60ばーばの手習い帳

実数の絶対値も複素数の絶対値も「原点からの距離」です。「負の数は－の符号をとって…」などと覚えていると躓きます。
　距離なので当然０以上の数になり、絶対値が０になるのは、元の数が０のときだけです。複素数の絶対値は三平方の定理から計算できます。

　絶対値の三角不等式はよく応用されます。|a＋ｂ|≦|a|＋|ｂ|は、複素数でも成り立ちます。
　実数の絶対値の性質は、複素数でも変わらないものが多いのですが、|α|²＝α²は実数でしか成り立ちません。虚数の場合は、|α|²＝α・αバーです。
　α＝a＋ｂiとするとα²＝(a＋ｂi)²＝a²＋２abi－ｂ²、|α|²＝a²＋ｂ²なので、|α|²≠α²です。

　複素数を複素数平面上に表す方法はもう１つあります。原点からの距離とx軸から＋方向にとった角度で位置を決める方法です。極形式といいます。

　原点からの距離は、その複素数の絶対値です。x軸との角度は偏角と言います。偏角は２π（＝360°）の周期でいくらでも同じ角度が考えられます。30°と390°、750°…、または－330°は見かけ上同じ角度になります。　
　そこで、０≦θ≦2πのように偏角θの範囲を制限して、代表的な角度を使うように定めます。

　極形式で、複素数α＝ｒ(cosθ＋isinθ)と表せます。オイラーの公式の右辺は、ｒ＝１、つまり絶対値が１の複素数を表します。