60ばーばの手習い帳

　高校数学では、実数は「数直線上に隙間なく並んだ数」「すべての無限小数（整数を含む有限小数＋循環小数＋循環しない無限小数）」と定義されました。
　厳密な定義はいくつかありますが、同義です。その１つ、実数の連続性公理をあげてみます。

　実数は①順序体であって（数の順序＝大小が決まっていて、四則演算が実数内でできる）②空でない（元がある）上に有界な部分集合が上限を持つ（連続性がある）と定義されます。
　「有界」や「有限」という言葉は日常で使う意味から想像すると「？？」なので、次回にまた見てみます。


　有理数、無理数とも数の大きさの順番が決まっているので、数直線上に順番で並べられます。有理数だけでは埋まらない数の隙間を無理数が埋めています。有理数も順序体ですが、連続性を持ちません。

　有理数にはない 「連続性」を持つ順序体 というのが実数の定義になります。

　実数の不思議に、１＝0.9999999…（９が無限に続く）があります。
　０の方向から無限に１に近づくとき0.9→0.99→0.999→0.99999999…となり、２から１の向きに限りなく近づくとき1.000…１→1.0という数が現れます。左右で記述法は違うけれど、同じ数です。

1だけでなく、整数を含む有限小数は全て2通りの記述法を持ちます。0.827＝0.826999999…などなど。無限の世界では、 有限の世界のルールがそのままでは通じないことも多々あります。