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December 18, 2025
カテゴリ： ばーばの数学ノート
ｙ＝sinｘ・ｙ＝cosｘのグラフは−１と１の間を行き来する波型になります。したがって、ｘが無限大に大きくなった時と無限大に小さくなった時の極限値は存在しません。
ただし、グラフからもわかるように、ｘがある定数に近づく時の極限値は存在します。たとえばｘが０に近づくとき、sinｘは０に近づく（＋方向、－方向とも）ので極限値０が存在し、cosｘの極限値も存在し１です。
三角関数の極限でとても重要なのが、ｘが０に向かう時のsinｘ/ｘの極限値です。直角三角形をかいて、直角以外の１つの角をどんどん小さくしていけば（角ｘを０に近づける）sinｘはｘに近づくのがわかります。なので、sinｘ/ｘの極限値が１だろうという予測ができます。
証明では、面積と「はさみうちの原理」を使います。
ｘが０に向かう時のsinｘ/ｘの極限値が１になるという公式から求められる三角関数の極限もあります。sin◇/◇（◇は同値）の極限値は１になるので、
tanｘもｘが無限大、無限小に向かう時の極限値はありません。また、ｘがπ/２の倍数である値へ向かう時のtanｘの極限値も存在しません。左右の極限値が異なるからです。ｘがそれ以外の定数に向かう時のtanｘの極限値は存在します。
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Last updated
December 18, 2025 12:00:14 AM コメントを書く
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