからであって $\Func{\Ms{C}}{\Mb{Set}}$ で共変関手による議論を進めても全く同様の結果が得られる, と書いてある. なお, 本書においては, 圏の間の写像 $F : \Ms{C} \rightarrow \Ms{D}$ で,
(i) $\Ms{C}$ の射 $f : A \rightarrow B$ に対して $Ff : FA \rightarrow FB$ は $\Ms{D}$ の射である;
(ii) 任意の対象 $A \in \Ob{\Ms{C}}$ に対して $F(\Id{A}) = \Id{FA}$ が成り立つ;
(iii) $\Ms{C}$ の射 $g : B \rightarrow C$ に対して $F(g \circ f) = F(g) \circ F(g)$ が成り立つ.
を満たすものを $\Ms{C}$ から $\Ms{D}$ への共変関手, または単に関手と定義する. その上で関手 (= 共変関手) $F : \Opp{\Ms{C}} \rightarrow \Ms{D}$ を $\Ms{C}$ から $\Ms{D}$ への反変関手と定義している.
その中で
\begin{equation*}
\Sub(\Colim\, D) = \lim \Sub(D)
\end{equation*} という命題が出てくる. ここで $D : \Ms{I} \rightarrow \Ms{E}$ は任意の $\Ms{E}$ 内の図式, $\Sub : \Ms{E} \rightarrow \Mb{Set}$ は部分対象関手である.
非常にきれいな結果だと思う.
この命題の証明を追いかける中で, 圏論の基礎的な部分, 特に集合の圏 $\Mb{Set}$ の性質に関わるいくつかの事柄を再確認した.
自分の理解が充分でなかったためである.
せっかくなので復習したことをまとめておく.
ここではまず引き戻しについて.
定義 (引き戻し).$\,$ 図式 $D$:
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
~ & B \ar[d]^{g} \\
A \ar[r]_{f} & C
}
\end{xy}
\end{equation*} に対して, 対象 $P$ と 2 つの射 $p_1 : P \rightarrow A$, $p_2 : P \rightarrow B$ の組で次の条件 (i), (ii) を満たすものを図式 $D$ に対する 引き戻し(または ファイバー積 (fiber product)) と呼ぶ.
(i)$\,$ 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
P \ar[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & B \ar[d]^{g} \\
A \ar[r]_{f} & C
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である;
(ii)$\,$ 対象 $T$ と 2 つの射 $h : P \rightarrow A$, $k : P \rightarrow B$ の組で図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
T \ar[d]_{h} \ar[r]^{k} & B \ar[d]^{g} \\
A \ar[r]_{f} & C
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものに対して, 射 $(h, k) : T \rightarrow P$ で図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=22pt {
T \ar@/_/[dddr]_{h} \ar[dr]|{(h, k)} \ar@/^/[drrr]^{k} & ~ && ~ \\
~ & P \ar[dd]_{p_1} \ar[rr]^{p_2} && B \ar[dd]^{g} \\
~ & ~ & ~ & \\
~ & A \ar[rr]_{f} && C
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものが一意的に存在する.
集合の圏 $\Mb{Set}$ における引き戻しとは具体的にどのような集合になるのか.
少し考えると $\Mb{Set}$ における図式 $D$ に対しては, 次の集合 $P$ が引き戻しとなることがわかる.
\begin{align*}
P &= \left\{\, (x, y) \in A \times B \mid f(x) = g(y) \,\right\} \\
&= \bigcup_{z \in C}^{~}\, (f^{-1}(z) \times g^{-1}(z)) \\
&= \bigcup_{z \in C}\, (f^{-1}, g^{-1})(z).
\end{align*} ここで 2 行目 (または 3 行目) は各 $z \in C$ に対して定まる $A \times B$ の部分集合 $f^{-1}(z) \times g^{-1}(z)$ (または $(f^{-1}, g^{-1})(z)$) の $C$ 全体にわたる和集合である.
一般的には引き戻しは圏における極限の一種であり, 図式 $D$ に対して
\begin{equation*}
P = \lim\, D
\end{equation*} とも書かれる.
では, 圏における極限とは何だったろうか.
これについては別の文章で書く.
2018年07月18日
数学: トポスの定義 ── 羃対象
数学: トポスの定義 ── 部分対象関手
の続き.
トポスの出発点の一つは, 集合の圏を特徴付ける 2 つの性質として
・ 任意の有限極限が存在する;
・ 任意の集合に対して, その部分集合全体からなる集合を構成できる.
に注目することだった.
このうち, 任意の集合の部分集合全体からなる集合を 冪集合 (powerset)と呼ぶ.
集合 $A$ に対して, $A$ の冪集合を
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
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\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
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\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\Mb{P}A = \left\{\, A_0 \mid A_0 \subset A \,\right\}
\end{equation*} と書く.
集合の圏 $\mathbf{Set}$ における冪集合の概念を, 一般的な圏に拡張する.
$\mathscr{E}$ を任意の有限極限を持つ圏とする. 任意の対象 $A \in \mathrm{Ob}(\mathscr{E})$ を取って固定する.
$\mathscr{E}$ は有限極限を持つから, 任意の対象 $B \in \mathrm{Ob}(\mathscr{E})$ に対して積
\begin{equation*}
(- \times A)(B) = B \times A
\end{equation*} が常に存在する.
また, 任意の射 $f : B \rightarrow B'$ に対して, 射 $(- \times A)(f) = f \times A : B \times A \rightarrow B' \times A$ を
\begin{equation*}
f \times A = f \times \Id{A} : B \times A \longrightarrow B' \times A
\end{equation*} として定める.
このとき, 写像
\begin{equation*}
- \times\, A : \mathscr{E} \longrightarrow \mathscr{E}
\end{equation*} は $\mathscr{E}$ からそれ自身への関手となる.
$\Ms{E}$ が有限極限を持つという仮定から, $\Ms{E}$ は任意の引き戻しを持つ. よって $\Ms{E}$ は部分対象関手 $\Sub : \mathscr{E} \rightarrow \Mb{Set}$ を持つ.
ここで, これら 2 つの関手を合成した反変関手 $\Sub(- \times A) : \Ms{E} \rightarrow \Mb{Set}$ を考える.
$\Sub(- \times A)$ が $\Ms{E}$ のある対象 $\Mb{P}A \in \Ob{\Ms{E}}$ によって自然に表現されるとき, すなわち
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{E}}(-, \Mb{P}A) \simeq \Sub(- \times A)
\end{equation*} が成り立ち, かつ, 集合の同型写像
\begin{equation*}
\varphi(A, -) : \Hom_{\Ms{E}}(-, \Mb{P}A) \longrightarrow \Sub(- \times A)
\end{equation*} で, 任意の $\Ms{E}$ の射 $f : B \rightarrow B'$ に対して図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{E}}(B, \Mb{P}A) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{E}}(f, \Mb{P}A)} \ar[r]^{\varphi(A, B)} & \Sub(B \times A) \ar[d]^{\Sub(f \times A)} \\
\Hom_{\Ms{E}}(B', \Mb{P}A) \ar[r]_{\varphi(A, B')} & \Sub(B' \times A)
}
\end{equation*} を可換にするものが存在するとき, $\Mb{P}A$ を $A$ の 羃対象 (power object)と呼ぶ.
なぜ $\Sub(- \times A)$ を表現する $\Ms{E}$ の対象を羃対象とするのかについては, 集合の圏 $\Mb{Set}$ において, $\Mb{1}$ を単集合 (singleton: 1 つの元のみからなる集合) とするとき,
\begin{align*}
\Mb{P}A & \simeq \Hom_{\Mb{Set}}(\Mb{1}, \Mb{P}A), \\
\Mb{P}A & \simeq \Sub(A) \simeq \Sub(\Mb{1} \times A)
\end{align*} であることから
\begin{equation*}
\Hom_{\Mb{Set}}(\Mb{1}, \Mb{P}A) \simeq \Sub(\Mb{1} \times A)
\end{equation*} が成り立ち, この関係を含む一般の場合として冪集合 $\Mb{P}A$ が
\begin{equation*}
\Hom_{\Mb{Set}}(-, \Mb{P}A) \simeq \Sub(- \times A)
\end{equation*} を満たすことを考えるとイメージを掴みやすい.
以上の準備のもとでトポスを定義する.
定義.$\qq$ 圏 $\Ms{E}$ は, $\Ms{E}$ における任意の有限極限が存在し, かつ $\Ms{E}$ の任意の対象が羃対象を持つとき トポス (topos)であると言う.
トポスの例
● 集合の圏 $\Mb{Set}$ はトポスである;
● $G$ を群とし, $G$ が作用する集合の全体からなる圏を $G$-$\Mb{Set}$ とするとき, $G$-$\Mb{Set}$ はトポスになる. このことは $\Mb{Set}$ がトポスであることを利用して導かれる. 証明は自明ではない;
● $\Ms{C}$ を小圏としたとき, $\Mb{Set}$ に値をとる関手の圏 $\Func{\Opp{\Ms{C}}}{\Mb{Set}}$ はトポスになる. このことの証明も $\Mb{Set}$ の性質を利用して行う (現在証明を読んでいる途中).
トポスの出発点の一つは, 集合の圏を特徴付ける 2 つの性質として
・ 任意の有限極限が存在する;
・ 任意の集合に対して, その部分集合全体からなる集合を構成できる.
に注目することだった.
このうち, 任意の集合の部分集合全体からなる集合を 冪集合 (powerset)と呼ぶ.
集合 $A$ に対して, $A$ の冪集合を
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}{\mathrm{Nat}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\Mb{P}A = \left\{\, A_0 \mid A_0 \subset A \,\right\}
\end{equation*} と書く.
集合の圏 $\mathbf{Set}$ における冪集合の概念を, 一般的な圏に拡張する.
$\mathscr{E}$ を任意の有限極限を持つ圏とする. 任意の対象 $A \in \mathrm{Ob}(\mathscr{E})$ を取って固定する.
$\mathscr{E}$ は有限極限を持つから, 任意の対象 $B \in \mathrm{Ob}(\mathscr{E})$ に対して積
\begin{equation*}
(- \times A)(B) = B \times A
\end{equation*} が常に存在する.
また, 任意の射 $f : B \rightarrow B'$ に対して, 射 $(- \times A)(f) = f \times A : B \times A \rightarrow B' \times A$ を
\begin{equation*}
f \times A = f \times \Id{A} : B \times A \longrightarrow B' \times A
\end{equation*} として定める.
このとき, 写像
\begin{equation*}
- \times\, A : \mathscr{E} \longrightarrow \mathscr{E}
\end{equation*} は $\mathscr{E}$ からそれ自身への関手となる.
$\Ms{E}$ が有限極限を持つという仮定から, $\Ms{E}$ は任意の引き戻しを持つ. よって $\Ms{E}$ は部分対象関手 $\Sub : \mathscr{E} \rightarrow \Mb{Set}$ を持つ.
ここで, これら 2 つの関手を合成した反変関手 $\Sub(- \times A) : \Ms{E} \rightarrow \Mb{Set}$ を考える.
$\Sub(- \times A)$ が $\Ms{E}$ のある対象 $\Mb{P}A \in \Ob{\Ms{E}}$ によって自然に表現されるとき, すなわち
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{E}}(-, \Mb{P}A) \simeq \Sub(- \times A)
\end{equation*} が成り立ち, かつ, 集合の同型写像
\begin{equation*}
\varphi(A, -) : \Hom_{\Ms{E}}(-, \Mb{P}A) \longrightarrow \Sub(- \times A)
\end{equation*} で, 任意の $\Ms{E}$ の射 $f : B \rightarrow B'$ に対して図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{E}}(B, \Mb{P}A) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{E}}(f, \Mb{P}A)} \ar[r]^{\varphi(A, B)} & \Sub(B \times A) \ar[d]^{\Sub(f \times A)} \\
\Hom_{\Ms{E}}(B', \Mb{P}A) \ar[r]_{\varphi(A, B')} & \Sub(B' \times A)
}
\end{equation*} を可換にするものが存在するとき, $\Mb{P}A$ を $A$ の 羃対象 (power object)と呼ぶ.
なぜ $\Sub(- \times A)$ を表現する $\Ms{E}$ の対象を羃対象とするのかについては, 集合の圏 $\Mb{Set}$ において, $\Mb{1}$ を単集合 (singleton: 1 つの元のみからなる集合) とするとき,
\begin{align*}
\Mb{P}A & \simeq \Hom_{\Mb{Set}}(\Mb{1}, \Mb{P}A), \\
\Mb{P}A & \simeq \Sub(A) \simeq \Sub(\Mb{1} \times A)
\end{align*} であることから
\begin{equation*}
\Hom_{\Mb{Set}}(\Mb{1}, \Mb{P}A) \simeq \Sub(\Mb{1} \times A)
\end{equation*} が成り立ち, この関係を含む一般の場合として冪集合 $\Mb{P}A$ が
\begin{equation*}
\Hom_{\Mb{Set}}(-, \Mb{P}A) \simeq \Sub(- \times A)
\end{equation*} を満たすことを考えるとイメージを掴みやすい.
以上の準備のもとでトポスを定義する.
定義.$\qq$ 圏 $\Ms{E}$ は, $\Ms{E}$ における任意の有限極限が存在し, かつ $\Ms{E}$ の任意の対象が羃対象を持つとき トポス (topos)であると言う.
トポスの例
● 集合の圏 $\Mb{Set}$ はトポスである;
● $G$ を群とし, $G$ が作用する集合の全体からなる圏を $G$-$\Mb{Set}$ とするとき, $G$-$\Mb{Set}$ はトポスになる. このことは $\Mb{Set}$ がトポスであることを利用して導かれる. 証明は自明ではない;
● $\Ms{C}$ を小圏としたとき, $\Mb{Set}$ に値をとる関手の圏 $\Func{\Opp{\Ms{C}}}{\Mb{Set}}$ はトポスになる. このことの証明も $\Mb{Set}$ の性質を利用して行う (現在証明を読んでいる途中).
2018年07月05日
数学: トポスの定義 ── 部分対象関手
集合の圏を特徴付ける 2 つの性質として
・ 任意の有限極限が存在する;
・ 任意の集合に対して, その部分集合全体からなる集合を構成できる.
に注目する.
圏論において, トポス (topos) はこれらを一般化した性質を備えた圏として定義されるが, この観点からは集合論の一般化と考えることもできる.
また, 別の観点からは, 位相空間上の層のなす圏の抽象化とも言える.
読んでいる本では, 最初はトポスを集合の一般化として定義していて, その際に部分対象関手 (subobject functor) が用いられる.
これについてメモしておく.
圏 $\mathscr{C}$ において, 射 $f : A \rightarrow B$ が, 2 つの射 $g, g' : T \rightarrow A$ に対して
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}{\mathrm{Nat}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
f \circ g = f \circ g'
\end{equation*} を満たすとき常に $g = g'$ が成り立つならば, $f$ は単射 (monomorphism) であると言い, $f : A \rightarrowtail B$ のように書く.
圏 $\Ms{C}$ において,
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
\ar@{}[d]_{D:} & ~ & B \ar[d]^g \\
& A \ar[r]_f & C
}
\end{equation*}
の形の任意の図式 $D$ が常に引き戻し (pullback), つまり図式 $D$ の $\Ms{C}$ における極限 $P = \lim\,D$ を持つものとする.
このとき, 射 $p_1 : P \rightarrow A$, $p_2 : P \rightarrow B$ が一意的に存在して, 図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
P \ar[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & B \ar[d]^g \\
A \ar[r]_f & C
}
\end{equation*} が可換になる.
このような圏 $\Ms{C}$ では, 上記の図式において $g$ が単射ならば $p_1$ も単射になるという性質がある.
\begin{equation*}
\newdir{ >}{{}*!/-5pt/@{>}}
\xymatrix@=48pt {
P \ar@{ >->}[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & B \ar@{ >->}[d]^g \\
A \ar[r]_f & C
}
\end{equation*} これは, $\Ms{C}$ の射 $f : A \rightarrow C$ によって, $C$ への単射 $g : B \rightarrowtail C$ が, $A$ への単射 $p_1 : P \rightarrowtail A$ に引き戻されることを意味する.
2 つの単射, $g : U \rightarrowtail A$, $h : V \rightarrowtail A$ を考える. これらに対して射 $i : U \rightarrow V$,
$j : V \rightarrow U$ が存在して, 図式
\begin{equation*}
\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\xymatrix {
U \ar@{ >->}[dr]_g \ar[rr]^{i} & & V \ar@{ >->}[dl]^h \\
& A &
}
\qquad
\xymatrix {
U \ar@{ >->}[dr]_g & & V \ar[ll]_{j} \ar@{ >->}[dl]^h \\
& A &
}
\end{equation*} が共に可換になるときに,
\begin{equation*}
g \sim h
\end{equation*} と書くことにする.
上記の 2 つの図式が可換であることより, $g = g \circ (j \circ i)$, $h = h \circ (i \circ j)$ が成り立つが, $g$, $h$ が単射であることより $j \circ i = \Id{U}$, $i \circ j = \Id{V}$ が成り立つ. つまり $U$ と $V$ は $i$, $j$ を同型射として同型になる.
対象 $A$ をターゲットとする単射全体の集合を $M(A)$ とおくとき, $\sim$ は実際に $M(A)$ 上の同値関係となるので, これによる商空間を
\begin{equation*}
\Sub(A) = M(A) \big/ \sim
\end{equation*} とおく.
各単射 $g : U \rightarrowtail A$ の同値関係 $\sim$ による同値類を $[g] = [g : U \rightarrowtail A]$ と書くことにすれば,
\begin{equation*}
\Sub(A) = \left\{\, [g : U \rightarrowtail A] \mid g \in M(A) \,\right\}
\end{equation*} である.
$\Sub(A)$ の元を $A$ の部分対象 (subobject) と呼ぶ.
$\Ms{C}$ の任意の射 $f : B \rightarrow A$ に対して, 単射 $g : U \rightarrowtail A$, $g' : U' \rightarrowtail A$ が与えられ, $g \sim g'$ が成立しているとする. $\Ms{C}$ に関する仮定より図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
& U \ar@{ >->}[d]^g \\
B \ar[r]_f & A &
}
\qquad
\xymatrix@=48pt {
& U' \ar@{ >->}[d]^{g'} \\
B \ar[r]_f & A
}
\end{equation*} は共に単射 $g$, $g'$ の引き戻しとなる一意的な単射 $h : V \rightarrowtail B$, $h' : V' \rightarrowtail B$ を持ち, 図式
\begin{equation*}
\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\xymatrix@=48pt {
V \ar@{ >->}[d]_h \ar[r]^{p_2} & U \ar@{ >->}[d]_g \\
B \ar[r]_f & A
}
\qquad
\xymatrix@=48pt {
V' \ar@{ >->}[d]_{h'} \ar[r]^{p'_2} & U' \ar@{ >->}[d]^{g'} \\
B \ar[r]_f & A
}
\end{equation*} は可換になる.
このとき, $h \sim h'$ が成り立つことが示せるので, 集合間の射 $\Sub(f) : \Sub(A) \rightarrow \Sub(B)$ を
\begin{equation*}
\Sub(f)([g]) = [h]
\end{equation*} と定義することができる.
このようにして定義される写像 $\Sub : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ は反変関手になる. $\Sub$ を $\Ms{C}$ 上の部分対象関手 (subobject functor) と呼ぶ.
通常, 混乱の恐れが無い場合には同値類 $[g : U \rightarrowtail A]$ の代わりに射 $g : U \rightarrowtail A$ 自体を $A$ の部分対象として扱う.
これにより, 上記の図式 $D$ が常に極限を持つような圏 $\Ms{C}$ において, $\Mb{Set}$ における部分集合の一般化である部分対象が定義される.
部分対象が定義できる条件として, 任意の引き戻しの存在が要求されるという事実が興味深い.
・ 任意の有限極限が存在する;
・ 任意の集合に対して, その部分集合全体からなる集合を構成できる.
に注目する.
圏論において, トポス (topos) はこれらを一般化した性質を備えた圏として定義されるが, この観点からは集合論の一般化と考えることもできる.
また, 別の観点からは, 位相空間上の層のなす圏の抽象化とも言える.
読んでいる本では, 最初はトポスを集合の一般化として定義していて, その際に部分対象関手 (subobject functor) が用いられる.
これについてメモしておく.
圏 $\mathscr{C}$ において, 射 $f : A \rightarrow B$ が, 2 つの射 $g, g' : T \rightarrow A$ に対して
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}{\mathrm{Nat}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
f \circ g = f \circ g'
\end{equation*} を満たすとき常に $g = g'$ が成り立つならば, $f$ は単射 (monomorphism) であると言い, $f : A \rightarrowtail B$ のように書く.
圏 $\Ms{C}$ において,
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
\ar@{}[d]_{D:} & ~ & B \ar[d]^g \\
& A \ar[r]_f & C
}
\end{equation*}
の形の任意の図式 $D$ が常に引き戻し (pullback), つまり図式 $D$ の $\Ms{C}$ における極限 $P = \lim\,D$ を持つものとする.
このとき, 射 $p_1 : P \rightarrow A$, $p_2 : P \rightarrow B$ が一意的に存在して, 図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
P \ar[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & B \ar[d]^g \\
A \ar[r]_f & C
}
\end{equation*} が可換になる.
このような圏 $\Ms{C}$ では, 上記の図式において $g$ が単射ならば $p_1$ も単射になるという性質がある.
\begin{equation*}
\newdir{ >}{{}*!/-5pt/@{>}}
\xymatrix@=48pt {
P \ar@{ >->}[d]_{p_1} \ar[r]^{p_2} & B \ar@{ >->}[d]^g \\
A \ar[r]_f & C
}
\end{equation*} これは, $\Ms{C}$ の射 $f : A \rightarrow C$ によって, $C$ への単射 $g : B \rightarrowtail C$ が, $A$ への単射 $p_1 : P \rightarrowtail A$ に引き戻されることを意味する.
2 つの単射, $g : U \rightarrowtail A$, $h : V \rightarrowtail A$ を考える. これらに対して射 $i : U \rightarrow V$,
$j : V \rightarrow U$ が存在して, 図式
\begin{equation*}
\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\xymatrix {
U \ar@{ >->}[dr]_g \ar[rr]^{i} & & V \ar@{ >->}[dl]^h \\
& A &
}
\qquad
\xymatrix {
U \ar@{ >->}[dr]_g & & V \ar[ll]_{j} \ar@{ >->}[dl]^h \\
& A &
}
\end{equation*} が共に可換になるときに,
\begin{equation*}
g \sim h
\end{equation*} と書くことにする.
上記の 2 つの図式が可換であることより, $g = g \circ (j \circ i)$, $h = h \circ (i \circ j)$ が成り立つが, $g$, $h$ が単射であることより $j \circ i = \Id{U}$, $i \circ j = \Id{V}$ が成り立つ. つまり $U$ と $V$ は $i$, $j$ を同型射として同型になる.
対象 $A$ をターゲットとする単射全体の集合を $M(A)$ とおくとき, $\sim$ は実際に $M(A)$ 上の同値関係となるので, これによる商空間を
\begin{equation*}
\Sub(A) = M(A) \big/ \sim
\end{equation*} とおく.
各単射 $g : U \rightarrowtail A$ の同値関係 $\sim$ による同値類を $[g] = [g : U \rightarrowtail A]$ と書くことにすれば,
\begin{equation*}
\Sub(A) = \left\{\, [g : U \rightarrowtail A] \mid g \in M(A) \,\right\}
\end{equation*} である.
$\Sub(A)$ の元を $A$ の部分対象 (subobject) と呼ぶ.
$\Ms{C}$ の任意の射 $f : B \rightarrow A$ に対して, 単射 $g : U \rightarrowtail A$, $g' : U' \rightarrowtail A$ が与えられ, $g \sim g'$ が成立しているとする. $\Ms{C}$ に関する仮定より図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
& U \ar@{ >->}[d]^g \\
B \ar[r]_f & A &
}
\qquad
\xymatrix@=48pt {
& U' \ar@{ >->}[d]^{g'} \\
B \ar[r]_f & A
}
\end{equation*} は共に単射 $g$, $g'$ の引き戻しとなる一意的な単射 $h : V \rightarrowtail B$, $h' : V' \rightarrowtail B$ を持ち, 図式
\begin{equation*}
\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\xymatrix@=48pt {
V \ar@{ >->}[d]_h \ar[r]^{p_2} & U \ar@{ >->}[d]_g \\
B \ar[r]_f & A
}
\qquad
\xymatrix@=48pt {
V' \ar@{ >->}[d]_{h'} \ar[r]^{p'_2} & U' \ar@{ >->}[d]^{g'} \\
B \ar[r]_f & A
}
\end{equation*} は可換になる.
このとき, $h \sim h'$ が成り立つことが示せるので, 集合間の射 $\Sub(f) : \Sub(A) \rightarrow \Sub(B)$ を
\begin{equation*}
\Sub(f)([g]) = [h]
\end{equation*} と定義することができる.
このようにして定義される写像 $\Sub : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ は反変関手になる. $\Sub$ を $\Ms{C}$ 上の部分対象関手 (subobject functor) と呼ぶ.
通常, 混乱の恐れが無い場合には同値類 $[g : U \rightarrowtail A]$ の代わりに射 $g : U \rightarrowtail A$ 自体を $A$ の部分対象として扱う.
これにより, 上記の図式 $D$ が常に極限を持つような圏 $\Ms{C}$ において, $\Mb{Set}$ における部分集合の一般化である部分対象が定義される.
部分対象が定義できる条件として, 任意の引き戻しの存在が要求されるという事実が興味深い.
2018年06月18日
数学: Kan 拡張のまとめ
Kan 拡張 (Kan extensions) について勉強した. 大まかにまとめておく.
定義.$\,\mathscr{A}$, $\mathscr{C}$, $\mathscr{D}$ を圏, $F : \mathscr{D} \rightarrow \mathscr{C}$ を関手とする. 関手 $T : \mathscr{D} \rightarrow \mathscr{A}$ に対して, $F$ に依存して定まる関手 $LF(T) : \mathscr{C} \rightarrow \mathscr{A}$ で, 任意の関手 $G : \mathscr{C} \rightarrow \mathscr{A}$ に関して自然な全単射
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}{\mathrm{Nat}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\Nat(LF(T), G) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \Nat(T, G \circ F)
\end{equation*} が存在するとき, $LF(T)$ を $T$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張 (left Kan extension) と呼ぶ.
ここで $\Nat(LF(T), G)$ は $LF(T)$ から $G$ への自然変換の全体, $\Nat(T, G \circ F)$ は $T$ から $G \circ F$ への自然変換の全体である. すなわち,
\begin{align*}
\Nat(LF(T), G) &= \Hom_{\Func{\Ms{C}}{\Ms{A}}}(LF(T), G), \\
\Nat(T, G \circ F) &= \Hom_{\Func{\Ms{D}}{\Ms{A}}}(T, G \circ F).
\end{align*}
圏 $\Ms{D}$ が圏 $\Ms{C}$ の部分圏で $F : \Ms{D} \rightarrow \Ms{C}$ が包含関手のときには, 関手 $LF(T)$ は $\Ms{D}$ 上で関手 $T$ に等しくなる. つまり関手 $T$ の定義域を圏 $\Ms{C}$ に拡張したものになる.
\begin{align*}
\Nat(LF(T), G) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \Nat(LF(T) \circ F, G \circ F) = \Nat(T, G \circ F) \\
\lambda \hspace{10mm} & \longmapsto \hspace{15mm} \lambda F
\end{align*}
左 Kan 拡張の存在に関して, 次の定理が成り立つ.
定理.$\,\Ms{A}$ を余完備 (任意の余極限が存在する) な圏, $\Ms{C}$ を任意の圏, $\Ms{D}$ を小さな圏とし, $F : \Ms{D} \rightarrow \Ms{C}$, $T : \Ms{D} \rightarrow \Ms{A}$ を関手とする. このとき, $T$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張が存在する.
証明は $\Ms{C}$ の各対象 $C$ について $\Ms{A}$ の対象 $LF(T)(C)$ を構成することによって $T$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張 $LF(T) : \Ms{C} \rightarrow \Ms{A}$ の存在を導く. この方法は, nLab では, 対象毎の Kan 拡張 (pointwise Kan extension) として紹介されている.
コンマ圏
証明の中でコンマ圏 (comma category) の概念を用いる. 2 つの関手 $F_1 : \Ms{C}_1 \rightarrow \Ms{A}$, $F_2 : \Ms{C}_2 \rightarrow \Ms{A}$ に対して, コンマ圏 $\CommaCat{F_1}{F_2}$ は 3 つ組
\begin{equation*}
(C_1, f, C_2) \quad (C_1 \in \Ob{\Ms{C}_1},\, C_2 \in \Ob{\Ms{C}_2},\, (f : F_1 C_1 \rightarrow F_2 C_2) \in \Hom_{\Ms{A}}(F_1 C_1, F_2 C_2))
\end{equation*} を対象として持つ.
また, $(F_1 \downarrow F_2)$ の 2 つの対象 $(C_1, f, C_2)$, $(C_1', f', C_2')$ に対して, $\Ms{C}_1$ の射 $h : C_1 \rightarrow C_1'$ と $\Ms{C}_2$ の射 $k : C_2 \rightarrow C_2'$ の組 $(h, k)$ で, 図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
F_1 C_1 \ar[d]_{f} \ar[r]^{F_1 h} & F_1 C_1' \ar[d]^{f'} \\
F_2 C_2 \ar[r]_{F_2 k} & F_2 C_2'
}
\end{equation*} を可換にするものを $(F_1 \downarrow F_2)$ の射 $(h, k) : (C_1, f, C_2) \rightarrow (C_1', f', C_2')$ と定義する.
特に, 対象 $C_2 \in \Ob{\Ms{C}_2}$ を固定したとき, 関手 $F_1$ と, $C_2$ を唯一の対象, $\Id{C_2} : C_2 \rightarrow C_2$ を唯一の射とする圏上の恒等関手から構成されるコンマ圏を $(F_1 \downarrow C_2)$ と表わす. 対象 $C_1 \in \Ob{\Ms{C}_1}$ と関手 $F_2$ からなるコンマ圏 $(C_1 \downarrow F_2)$ も同様に定義される.
対象毎の Kan 拡張: 証明の概要.$\,$ 圏 $\Ms{C}$ の任意の対象 $C$ と関手 $F : \Ms{D} \rightarrow \Ms{C}$ からなるコンマ圏 $(F \downarrow C)$ を考える. 各対象 $(D, g, C) \in \Ob{\CommaCat{F}{C}}$ と射 $(h, \Id{C}) : (D, g, C) \rightarrow (D', g', C)$ に対して, 射影関手 $p_C : \CommaCat{F}{C} \rightarrow \Ms{D}$ が
\begin{align*}
p_C(D, g, C) &= D, \\
p_C(h, \Id{C}) &= (h : D \rightarrow D')
\end{align*} によって定まる.
射影 $p_C : \CommaCat{F}{C} \rightarrow \Ms{D}$ と関手 $T : \Ms{D} \rightarrow \Ms{A}$ の合成関手 $T \circ p_C : \CommaCat{F}{C} \rightarrow \Ms{A}$ を考える.
$T \circ p_C$ はコンマ圏 $\CommaCat{F}{C}$ を添え字グラフとする $\Ms{A}$ 内の図式である. $\Ms{D}$ が小さい圏であることと $\Ms{A}$ が余完備であることより, $T \circ p_C$ の余極限が存在する. そこで,
\begin{equation*}
LF(T)(C) = \Colim\, (T \circ p_C)
\end{equation*} とおく. 余極限の定義より, これに関して普遍的な可換余錐 (commutative cocone)
\begin{equation*}
l_C : T \circ p_C \longrightarrow LF(T)(C)
\end{equation*} が一意的に定まる.
各対象 $C$ 毎に $LF(T)(C)$ が定義されたので, 次にこれらの間の射を定義する.
$\Ms{C}$ の任意の射 $f : C \rightarrow C'$ に対して, 写像 $\varphi(f) : \CommaCat{F}{C} \rightarrow \CommaCat{F}{C'}$ を
\begin{equation*}
\varphi(f)(D, g, C) = (D, f \circ g, C') \quad ((D, g, C) \in \Ob{\CommaCat{F}{C}})
\end{equation*} と定義する.
$\varphi(f)$ は関手となる. また, 射影 $p_C$, $p_{C'}$ との間に
\begin{equation*}
p_{C'} \circ \varphi(f) = p_C
\end{equation*} という関係が成り立つ.
このことから図式 $T \circ p_C$ に対する可換余錐 $l_{C'}(\varphi(f)(-)) : T \circ p_C \rightarrow LF(T)(C')$ が導かれるが, $LF(T)(C)$ の普遍性により $\Ms{A}$ の射 $LF(T)(f) : LF(T)(C) \rightarrow LF(T)(C')$ で図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
T \circ p_C(-) \ar[dr]_{l_{C'}(\varphi(f)(-))} \ar[r]^{l_C(-)} & LF(T)(C) \ar[d]^{LF(T)(f)} \\
& LF(T)(C')
}
\end{equation*} を可換にするものが一意的に存在する. これで $\Ms{C}$ の射 $f$ に対する $\Ms{A}$ の射 $LF(T)(f)$ が定義される.
次に関手間の変換 $\eta : T \rightarrow LF(T) \circ F$ を, 各 $D \in \Ob{\Ms{D}}$ に対して
\begin{equation*}
\eta D = l_{FD}(D, \Id{FD}, FD) : T \circ p_{FD}(D, \Id{FD}, FD) = TD \longrightarrow LF(T)(FD)
\end{equation*} と定義する. この $\eta$ は, 任意の射 $u : D \rightarrow D'$ に対して図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=100pt {
T \circ p_{FD}(D, \Id{FD}, FD) = TD \ar[d]_{Tu} \ar[r]^{\eta D = l_{FD}(D, \Id{FD}, FD)} & LF(T)(FD) \ar[d]^{LF(T)(Fu)} \\
T \circ p_{FD'}(D', \Id{FD'}, FD') = TD' \ar[r]_{\eta D' = l_{FD'}(D', \Id{FD'}, FD')} & LF(T)(FD')
}
\end{equation*} を可換にする. つまり自然変換である.
このように定義された $LF(T)$ に関して, 任意の関手 $G : \Ms{C} \rightarrow \Ms{A}$ に対する
\begin{align*}
\Nat(LF(T), G) & \longrightarrow \Nat(T, G \circ F) \\
\lambda \hspace{10mm} & \longmapsto \hspace{5mm} \lambda F \circ \eta
\end{align*} という対応を考えると, これは $G$ に関して自然な全単射となることがわかる.
したがって $LF(T)$ は $T$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張である.
$LF(T)$ については,
\begin{equation*}
LF : \Func{\Ms{D}}{\Ms{A}} \longrightarrow \Func{\Ms{C}}{\Ms{A}}
\end{equation*} が関手になることもわかる.
左 Kan 拡張が存在する場合に, 関手圏における関手に対する左随伴関手を導く次の命題が成立する.
命題.$\,\Ms{A}$, $\Ms{C}$, $\Ms{D}$ を圏, $F : \Ms{D} \rightarrow \Ms{C}$ を関手とする. 任意の関手 $T : \Ms{D} \rightarrow \Ms{A}$ に対して, $T$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張 $LF(T) : \Ms{C} \rightarrow \Ms{A}$ が存在するならば, 関手
\begin{equation*}
\Func{F}{\Ms{A}} : \Func{\Ms{C}}{\Ms{A}} \longrightarrow \Func{\Ms{D}}{\Ms{A}}
\end{equation*} は左随伴関手を持つ.
右 Kan 拡張は次のように定義される.
定義.$\,$ 関手 $T : \Ms{D} \rightarrow \Ms{A}$ に対して $F$ に依存して定まる関手 $RT(F) : \Ms{C} \rightarrow \Ms{A}$ で, 任意の関手 $G : \Ms{C} \rightarrow \Ms{A}$ に関して自然な全単射
\begin{equation*}
\Nat(G \circ F, T) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \Nat(G, RF(T))
\end{equation*} が存在するとき, $RF(T)$ を $T$ の $F$ に沿った右 Kan 拡張 (right Kan extension) と呼ぶ.
右 Kan 拡張についても, 左 Kan 拡張と類似の議論によって上記と同様の結果を導くことができる.
Kan 拡張はその適用範囲が非常に広いようで, 米田の補題なども Kan 拡張を用いて説明ができるらしい.
現在の自分のテーマとして, 米田の補題の証明の見直しということを考えているが, その際に余力があれば Kan 拡張との関係も調べたい.
定義.$\,\mathscr{A}$, $\mathscr{C}$, $\mathscr{D}$ を圏, $F : \mathscr{D} \rightarrow \mathscr{C}$ を関手とする. 関手 $T : \mathscr{D} \rightarrow \mathscr{A}$ に対して, $F$ に依存して定まる関手 $LF(T) : \mathscr{C} \rightarrow \mathscr{A}$ で, 任意の関手 $G : \mathscr{C} \rightarrow \mathscr{A}$ に関して自然な全単射
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}{\mathrm{Nat}}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\Nat(LF(T), G) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \Nat(T, G \circ F)
\end{equation*} が存在するとき, $LF(T)$ を $T$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張 (left Kan extension) と呼ぶ.
ここで $\Nat(LF(T), G)$ は $LF(T)$ から $G$ への自然変換の全体, $\Nat(T, G \circ F)$ は $T$ から $G \circ F$ への自然変換の全体である. すなわち,
\begin{align*}
\Nat(LF(T), G) &= \Hom_{\Func{\Ms{C}}{\Ms{A}}}(LF(T), G), \\
\Nat(T, G \circ F) &= \Hom_{\Func{\Ms{D}}{\Ms{A}}}(T, G \circ F).
\end{align*}
圏 $\Ms{D}$ が圏 $\Ms{C}$ の部分圏で $F : \Ms{D} \rightarrow \Ms{C}$ が包含関手のときには, 関手 $LF(T)$ は $\Ms{D}$ 上で関手 $T$ に等しくなる. つまり関手 $T$ の定義域を圏 $\Ms{C}$ に拡張したものになる.
\begin{align*}
\Nat(LF(T), G) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \Nat(LF(T) \circ F, G \circ F) = \Nat(T, G \circ F) \\
\lambda \hspace{10mm} & \longmapsto \hspace{15mm} \lambda F
\end{align*}
左 Kan 拡張の存在に関して, 次の定理が成り立つ.
定理.$\,\Ms{A}$ を余完備 (任意の余極限が存在する) な圏, $\Ms{C}$ を任意の圏, $\Ms{D}$ を小さな圏とし, $F : \Ms{D} \rightarrow \Ms{C}$, $T : \Ms{D} \rightarrow \Ms{A}$ を関手とする. このとき, $T$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張が存在する.
証明は $\Ms{C}$ の各対象 $C$ について $\Ms{A}$ の対象 $LF(T)(C)$ を構成することによって $T$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張 $LF(T) : \Ms{C} \rightarrow \Ms{A}$ の存在を導く. この方法は, nLab では, 対象毎の Kan 拡張 (pointwise Kan extension) として紹介されている.
コンマ圏
証明の中でコンマ圏 (comma category) の概念を用いる. 2 つの関手 $F_1 : \Ms{C}_1 \rightarrow \Ms{A}$, $F_2 : \Ms{C}_2 \rightarrow \Ms{A}$ に対して, コンマ圏 $\CommaCat{F_1}{F_2}$ は 3 つ組
\begin{equation*}
(C_1, f, C_2) \quad (C_1 \in \Ob{\Ms{C}_1},\, C_2 \in \Ob{\Ms{C}_2},\, (f : F_1 C_1 \rightarrow F_2 C_2) \in \Hom_{\Ms{A}}(F_1 C_1, F_2 C_2))
\end{equation*} を対象として持つ.
また, $(F_1 \downarrow F_2)$ の 2 つの対象 $(C_1, f, C_2)$, $(C_1', f', C_2')$ に対して, $\Ms{C}_1$ の射 $h : C_1 \rightarrow C_1'$ と $\Ms{C}_2$ の射 $k : C_2 \rightarrow C_2'$ の組 $(h, k)$ で, 図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
F_1 C_1 \ar[d]_{f} \ar[r]^{F_1 h} & F_1 C_1' \ar[d]^{f'} \\
F_2 C_2 \ar[r]_{F_2 k} & F_2 C_2'
}
\end{equation*} を可換にするものを $(F_1 \downarrow F_2)$ の射 $(h, k) : (C_1, f, C_2) \rightarrow (C_1', f', C_2')$ と定義する.
特に, 対象 $C_2 \in \Ob{\Ms{C}_2}$ を固定したとき, 関手 $F_1$ と, $C_2$ を唯一の対象, $\Id{C_2} : C_2 \rightarrow C_2$ を唯一の射とする圏上の恒等関手から構成されるコンマ圏を $(F_1 \downarrow C_2)$ と表わす. 対象 $C_1 \in \Ob{\Ms{C}_1}$ と関手 $F_2$ からなるコンマ圏 $(C_1 \downarrow F_2)$ も同様に定義される.
対象毎の Kan 拡張: 証明の概要.$\,$ 圏 $\Ms{C}$ の任意の対象 $C$ と関手 $F : \Ms{D} \rightarrow \Ms{C}$ からなるコンマ圏 $(F \downarrow C)$ を考える. 各対象 $(D, g, C) \in \Ob{\CommaCat{F}{C}}$ と射 $(h, \Id{C}) : (D, g, C) \rightarrow (D', g', C)$ に対して, 射影関手 $p_C : \CommaCat{F}{C} \rightarrow \Ms{D}$ が
\begin{align*}
p_C(D, g, C) &= D, \\
p_C(h, \Id{C}) &= (h : D \rightarrow D')
\end{align*} によって定まる.
射影 $p_C : \CommaCat{F}{C} \rightarrow \Ms{D}$ と関手 $T : \Ms{D} \rightarrow \Ms{A}$ の合成関手 $T \circ p_C : \CommaCat{F}{C} \rightarrow \Ms{A}$ を考える.
$T \circ p_C$ はコンマ圏 $\CommaCat{F}{C}$ を添え字グラフとする $\Ms{A}$ 内の図式である. $\Ms{D}$ が小さい圏であることと $\Ms{A}$ が余完備であることより, $T \circ p_C$ の余極限が存在する. そこで,
\begin{equation*}
LF(T)(C) = \Colim\, (T \circ p_C)
\end{equation*} とおく. 余極限の定義より, これに関して普遍的な可換余錐 (commutative cocone)
\begin{equation*}
l_C : T \circ p_C \longrightarrow LF(T)(C)
\end{equation*} が一意的に定まる.
各対象 $C$ 毎に $LF(T)(C)$ が定義されたので, 次にこれらの間の射を定義する.
$\Ms{C}$ の任意の射 $f : C \rightarrow C'$ に対して, 写像 $\varphi(f) : \CommaCat{F}{C} \rightarrow \CommaCat{F}{C'}$ を
\begin{equation*}
\varphi(f)(D, g, C) = (D, f \circ g, C') \quad ((D, g, C) \in \Ob{\CommaCat{F}{C}})
\end{equation*} と定義する.
$\varphi(f)$ は関手となる. また, 射影 $p_C$, $p_{C'}$ との間に
\begin{equation*}
p_{C'} \circ \varphi(f) = p_C
\end{equation*} という関係が成り立つ.
このことから図式 $T \circ p_C$ に対する可換余錐 $l_{C'}(\varphi(f)(-)) : T \circ p_C \rightarrow LF(T)(C')$ が導かれるが, $LF(T)(C)$ の普遍性により $\Ms{A}$ の射 $LF(T)(f) : LF(T)(C) \rightarrow LF(T)(C')$ で図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
T \circ p_C(-) \ar[dr]_{l_{C'}(\varphi(f)(-))} \ar[r]^{l_C(-)} & LF(T)(C) \ar[d]^{LF(T)(f)} \\
& LF(T)(C')
}
\end{equation*} を可換にするものが一意的に存在する. これで $\Ms{C}$ の射 $f$ に対する $\Ms{A}$ の射 $LF(T)(f)$ が定義される.
次に関手間の変換 $\eta : T \rightarrow LF(T) \circ F$ を, 各 $D \in \Ob{\Ms{D}}$ に対して
\begin{equation*}
\eta D = l_{FD}(D, \Id{FD}, FD) : T \circ p_{FD}(D, \Id{FD}, FD) = TD \longrightarrow LF(T)(FD)
\end{equation*} と定義する. この $\eta$ は, 任意の射 $u : D \rightarrow D'$ に対して図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=100pt {
T \circ p_{FD}(D, \Id{FD}, FD) = TD \ar[d]_{Tu} \ar[r]^{\eta D = l_{FD}(D, \Id{FD}, FD)} & LF(T)(FD) \ar[d]^{LF(T)(Fu)} \\
T \circ p_{FD'}(D', \Id{FD'}, FD') = TD' \ar[r]_{\eta D' = l_{FD'}(D', \Id{FD'}, FD')} & LF(T)(FD')
}
\end{equation*} を可換にする. つまり自然変換である.
このように定義された $LF(T)$ に関して, 任意の関手 $G : \Ms{C} \rightarrow \Ms{A}$ に対する
\begin{align*}
\Nat(LF(T), G) & \longrightarrow \Nat(T, G \circ F) \\
\lambda \hspace{10mm} & \longmapsto \hspace{5mm} \lambda F \circ \eta
\end{align*} という対応を考えると, これは $G$ に関して自然な全単射となることがわかる.
したがって $LF(T)$ は $T$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張である.
$LF(T)$ については,
\begin{equation*}
LF : \Func{\Ms{D}}{\Ms{A}} \longrightarrow \Func{\Ms{C}}{\Ms{A}}
\end{equation*} が関手になることもわかる.
左 Kan 拡張が存在する場合に, 関手圏における関手に対する左随伴関手を導く次の命題が成立する.
命題.$\,\Ms{A}$, $\Ms{C}$, $\Ms{D}$ を圏, $F : \Ms{D} \rightarrow \Ms{C}$ を関手とする. 任意の関手 $T : \Ms{D} \rightarrow \Ms{A}$ に対して, $T$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張 $LF(T) : \Ms{C} \rightarrow \Ms{A}$ が存在するならば, 関手
\begin{equation*}
\Func{F}{\Ms{A}} : \Func{\Ms{C}}{\Ms{A}} \longrightarrow \Func{\Ms{D}}{\Ms{A}}
\end{equation*} は左随伴関手を持つ.
右 Kan 拡張は次のように定義される.
定義.$\,$ 関手 $T : \Ms{D} \rightarrow \Ms{A}$ に対して $F$ に依存して定まる関手 $RT(F) : \Ms{C} \rightarrow \Ms{A}$ で, 任意の関手 $G : \Ms{C} \rightarrow \Ms{A}$ に関して自然な全単射
\begin{equation*}
\Nat(G \circ F, T) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \Nat(G, RF(T))
\end{equation*} が存在するとき, $RF(T)$ を $T$ の $F$ に沿った右 Kan 拡張 (right Kan extension) と呼ぶ.
右 Kan 拡張についても, 左 Kan 拡張と類似の議論によって上記と同様の結果を導くことができる.
Kan 拡張はその適用範囲が非常に広いようで, 米田の補題なども Kan 拡張を用いて説明ができるらしい.
現在の自分のテーマとして, 米田の補題の証明の見直しということを考えているが, その際に余力があれば Kan 拡張との関係も調べたい.
2018年04月03日
数学: Kan 拡張 〜 圏論の歴史
4 時起床.
数学の勉強をする.
ゴミ出しや洗濯, 洗濯物を干す作業を挟んで, 数学を続ける.
Kan 拡張の節を読み終わった. 深い概念だと思ったし, 今後も考え続けようと思った.
これで第一章は読み終えたが, 最後の節には圏論の歴史が書いてあって面白い.
圏論の発展
最初はサミュエル・アイレンベルグ (Samuel Eilenberg) とソーンダース・マックレーン (Saunders Mac Lane) によるホモロジーとコホモロジーの研究の中で, 自然変換の概念が発見されたことにより始まる.
自然変換を定義するためだけに関手の概念が発明され, 関手を定義するためには圏の概念が必要だった.
最初の大きな進展は 1950 年にマックレーンがデカルト積が普遍性の概念で説明できることを発見したこと.
これは後に加法圏として知られる概念となる.
マックレーンはさらにアーベル圏を定義しようとしたが, 完全には成功せず.
1957 年にグロタンディーク (Alexsandre Grothendieck) がアーベル圏の定義に成功し, ここから圏論は急速な発展の時代を迎える.
また, この頃から圏論が 実際の数学に役に立つことが認識されていく.
次の大きな進展はカン (Daniel Kan) による随伴関手の発見とその応用である.
この辺りまでが圏論のメインストリームの発展であり, その後, 研究の方向は大きく分けて主としてアーベル圏に関わる分野と, トポスやトリプル (モナドのこと) に関わる分野とに分裂した.
圏論においては, 集合における元 (element) を用いた議論を避ける傾向がある.
一方で慣れ親しんだ集合の元の概念を一般化して, 圏論においても集合論のように元を使った議論を行う流れもある.
ローヴェア (William Lawvere: 圏論の有名な研究者) による, 射と射の合成のみで数学の全体を書き直すというゴールが達成されたときに元は姿を消すだろう.
くたくたになったが, ひとまず区切りが付いた.
明日から新しい章を読む.
夕食は納豆と冷奴, 釜揚げしらすとご飯.
数学の勉強をする.
ゴミ出しや洗濯, 洗濯物を干す作業を挟んで, 数学を続ける.
Kan 拡張の節を読み終わった. 深い概念だと思ったし, 今後も考え続けようと思った.
これで第一章は読み終えたが, 最後の節には圏論の歴史が書いてあって面白い.
圏論の発展
最初はサミュエル・アイレンベルグ (Samuel Eilenberg) とソーンダース・マックレーン (Saunders Mac Lane) によるホモロジーとコホモロジーの研究の中で, 自然変換の概念が発見されたことにより始まる.
自然変換を定義するためだけに関手の概念が発明され, 関手を定義するためには圏の概念が必要だった.
最初の大きな進展は 1950 年にマックレーンがデカルト積が普遍性の概念で説明できることを発見したこと.
これは後に加法圏として知られる概念となる.
マックレーンはさらにアーベル圏を定義しようとしたが, 完全には成功せず.
1957 年にグロタンディーク (Alexsandre Grothendieck) がアーベル圏の定義に成功し, ここから圏論は急速な発展の時代を迎える.
また, この頃から圏論が 実際の数学に役に立つことが認識されていく.
次の大きな進展はカン (Daniel Kan) による随伴関手の発見とその応用である.
この辺りまでが圏論のメインストリームの発展であり, その後, 研究の方向は大きく分けて主としてアーベル圏に関わる分野と, トポスやトリプル (モナドのこと) に関わる分野とに分裂した.
圏論においては, 集合における元 (element) を用いた議論を避ける傾向がある.
一方で慣れ親しんだ集合の元の概念を一般化して, 圏論においても集合論のように元を使った議論を行う流れもある.
ローヴェア (William Lawvere: 圏論の有名な研究者) による, 射と射の合成のみで数学の全体を書き直すというゴールが達成されたときに元は姿を消すだろう.
くたくたになったが, ひとまず区切りが付いた.
明日から新しい章を読む.
夕食は納豆と冷奴, 釜揚げしらすとご飯.
2018年03月30日
数学を考える
2 時起床.
今日は夕方まで, 自分が作った数学のノート内のある記述を考えた.
左 Kan 拡張の構成を記述する中に, ある写像が自然変換になることを証明している部分がある.
ここはかなり考えてやっと証明ができた箇所なのだが, 時間が経って見直してみるとどうもすっきりとしない.
どこか間違っている, もしくは自明でない論理の飛躍があるのではないかと思う.
これを埋めないと先に進めない.
夕方になってやっと, 少なくとも途中の論理の記述に不足があることはわかってきた.
どうやってその不足を解消するかもぼんやりとだが思い描けた.
それを補ってもう一度見直しをしてみる.
ただ今日はくたくたになってしまってどうにも頭が回らないので明日.
集中して考えられる時間が随分長くなってきた. これは良いことだ.
シャワーを浴びて夕食をとる.
冷奴と納豆と豚丼.
豚肉は塩, 醤油と胡椒だけで味を付ける. 甘くしないのが好みなのだ.
今日は夕方まで, 自分が作った数学のノート内のある記述を考えた.
左 Kan 拡張の構成を記述する中に, ある写像が自然変換になることを証明している部分がある.
ここはかなり考えてやっと証明ができた箇所なのだが, 時間が経って見直してみるとどうもすっきりとしない.
どこか間違っている, もしくは自明でない論理の飛躍があるのではないかと思う.
これを埋めないと先に進めない.
夕方になってやっと, 少なくとも途中の論理の記述に不足があることはわかってきた.
どうやってその不足を解消するかもぼんやりとだが思い描けた.
それを補ってもう一度見直しをしてみる.
ただ今日はくたくたになってしまってどうにも頭が回らないので明日.
集中して考えられる時間が随分長くなってきた. これは良いことだ.
シャワーを浴びて夕食をとる.
冷奴と納豆と豚丼.
豚肉は塩, 醤油と胡椒だけで味を付ける. 甘くしないのが好みなのだ.
