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ブルーピー
介護保険の被保険者になりました。少しだけ仕事、少しだけ勉強、少しだけお出かけ、一番好きなのは家でごろごろです。
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November 11, 2023
カテゴリ： ばーばの数学ノート
人生で1番初めに必要になる割り算が「分け算」、兄弟や友だちとおやつを同じ数ずつ分けることができないと困る!これが割り算の原点だったと思います。
次に行き着く問題が、たとえば薬を買うときに「この1箱で何日分になるか？足りるかな？」「夏休みの宿題ドリルが計90Pあるんだけれど1日何Pやれば終わるかな？」（もっとも、この計算はやっても無駄なことが多い。その通りに実行しないから。）
つまり、同じ数ずつ分割すると「いくつ分？」何回分？や、どのくらいずつ？を考える計算の割り算です。
3番目は比べる計算。これは「比」の形のほうがわかりやすいかもしれません。「割り算」の答は「分数（整数も含む）」になり、「比（の値）」になります。
歴史的に、分数が考え出された経緯は、整数だけだと割り算ができなかったから。
０と負の整数があれば、加法・減法・乗法までは問題ないのに、除法は割りきれなくて答が出なくなってしまいました。そこで登場したのが分数。割り算の答えをｂ/aとそのまま書いた数です。
これで、有理数内の四則演算が可能になりました。
小学校では、分子が分母より大きい分数として、仮分数と帯分数を習います。帯分数は、５と2/３のように整数と分数の部分を分けて表します。5より大きく6より小さい数だとすぐわかるのは便利ですが、中学校以降使うことはありません。
表し方は違いますが、比も割り算、分数とつながっています。
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割り算と余り。
安藤商会 さん
こんにちは。
割り算は難しいですよね。
特に『整数問題』は「余り」が重要になりますが、分数を習ってからは「余り」の概念を事を忘れてしまいまからね。
基本的に「高校数学の整数問題(剰余)」などは「割り算=分数」という感覚に慣れていると、なかなか問題の核心が掴みにくいです。
私自身は、整数問題は「割り算は、連続した引き算」という見地に立ってから、ようやく解けるようになりました。
つまり「13÷4=13/4」ではなく「13から4は何回引けるか？」という見方ですね。
これは分数の割り算にも通用する考え方ですね。
「1/3 ÷ 1/9 」は「1/3から1/9は何回引けるのか？」を考えると、約分すると与式は「3/9 ÷ 1/9 」なので、3/9から1/9は３回引けるので答えは「3」となります。
「分数の割り算はひっくり返して掛ける」という教え方で納得できない方には、はじめは「引き算」で考えた方が分かりやすいのかもしれません。 (November 11, 2023 09:31:41 AM)
割り算は難しいですよね。
特に『整数問題』は「余り」が重要になりますが、分数を習ってからは「余り」の概念を事を忘れてしまいまからね。
基本的に「高校数学の整数問題(剰余)」などは「割り算=分数」という感覚に慣れていると、なかなか問題の核心が掴みにくいです。
私自身は、整数問題は「割り算は、連続した引き算」という見地に立ってから、ようやく解けるようになりました。
つまり「13÷4=13/4」ではなく「13から4は何回引けるか？」という見方ですね。
これは分数の割り算にも通用する考え方ですね。
「1/3 ÷ 1/9 」は「1/3から1/9は何回引けるのか？」を考えると、約分すると与式は「3/9 ÷ 1/9 」なので、3/9から1/9は３回引けるので答えは「3」となります。
「分数の割り算はひっくり返して掛ける」という教え方で納得できない方には、はじめは「引き算」で考えた方が分かりやすいのかもしれません。 (November 11, 2023 09:31:41 AM)
Re:÷●割り算と分数●÷(11/11)
ブルーピー
さん
四則演算の中でも割り算は一番面倒ですね。苦手です。
ですが、余りが出る分数の割り算は、いくつ引ける？は複雑ですね。3で割ることは、3つに分けること、つまり3分の1にすることですから、逆数をかけることと、単純に理解しています。
高校段階で習わないmotの考え方が身についていらっしゃる安藤商会さん、すごいです。 (November 11, 2023 04:00:32 PM)
ですが、余りが出る分数の割り算は、いくつ引ける？は複雑ですね。3で割ることは、3つに分けること、つまり3分の1にすることですから、逆数をかけることと、単純に理解しています。
高校段階で習わないmotの考え方が身についていらっしゃる安藤商会さん、すごいです。 (November 11, 2023 04:00:32 PM)
Re:割り算と余り。(11/11)
ブルーピー
さん
安藤商会さんへ
ごめんなさい。読み直してみたら、自分のコメントの内容が、すごく変でした。
分数についても、「いくつ分」で引き算で考えるという切り口、新鮮でした！
でも、私には、通分するのが難しかったです。
分数については、ストレートに逆数をかけるというのがわかりやすかったです。
１／３÷１／９だったら、1＝１／９の９こ分＝１／９×９、で、１／３はその１／３なので、９の１／３こ分で３という考え方です。
結果として１／３÷１／９＝１／３×９という式になります。
整数の余りに注目して、余りによって大きな数の計算を簡単にできるのがmod（すみません、motではなくてmodでした）と言う考えだそうです。難しくて内容は私にはわかりませんが、整数の割り算の余りに注目するところ、すごいと思いました。
たとえば7の555乗の1の位はいくつか、なんていう問題を解く時に使うようです。1の位の数は10で割った余りなので、そこから求めるんだそうです。（解き方は難しくてわかりません）
確かに、割り算＝分数だけではなく、余りを考えるのも大事ですね。 (November 11, 2023 08:32:05 PM)
ごめんなさい。読み直してみたら、自分のコメントの内容が、すごく変でした。
分数についても、「いくつ分」で引き算で考えるという切り口、新鮮でした！
でも、私には、通分するのが難しかったです。
分数については、ストレートに逆数をかけるというのがわかりやすかったです。
１／３÷１／９だったら、1＝１／９の９こ分＝１／９×９、で、１／３はその１／３なので、９の１／３こ分で３という考え方です。
結果として１／３÷１／９＝１／３×９という式になります。
整数の余りに注目して、余りによって大きな数の計算を簡単にできるのがmod（すみません、motではなくてmodでした）と言う考えだそうです。難しくて内容は私にはわかりませんが、整数の割り算の余りに注目するところ、すごいと思いました。
たとえば7の555乗の1の位はいくつか、なんていう問題を解く時に使うようです。1の位の数は10で割った余りなので、そこから求めるんだそうです。（解き方は難しくてわかりません）
確かに、割り算＝分数だけではなく、余りを考えるのも大事ですね。 (November 11, 2023 08:32:05 PM)
ある数のべき乗の一桁目。
安藤商会 さん
こんにちは。
mod(ﾓｯﾄﾞ)の計算は私もできませんね。
できると整数問題を解くのに便利なようですが、高校では習わないようです。
私は元もと高校には行ってませんので、何処までが高校数学の範囲か分かります。
もっと言えば、高校の授業ではどんな科目を習うのかも知りませんね。
何となく中学と同じ科目は習うだろうなとは思いますが…。
コメントの返信に書かれていた『7の555乗の一桁目の数は？』等の問題は『mod』を使えば直ぐに算出できるのかも知れませんが、普通に考えてもそれほど難しい問題では無いですね。
7のべき乗の値の一桁目は、「7，9，3，1，7，9，3，1，…」と4種の数の循環です。
555を4で割ると「138余り3」になりますので、一桁目が「7，9，3，1」の値が138回繰り返した後の3番目の数字なので「3」です。
よって『7の555乗の一桁目は3』ですね。『整数問題』は有明私立中学の入試では、定番で出題されるようですね。
難しい公式など知らなくても、思考力で解けるからでしょうね。
実際には、中学生どころか高校性でも解けない問題が、中学入試で出題されています。
『1から2023(その年の西暦)を全てかけたら、１の位から数えて０はいくつ並ぶか？』
など…(汗) (November 16, 2023 12:12:33 AM)
mod(ﾓｯﾄﾞ)の計算は私もできませんね。
できると整数問題を解くのに便利なようですが、高校では習わないようです。
私は元もと高校には行ってませんので、何処までが高校数学の範囲か分かります。
もっと言えば、高校の授業ではどんな科目を習うのかも知りませんね。
何となく中学と同じ科目は習うだろうなとは思いますが…。
コメントの返信に書かれていた『7の555乗の一桁目の数は？』等の問題は『mod』を使えば直ぐに算出できるのかも知れませんが、普通に考えてもそれほど難しい問題では無いですね。
7のべき乗の値の一桁目は、「7，9，3，1，7，9，3，1，…」と4種の数の循環です。
555を4で割ると「138余り3」になりますので、一桁目が「7，9，3，1」の値が138回繰り返した後の3番目の数字なので「3」です。
よって『7の555乗の一桁目は3』ですね。『整数問題』は有明私立中学の入試では、定番で出題されるようですね。
難しい公式など知らなくても、思考力で解けるからでしょうね。
実際には、中学生どころか高校性でも解けない問題が、中学入試で出題されています。
『1から2023(その年の西暦)を全てかけたら、１の位から数えて０はいくつ並ぶか？』
など…(汗) (November 16, 2023 12:12:33 AM)
Re:ある数のべき乗の一桁目
ブルーピー
さん
安藤商会さんへ
いつもコメントありがとうございます。
整数の割り算の余りって応用が広いんですね。目から鱗です。
中学校の入試問題どころか、小学校の入試問題も私には難問です。
高校数学の一部（文系だったので）だけは習ったのですが、生活でも仕事でも使わないうちに時間が過ぎて、今は忘却の彼方にあります。
本当は、数学の考え方こそが大事だったんだろうと思いますが、学生時代は上っ面の問題だけ解ければいいと思っていました。学歴ってなんでしょうかね。
知識は、自分が必要になったとき、勉強したいと思ったときに初めて身につくものですね。目標をもって学習されている方々には敬意しかないです。
常用漢字を身につけるべく、漢字検定2級の問題集と格闘しました。憶える速度＝忘れる速度で笑ってしましますが、ぼけ防止です。
準１級は20～30％しかわかりませんが、辞書を引きながら格闘中。こちらは憶える速度＜忘れる速度で、もっとお笑いです。 (November 16, 2023 12:28:55 PM)
いつもコメントありがとうございます。
整数の割り算の余りって応用が広いんですね。目から鱗です。
中学校の入試問題どころか、小学校の入試問題も私には難問です。
高校数学の一部（文系だったので）だけは習ったのですが、生活でも仕事でも使わないうちに時間が過ぎて、今は忘却の彼方にあります。
本当は、数学の考え方こそが大事だったんだろうと思いますが、学生時代は上っ面の問題だけ解ければいいと思っていました。学歴ってなんでしょうかね。
知識は、自分が必要になったとき、勉強したいと思ったときに初めて身につくものですね。目標をもって学習されている方々には敬意しかないです。
常用漢字を身につけるべく、漢字検定2級の問題集と格闘しました。憶える速度＝忘れる速度で笑ってしましますが、ぼけ防止です。
準１級は20～30％しかわかりませんが、辞書を引きながら格闘中。こちらは憶える速度＜忘れる速度で、もっとお笑いです。 (November 16, 2023 12:28:55 PM)
「分かる」という勘違い。
安藤商会 さん
ブルーピーさんへ
６０代で数検を続けている『時空解』さんが、本日(２０２３．１１．１６)のブログでこんな事を書いておりました。
『問題を解くことは大切…わかった気でいるが、実はわかってないことに気が付く』
https://existence-scholar.com/modules/d3diary/index.php?page=detail&bid=2843&req_uid=1
「分かる」と「解ける」は違うとは、学習の場では良く聞く言葉です。
数学では「解法だけを暗記して解けたって、意味を理解できてないとダメ」といった方針で指導される方も多いと思います。
このような方針には、私的に異論がありますね。
たくさんの科目を学んでいる学生や、仕事をしながら資格等の学習をしている社会人にとっては、とりあえず目の前の出題が『解ける』というのが最優先だと思います。
順序的には「分かる→解ける」と言うのが一般的な見解でしょうが、現実的には「解ける→分かる」もしくは「解ける→分からない」の方が多いと思います。
「分かる」というのは、自分だけの「曖昧な感覚」だと思います。
ですが「解ける」というのは正解を出す事が出来るのか否か、第三者にも判定可能な状態ですからね。
日常会話でも「うんうん。そうだよねー。分かるっ！分かるわーっ！」とよく言ってる人が居ます。
本当に分かっているのでしょうか疑問になる事もありますからね。
ただ単に「話を合わせているだけ…」の場合も多いですし。
私は、数学の学習に関しては「なぜこのような方法で解けるのか？」という事は後回しと考えております。
独学でテキストなどを読み進めて行くと「分かる分かる」という感覚に陥り易いのです。
実際に問題を解いてみてはじめて「何にも理解できてない…」という事が明らかになります。
特に現代は「情報過多」の時代です。
何にも出来ないクセに、情報から得た知識だけで「高尚な理屈」ばかりを語っている輩も少なくないです。
自分も「そんな連中の中の１人」にはなりたくないという気持ちもあり「分かる」よりも「解ける」。
「知っている」よりも「できる」の方を優先するように心掛けています。 (November 16, 2023 02:26:28 PM)
６０代で数検を続けている『時空解』さんが、本日(２０２３．１１．１６)のブログでこんな事を書いておりました。
『問題を解くことは大切…わかった気でいるが、実はわかってないことに気が付く』
https://existence-scholar.com/modules/d3diary/index.php?page=detail&bid=2843&req_uid=1
「分かる」と「解ける」は違うとは、学習の場では良く聞く言葉です。
数学では「解法だけを暗記して解けたって、意味を理解できてないとダメ」といった方針で指導される方も多いと思います。
このような方針には、私的に異論がありますね。
たくさんの科目を学んでいる学生や、仕事をしながら資格等の学習をしている社会人にとっては、とりあえず目の前の出題が『解ける』というのが最優先だと思います。
順序的には「分かる→解ける」と言うのが一般的な見解でしょうが、現実的には「解ける→分かる」もしくは「解ける→分からない」の方が多いと思います。
「分かる」というのは、自分だけの「曖昧な感覚」だと思います。
ですが「解ける」というのは正解を出す事が出来るのか否か、第三者にも判定可能な状態ですからね。
日常会話でも「うんうん。そうだよねー。分かるっ！分かるわーっ！」とよく言ってる人が居ます。
本当に分かっているのでしょうか疑問になる事もありますからね。
ただ単に「話を合わせているだけ…」の場合も多いですし。
私は、数学の学習に関しては「なぜこのような方法で解けるのか？」という事は後回しと考えております。
独学でテキストなどを読み進めて行くと「分かる分かる」という感覚に陥り易いのです。
実際に問題を解いてみてはじめて「何にも理解できてない…」という事が明らかになります。
特に現代は「情報過多」の時代です。
何にも出来ないクセに、情報から得た知識だけで「高尚な理屈」ばかりを語っている輩も少なくないです。
自分も「そんな連中の中の１人」にはなりたくないという気持ちもあり「分かる」よりも「解ける」。
「知っている」よりも「できる」の方を優先するように心掛けています。 (November 16, 2023 02:26:28 PM)
Re:「分かる」という勘違い。(11/11)
ブルーピー
さん
安藤商会さんへ
私は高校生時代、問題を「解く」ことだけはできました。高校までの数学は「なぜそうなるんだろう」ということなど考えなくても、とりあえず解法をマスターしておけば、「解く」ことはできます。テストをやり過ごすこともできます。
何も「意味がわかって」などいなかった私でも単位はとれました。
「解く」ことしかしてこなかったのが、私の反省です。だから今は、「どうしてこうなるのか」「その意味」を考えることが勉強です。
多分「解く」より「意味がわかる」ことが大切なんて言われるのは、私みたいな輩に｢向けてでしょう。
国語については、漢字が苦手で「覚える」「問題を解く」ことから逃げてきたので、今更のように暗記し、問題を解いています。
ただ、並行して「どうしてこの漢字がこの意味で使われるようになったのか」という背景を知るのが面白くて勉強しています。
今は国語科でも、文学的な教材より情報的な文、実用的な作文や読解が重視されるそうです。
それでも、昔人間の私は、漱石や「枕草子」、大江健三郎を読んで、「わからなく」て、もがき続けようと思います。
オイラーの等式も、わたしに理解できるわけがないのですが、それでももがき続けます。
頭がよくないので、螺旋階段式に、ぐるぐるしながら、なかなか上に到達できず、同じところをうろうろしながら。
わたしのように「解く」ことで点を取って、わかった気になって卒業した者には「解くより意味」は響く言葉です。そんな者への戒めの言葉でしょう。
目標を持って、どんどん問題に体当たりしてものにしていく方たちには、当たらない言葉だと思います。 (November 16, 2023 06:57:15 PM)
私は高校生時代、問題を「解く」ことだけはできました。高校までの数学は「なぜそうなるんだろう」ということなど考えなくても、とりあえず解法をマスターしておけば、「解く」ことはできます。テストをやり過ごすこともできます。
何も「意味がわかって」などいなかった私でも単位はとれました。
「解く」ことしかしてこなかったのが、私の反省です。だから今は、「どうしてこうなるのか」「その意味」を考えることが勉強です。
多分「解く」より「意味がわかる」ことが大切なんて言われるのは、私みたいな輩に｢向けてでしょう。
国語については、漢字が苦手で「覚える」「問題を解く」ことから逃げてきたので、今更のように暗記し、問題を解いています。
ただ、並行して「どうしてこの漢字がこの意味で使われるようになったのか」という背景を知るのが面白くて勉強しています。
今は国語科でも、文学的な教材より情報的な文、実用的な作文や読解が重視されるそうです。
それでも、昔人間の私は、漱石や「枕草子」、大江健三郎を読んで、「わからなく」て、もがき続けようと思います。
オイラーの等式も、わたしに理解できるわけがないのですが、それでももがき続けます。
頭がよくないので、螺旋階段式に、ぐるぐるしながら、なかなか上に到達できず、同じところをうろうろしながら。
わたしのように「解く」ことで点を取って、わかった気になって卒業した者には「解くより意味」は響く言葉です。そんな者への戒めの言葉でしょう。
目標を持って、どんどん問題に体当たりしてものにしていく方たちには、当たらない言葉だと思います。 (November 16, 2023 06:57:15 PM)
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