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April 3, 2022
カテゴリ： ばーばの数学ノート
べき乗は、指数が自然数の範囲では累乗と言われるもので、自然数から整数、有理数にまで拡張されてきました。
自然数の世界での常識は通用しませんが、有理数全体のべき乗も、自然数のべき乗の定義を壊さないように、指数法則が成り立つように定義されています。
同じく、有理数から実数に指数が広がります。
指数が無理数のべき乗は定義からして難しくなってきます。「限りなく近い有理数のべき乗を近似値とする」というような定義（厳密には数Ⅲ以上の学習が必要なので明言できません）です。実数全体についてべき乗が定義されて、関数が成り立つ（数が有理数だけだとスカスカでになります）ことが必要なことからきた定義です。
指数と対になるのが対数です。「プラチナチケットを贈ったら彼女が大感激した」ことと「彼女が大感激したのは、プラチナチケットを贈ったからなんだ」というのは言い方は違いますが事実としては同じことです。（ニュアンスが若干違う気もしますが）
指数と対数も言い方を変えただけで同じことを言っています。対数は「プラチナチケット」を求める、じゃなかった「何乗したら？」を求める形の式です。
指数関数と対数関数のグラフです。実数の範囲までべき乗を定義したため、グラフがかけるようになりました。
「指数関数的な勢いで増加する」「指数関数的な成長」などと聞いたら、１＜ａのときの指数関数グラフを思い浮かべると意味が分かります。急激に伸びていくグラフです。
底がｅの対数は、数Ⅲになってから出てくるので文系おばばには無縁でした。次はeを訪ねてみます。
自然数の世界での常識は通用しませんが、有理数全体のべき乗も、自然数のべき乗の定義を壊さないように、指数法則が成り立つように定義されています。
同じく、有理数から実数に指数が広がります。
指数が無理数のべき乗は定義からして難しくなってきます。「限りなく近い有理数のべき乗を近似値とする」というような定義（厳密には数Ⅲ以上の学習が必要なので明言できません）です。実数全体についてべき乗が定義されて、関数が成り立つ（数が有理数だけだとスカスカでになります）ことが必要なことからきた定義です。
指数と対になるのが対数です。「プラチナチケットを贈ったら彼女が大感激した」ことと「彼女が大感激したのは、プラチナチケットを贈ったからなんだ」というのは言い方は違いますが事実としては同じことです。（ニュアンスが若干違う気もしますが）
指数と対数も言い方を変えただけで同じことを言っています。対数は「プラチナチケット」を求める、じゃなかった「何乗したら？」を求める形の式です。
指数関数と対数関数のグラフです。実数の範囲までべき乗を定義したため、グラフがかけるようになりました。
「指数関数的な勢いで増加する」「指数関数的な成長」などと聞いたら、１＜ａのときの指数関数グラフを思い浮かべると意味が分かります。急激に伸びていくグラフです。
底がｅの対数は、数Ⅲになってから出てくるので文系おばばには無縁でした。次はeを訪ねてみます。
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