3 時半起床.
数学の計算をする. ずっと停滞していた計算が突然進んで一気に解けた. 多分...
鋭い喜びと興奮で薔薇色に包まれる. 嬉しくて飛び跳ねたい気分.
明日, 慎重に時間をかけて検算しよう. やっぱり間違っていたということもままあるから.
お昼はカップ麺で済ます. トムヤムクン味のカップヌードル. 昨年からコンビニで見かけるようになった商品だが, 試しに食べて以来この味にはまった.
2016年01月01日
2015年12月30日
数学: 基本群の定義
5 時起床.
まだ外は暗いが珍しく鬱も不安もほとんど無い.
おととい役所で順番待ちをしているときにしていた計算の続きをする.
一連の計算は, もうひと月近く躓いているような気がする. やっていることはおそらく代数的トポロジーの初歩. 自分には代数的トポロジーの素養が無いために基本から勉強する必要があり大変だったが, 面白いので冬休みの自由研究のつもりでやっている.
$X$ を弧状連結な位相空間とし, $X$ の基本群 $\pi_1(X)$ を定義する.
通常はまず点付き位相空間 $(X, x_0) (x_0 \in X)$ に対する基本群 $\pi_1(X, x_0)$ を定義し, その後 $\pi_1(X, x_0)$ が $X$ の点 $x_0$ の取り方によらず常に同型になることを導く. これにより, $\pi_1(X, x_0)$ を単に $\pi_1(X)$ と記し $X$ の基本群と呼ぶ.
つまり $\pi_1(X)$ を実際に取り扱う場合には点付き位相空間に対するある基本群 $\pi_1(X, x_0)$ を扱う.
これをもう少しすっきりとできないかと考えた. $I$ を閉区間 $[0, 1]$ としたとき $X$ 上のループ空間 $\Omega(X)$ を
$\Omega(X) = \{ \alpha \bigm| \alpha : I \rightarrow X$ かつ $\alpha$ は連続写像であり $\alpha(0) = \alpha(1)$ が成り立つ. $\}$
と定義する. $\Omega(X)$ の元を $X$ 上のループと呼ぶ. $X$ 上の任意の 2 つのループ $\alpha_0, \alpha_1 \in \Omega(X)$ に対してある連続写像 $F : I \times I \rightarrow X$ で
$F(t, 0) = \alpha_0(t)$, $F(t, 1) = \alpha_1(t)$,
$F(0, u) = F(1, u)$ (すなわち $u \in I$ を任意に固定したとき, $F(t, u) \in \Omega(X) (t \in I)$ となる)
を満たすものを $\Omega(X)$ におけるループ $\alpha_0$ からループ $\alpha_1$ へのホモトピーと呼び, これを
$\alpha_0$ $〈homotopy/\Omega(X)〉$ $\alpha_1$
と表わすことにする. $〈homotopy/\Omega(X)〉$ は $\Omega(X)$ 上の同値関係になる.
ここで, $X$ に対する基本群を $\Omega(X)$ の同値関係 $〈homotopy/\Omega(X)〉$ による商空間
$\pi_1(X) = \Omega(X)\big/〈homotopy/\Omega(X)〉$
として定義したい. この場合, 点付き位相空間から定義した基本群 $\pi_1(X, x_0)$ との関係, $\pi_1(X)$ 上にどうやって群の構造を定めるかなどについていろいろとあまりきれいではない計算をする必要が出てくる. そういう意味で, 点付き位相空間から定義した基本群 $\pi_1(X, x_0)$ の群構造のみに注目して $\pi_1(X)$ と記すやり方にはそれなりの理由があると思える.
ただ, 自分が勝手にやっている自由研究なので, 実際にその計算の "きたなさ" を体験してみたいと思うのだ.
まだ外は暗いが珍しく鬱も不安もほとんど無い.
おととい役所で順番待ちをしているときにしていた計算の続きをする.
一連の計算は, もうひと月近く躓いているような気がする. やっていることはおそらく代数的トポロジーの初歩. 自分には代数的トポロジーの素養が無いために基本から勉強する必要があり大変だったが, 面白いので冬休みの自由研究のつもりでやっている.
$X$ を弧状連結な位相空間とし, $X$ の基本群 $\pi_1(X)$ を定義する.
通常はまず点付き位相空間 $(X, x_0) (x_0 \in X)$ に対する基本群 $\pi_1(X, x_0)$ を定義し, その後 $\pi_1(X, x_0)$ が $X$ の点 $x_0$ の取り方によらず常に同型になることを導く. これにより, $\pi_1(X, x_0)$ を単に $\pi_1(X)$ と記し $X$ の基本群と呼ぶ.
つまり $\pi_1(X)$ を実際に取り扱う場合には点付き位相空間に対するある基本群 $\pi_1(X, x_0)$ を扱う.
これをもう少しすっきりとできないかと考えた. $I$ を閉区間 $[0, 1]$ としたとき $X$ 上のループ空間 $\Omega(X)$ を
$\Omega(X) = \{ \alpha \bigm| \alpha : I \rightarrow X$ かつ $\alpha$ は連続写像であり $\alpha(0) = \alpha(1)$ が成り立つ. $\}$
と定義する. $\Omega(X)$ の元を $X$ 上のループと呼ぶ. $X$ 上の任意の 2 つのループ $\alpha_0, \alpha_1 \in \Omega(X)$ に対してある連続写像 $F : I \times I \rightarrow X$ で
$F(t, 0) = \alpha_0(t)$, $F(t, 1) = \alpha_1(t)$,
$F(0, u) = F(1, u)$ (すなわち $u \in I$ を任意に固定したとき, $F(t, u) \in \Omega(X) (t \in I)$ となる)
を満たすものを $\Omega(X)$ におけるループ $\alpha_0$ からループ $\alpha_1$ へのホモトピーと呼び, これを
$\alpha_0$ $〈homotopy/\Omega(X)〉$ $\alpha_1$
と表わすことにする. $〈homotopy/\Omega(X)〉$ は $\Omega(X)$ 上の同値関係になる.
ここで, $X$ に対する基本群を $\Omega(X)$ の同値関係 $〈homotopy/\Omega(X)〉$ による商空間
$\pi_1(X) = \Omega(X)\big/〈homotopy/\Omega(X)〉$
として定義したい. この場合, 点付き位相空間から定義した基本群 $\pi_1(X, x_0)$ との関係, $\pi_1(X)$ 上にどうやって群の構造を定めるかなどについていろいろとあまりきれいではない計算をする必要が出てくる. そういう意味で, 点付き位相空間から定義した基本群 $\pi_1(X, x_0)$ の群構造のみに注目して $\pi_1(X)$ と記すやり方にはそれなりの理由があると思える.
ただ, 自分が勝手にやっている自由研究なので, 実際にその計算の "きたなさ" を体験してみたいと思うのだ.
2015年12月16日
数学: 基本群の定義を考える
朝を酒無しで乗り切ったせいか, いろいろ考えることができる.
ずっと躓いている基本群の定義を考えてみる.
$X$ を弧状連結な位相空間とし, $x_0 \in X$ としたとき, 点付き位相空間 $(X, x_0)$ における $x_0$ を基点としたループのホモトピー類の全体は群をなす. この群を $\pi_1(X, x_0)$ と記し $(X, x_0)$ の基本群と呼ぶ.
このとき, $x_0$ の取り方によらず $\pi_1(X, x_0)$ は群として同型になるため, 単に $\pi_1(X)$ と書き $X$ の基本群と呼ぶ.
この定義が基点 $x_0$ に依存しているところが今一つきれいではないと思えたので, 基点に依存しない基本群の定義ができないかとあれこれ考えている.
しかし予想外に計算がややこしくなるし, 基点に依存しない代わりに $X$ の任意の 2 点を結ぶ道に依存してしまうので, そんなにきれいな定義はできなさそうなのである.
いずれにしても計算だけはやってみないとどうなるのかはわからない.
ずっと躓いている基本群の定義を考えてみる.
$X$ を弧状連結な位相空間とし, $x_0 \in X$ としたとき, 点付き位相空間 $(X, x_0)$ における $x_0$ を基点としたループのホモトピー類の全体は群をなす. この群を $\pi_1(X, x_0)$ と記し $(X, x_0)$ の基本群と呼ぶ.
このとき, $x_0$ の取り方によらず $\pi_1(X, x_0)$ は群として同型になるため, 単に $\pi_1(X)$ と書き $X$ の基本群と呼ぶ.
この定義が基点 $x_0$ に依存しているところが今一つきれいではないと思えたので, 基点に依存しない基本群の定義ができないかとあれこれ考えている.
しかし予想外に計算がややこしくなるし, 基点に依存しない代わりに $X$ の任意の 2 点を結ぶ道に依存してしまうので, そんなにきれいな定義はできなさそうなのである.
いずれにしても計算だけはやってみないとどうなるのかはわからない.
2015年11月26日
自然変換の例: Hurewicz 変換へ
クリニックの待合室で数学をやる. 大抵いつも診察まで 2, 3 時間待つのでまとまった時間が取れる. 基本群の定義に伴うホモトピーの計算をする. 他人の視線への恐怖や集団の中での不安をこの時だけ忘れられる.
2015年11月20日
2015年11月19日
数学
3 時起床.
目覚めてからの不安・動悸が治まるまで 1 時間ちょっとかかった.
多少楽になったので数学をやる.
自然変換の例. Hurewicz 変換の理解.
基本群の定義で足踏み.
目覚めてからの不安・動悸が治まるまで 1 時間ちょっとかかった.
多少楽になったので数学をやる.
自然変換の例. Hurewicz 変換の理解.
基本群の定義で足踏み.
タグ： 数学 圏論 自然変換
2015年11月13日
数学
入院中, 学生時代に買った本をあらためて読み始める. プログラミングを基礎から考えてみたかった.
"Toposes, Triples and Theories" という圏論の本. 書いた人は Michael Barr, Charles Wells. 現在ではネットで無料で入手できるみたい.
今読んでいるところは自然変換についての節, 自然変換の例としての Hurewicz 変換.
"Toposes, Triples and Theories" という圏論の本. 書いた人は Michael Barr, Charles Wells. 現在ではネットで無料で入手できるみたい.
今読んでいるところは自然変換についての節, 自然変換の例としての Hurewicz 変換.
