60ばーばの手習い帳

　閉区間上の有界な関数（±∞に発散しない）には必ず上限と下限が存在します。したがって定めた閉区間内にも、その区間を細かく区切った小区間内にもそれぞれ関数の最大値と最小値があります。

　小区間の関数の最大値×小区間の幅×小区間数が過剰和、小区間の関数の最小値×小区間の幅×小区間数が不足和で、この間に、小区間の関数の任意の値×小区間の幅×小区間数の和が挟まれます。

　不足和の小区間の幅を０に近づけた時の極限は不足和の上限に等しい、過剰和の小区間の幅を０に近づけた時の極限は過剰和の下限に等しいという定理が「ダルブーの定理」です。
　証明は複雑です。