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July 30, 2026
カテゴリ： ばーばの数学ノート
「実数の定義」に、「有界」「上限」という用語が出てきました。
実数の集合において「 上に有界 である」とは、 ある数を超えて大きくならない 、 ある数で上から抑えられる ことです。「 下に有界 」は、 下で抑えられて、ある数を超えて小さくならない こと。ただ「有界」というと、上にも下にも抑える数があることになります。
「上に有界」な実数の部分集合の上端が含まれないときは、最大値はないことになります。「３より小さい」集合だと3を含まず、2.99→2.99999→など３に近い最大の数はいくらでもとれます。最大値に代わって部分集合に 含まれなくても 、部分集合内の元を上から抑える「上限」を定義します。
最大値は必ず「上限」になります。 上限以上の数はすべて「上界」 です。上界の最小値が上限ということになります。「下界（かかい）」も同じ考えです。
「実数の部分集合Aが上に有界ならば、必ず上限が実数上に存在する」ことは、有理数だけの集合では言えないことで、「実数の定義」そのものです。
たとえば、有理数集合の部分集合Aが「ｘ²≦３になるようなｘ」の集合であるとき、ｘの上限は無理数（√３）なので、有理数の集合には存在しません。
「上限」は数列、関数についても同じように定義されます。次回は数列を見ていきます。
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