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May 9, 2024
カテゴリ： ばーばの数学ノート
指数が自然数であるべき乗の微分公式は、二項定理によって証明されます。
指数が０やマイナスの整数になると二項定理は使えません。ｎが０の場合はｘ⁰＝１なので（０乗すると全ての数は１になる）その微分は定数の微分なので０です。べき乗の微分公式に０を代入しても成り立ちます。
ｎ（負の整数）を－ｍ（ｍは自然数）と置き換えて、商の微分公式を使うことで、負の整数が指数になっても、べき乗の微分公式が使えることがわかります。
指数が有理数であってもべき乗の公式が使えます。難しいのですが、有理数は分数で表せること、合成関数の定理を使って証明できます。
実は、実数全体について、べき乗の公式が使えるのですが、頭がついていけないので、もっと勉強してから考えることにします。
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Last updated
May 9, 2024 12:00:26 AM コメントを書く
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