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January 3, 2026
カテゴリ： ばーばの数学ノート
いよいよ「微分」に入ります。数学Ⅲのクライマックスにかかってきた気がします。
ｙ´＝f´（ｘ）はｙをｘで微分した関数。
ｙをｘで微分することをdy/dx（ディーワイ、ディーエックス）といいます。分数の形ですが、上から読みます。微分にはいくつかの表し方がありますが、dy/dxは後々合成関数などで用いるので覚えておきます。
ｙをuで微分するとdy/duのようになります。微分される/微分するの関係は、割られる数/割る数の分数と似ています。
数学Ⅱでは導関数の定義とべき関数の微分の公式を学習しました。和と差の形になった関数はそれぞれの項を微分して、和・差をとればいいのでした。たとえば 3ｘ² ＋ｘ を微分すると ６ｘ ＋１ でした。
数学Ⅲでは、さらに積（掛け算）の形、商（割り算）の形の微分を学習します。積と商は、各項を微分して単純にかける、割る計算では求められません。積は、 微分した関数 × 元の関数 ＋ 元の関数 × 微分した関数 を計算します。商はもっと複雑です。
複雑ではありますが、基本の導関数の定義に当てはめてみると証明できます。
数学Ⅱの「導関数」の定義から。導関数は、関数上の各点の微分係数の集合を関数として表したものです。
べき乗の微分（指数が自然数→整数→有理数）公式です。指数が無理数であっても（実数全体にあっても）成り立つそうですが、高校段階の数学では証明が困難です。
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