60ばーばの手習い帳

　高校では、まず「不定積分」を学習し、積分は微分の反対の操作というように習います。不定積分を定義してから次に、不定積分の区間を区切った数値として「定積分」を習いました。

　が、歴史的に先に定義されたのは定積分です。定積分は、面積を求める方法として登場しました。曲線の作る図形の面積を求めるとき、細かい長方形に分けて近似するのが、積分の手法です。

　ここでは、求める面積をｘ軸方向に細かく分けていきます。求める面積は、「区間ごとの最大値×細かく分けた幅×分けた区間数」（過剰和）と、「区間ごとの最小値×細かく分けた幅×分けた区間数」（不足和）の間にあります。図形で見るとわかりやすいのですが、分ける区間数を細かくすればするほど、最大値から求める面積と最小値から求める面積が近づき、もし2つの値が一致すれば、それが求める面積であろうことは予測できます。

　実は高校の積分で習ったような関数は、必ず積分できるので、過剰和の極限をとっても、不足和の極限をとっても面積が算出できました。区間の中間値をとっても同じです。

　というわけで、x軸方向に細かく区間をとってその和の極限を出すのが「定積分」でした。

　一歩進んで「積分できない関数がある」前提で、積分できる条件を考えます。
「リーマン積分」を考えます。同じ幅（長方形の横の長さ）に細かく区切る必要はなく、各区間の最大値、最小値ではない任意の値をとって長方形の縦の長さと考えてもかまいません。

　近似する長方形の面積の和がリーマン和で、長方形をx軸方向に区切る区間数を無限に飛ばしたとき（１つ１つの区間の幅は０に近づく）その極限が存在するとき、（極限値が求める積分の値）リーマン積分可能であるということになります。