● Hurewicz 変換の定義
ずっと書き漏らしてきたことをまとめておく. 2016 年 5 月 29 日の記事: 入院中のメモ: 数学 ── Hurewicz 変換とは何だったか
の続き.
$\mathbf{pcTop}$ を弧状連結な位相空間の圏, $\mathbf{Grp}$ を群の圏とする.
$\pi_1 : \mathbf{pcTop} \rightarrow \mathbf{Grp}$ を基本群関手, $H_1 : \mathbf{pcTop} \rightarrow \mathbf{Grp}$ を 1 次の特異ホモロジー群関手とする.
任意の弧状連結な位相空間 $X \in \mathrm{Ob}(\mathbf{pcTop})$ 上のループ $\alpha \in \Omega(X)$ をそのまま $X$ 上の特異 1-サイクル $\alpha \in Z_1(X)$ として考える.
この対応はホモトピー同値性を保存する.
すなわち, 2 つのループ $\alpha, \beta \in \Omega(X)$ がホモトピックならば, 特異 1-サイクルとしての $\alpha, \beta \in Z_1(X)$ に対して $\alpha - \beta$ は特異 1-境界サイクル, つまり $\alpha - \beta \in B_1(X) = \mathrm{ker}(\partial_2)$ となる.
これにより自然な群準同型 $h(X) : \pi_1(X) \rightarrow H_1(X) = Z_1(X)\,/\,B_1(X)$ が導かれるが, これを Hurewicz 準同型写像と呼ぶ.
参考にしたのはこの資料 → The Hurewicz Theorem
● Hurewicz 変換が自然変換であることの説明
各々の弧状連結な位相空間 $X \in \mathrm{Ob}(\mathbf{pcTop})$ に対して, Hurewicz 準同型 $hX : \pi_1(X) \rightarrow H_1(X)$ を対応させることにより, Hurewicz 準同型の族 $\left\{\, hX \,\mid\, X \in \mathrm{Ob}(\mathbf{pcTop}) \,\right\}$ が得られる. この族による基本群関手 $\pi_1$ から 1 次の特異ホモロジー群関手への対応を $h$ により表わし, Hurewicz 変換と呼ぶ.
この概念は, 位相空間の基本群から 1 次の特異ホモロジー群への群準同型として定義された Hurewicz 準同型を圏論的に解釈したものである.
このように定義した Hurewicz 変換は, 直接計算することによって次の性質を持つことがわかる.
基本群関手 $\pi_1 : \mathbf{pcTop} \rightarrow \mathbf{Grp}$ と 1 次の特異ホモロジー群関手 $H_1 : \mathbf{pcTop} \rightarrow \mathbf{Grp}$ (簡単のために弧状連結な位相空間の圏で考えている) に対する Hurewicz 変換 $h : \pi_1 \rightarrow H_1$ は弧状連結な位相空間の圏 $\mathbf{pcTop}$ における任意の射 (つまり連続写像) $g : X \rightarrow Y$ に対して, 図式
\[
\begin{xy}
\xymatrix {
\pi_1(X) \ar[d]_{\pi_1(g)} \ar[r]^{hX} & H_1(X) \ar[d]^{H_1(g)} \\
\pi_1(Y) \ar[r]_{hY} & H_1(Y)
}
\end{xy}
\] は可換図式である.
このことは Hurewicz 変換 $h : \pi_1 \rightarrow H_1$ の定義, それが基本群の関手 $\pi_1 : \mathbf{pcTop} \rightarrow \mathbf{Grp}$ から特異 1 次ホモロジー群の関手 $H_1 : \mathbf{pcTop} \rightarrow \mathbf{Grp}$ への自然変換になっていることを意味する.
ずっと Hurewicz 変換をもうちょっときれいに定義できないかと考えていたのだが, 進展が無い.
時間がかかりそうなのでこれは今後の課題にした.
ひとまず現在までにできたところを文章として残しておく. 進展があったらまた書く.
2017年03月18日
体調のこと
8 時起床.
罪悪感と動悸が苦しく, 頓服を飲んで起きる.
プールに行く.
今日は土曜日だし, それに春休みの時期だからか.
帰宅して昼まで数学をやる.
昼食はもり蕎麦.
午後, ちょっと昼寝をした.
夕方まで寝てしまう. 午前中いい時間の使い方ができた分, 何だか午後の大切な時間を損してしまったような気になる.
起きて本を読んでいたら, まだ抑鬱感が強くなってきた.
身体が重い. 疲労感がある. 頭が重い.
なぜだかわからないが, 自分は駄目だ, という思いが浮かんできて苦しい.
止むを得ず頓服を飲んで凌いだ.
このところ, 毎日どこかのタイミングで頓服に頼ってしまっている.
主に朝起きるときか, 夕暮れの時間帯か, そういうことが多い.
つまり, 朝夕くらいに体調を崩す.
どうしてだろう. 昼寝をし過ぎるのが身体のリズムを崩して良くないのだろうか?
昼寝を我慢してみたら変わるだろうか.
ただ, 実感としてはメンタルの体力はかなり回復してきて強くなっていると思う.
波がまだあるのだろう.
罪悪感と動悸が苦しく, 頓服を飲んで起きる.
プールに行く.
今日は土曜日だし, それに春休みの時期だからか.
帰宅して昼まで数学をやる.
昼食はもり蕎麦.
午後, ちょっと昼寝をした.
夕方まで寝てしまう. 午前中いい時間の使い方ができた分, 何だか午後の大切な時間を損してしまったような気になる.
起きて本を読んでいたら, まだ抑鬱感が強くなってきた.
身体が重い. 疲労感がある. 頭が重い.
なぜだかわからないが, 自分は駄目だ, という思いが浮かんできて苦しい.
止むを得ず頓服を飲んで凌いだ.
このところ, 毎日どこかのタイミングで頓服に頼ってしまっている.
主に朝起きるときか, 夕暮れの時間帯か, そういうことが多い.
つまり, 朝夕くらいに体調を崩す.
どうしてだろう. 昼寝をし過ぎるのが身体のリズムを崩して良くないのだろうか?
昼寝を我慢してみたら変わるだろうか.
ただ, 実感としてはメンタルの体力はかなり回復してきて強くなっていると思う.
波がまだあるのだろう.
