60ばーばの手習い帳

　指数関数や三角関数は複雑で、そのままの形でだいたいの値を計算するのも大変です。そこで、計算しやすいｘのn乗の多項式に置き換えられないか、と考えられたのが、テイラー展開（０の周りで展開する特殊な場合がマクローリン展開）です。
　そんなことができるのかい、と思ってしまいますが、ｘの一次式で近似、二次の項を加え、三次の項を加え…と項を増やしていくことで、元の関数に近づけることができます。
　どんな関数でもテイラー展開できるわけではなく、条件もあります。条件にあてはまる関数なら、公式にあてはめて展開できます。

　関数ｆ(ｘ)をある点aで微分して、傾きを求めることをしました。こうして得られた接線はもとの関数を近似します。
　点aにおいては、ｆ'(ｘ)の値はｆ(ｘ)に一致します。が、点aから離れるにつれて、ｆ'(ｘ)の値はｆ(ｘ)と異なっていきます。もっとｆ'(ｘ)の値に近づこうと思ったら、直線から、２次関数の曲線、３次関数の曲線へ…にしていく必要があります。
　ｆ(ｘ)とｆ'(ｘ)の誤差が剰余項といわれる部分になります。二次、三次と近似する関数の次数が上がると、誤差は小さくなっていきます。

先に公式をあげてしまいましたが、基本は、微分と０の代入を繰り返して多項式の係数を求めることです。

テイラーの定理によって、剰余項は定数ｃを使って表されることがわかります。どんなに微分していっても、より小さいｃが存在します。
　ラグランジュが、テイラーが曖昧にしていた剰余項を、ｃを使って表せるようにしたので、この形をラグランジュの剰余項と言います。
　剰余項は、積分の形で表すなど表し方はほかにもあります。

　平均値の定理を再掲します。