上の文章で述べた圏における余完備性の定義をもう一度述べておく.
定義 (余完備性).圏 $\mathscr{C}$ において, 任意の有限図式の余極限が存在するとき, $\mathscr{C}$ は 有限余完備 (finite cocomplete)であると言う. さらに任意の図式の極限が存在するとき, $\mathscr{C}$ は 完備 (cocomplete)であると言う.
集合の圏について次が成り立つ. すなわち, 集合の圏は完備かつ余完備である.
定理.集合の圏 $\mathbf{Set}$ は余完備である.
証明.$D : \mathscr{I} \rightarrow \mathbf{Set}$ を集合の圏 $\mathbf{Set}$ における任意の図式とし, $S$ を全ての $D(i)\, (i \in \mathrm{Ob}{\mathscr{I}})$ にわたる非交和 (disjoint union) とする.
\begin{equation*}
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S = \coprod_{i \in \Ob{\sI}} D(i)
\end{equation*} $x,y \in S$ が次の条件のいずれか一方を満足するとき $x R y$ と書いて, $S$ 上の関係 $R$ を定義する:
(i) x = y.
(ii) $\sI$ における射 $e : i \rightarrow j$ が存在して,
・ $x \in D(i)$, $y \in D(j)$ で $(D(e))(x) = y$;
・ $x \in D(j)$, $y \in D(i)$ で $x = (D(e))(y)$
の少なくとも一つが成り立つ.
条件 (i) は $x R x$ を意味する. すなわち $R$ は反射的 (reflexive) である. また条件 (ii) は $x R y$ ならば $y R x$ が成り立つことを意味する. すなわち $R$ は対称的 (symmetric) である.
$x,y \in S$ とする. $S$ 内の有限列 $x_0,\dots,x_n$ で $x_0=x,x_n=y$ かつ
\begin{equation*}
x_i R x_{i+1} \quad (i=0,\dots,n-1)
\end{equation*} を満たすものが存在するとき, $x E y$ と表わすことにする. $E$ は $S$ 上の関係だが, $x R y$ のとき $x_1=x,x_1=y$ とおけば $x E y$ となるので $E$ は $R$ を含む.
$E$ が同値関係であることを示す. $x,y,z \in S$ とする. まず, $x_0=x=x_1$ とおくことにより有限列 $x_0,x_1$ は $x=x_0 R x_1=x$ を満たすから $x E x$, すなわち $E$ は対称的である. 次に $x E y$ とすると, 有限列 $x_0,\dots,x_n$ で $x_0=x,x_n=y$ かつ $x_i R x_{i+1}\,(i=0,\dots,n-1)$ となるものが存在する. ここで, $y_i=x_{n-i}\, (i=0,\dots,n)$ とおくと, 有限列 $y_0,\dots,y_n$ は $y_0=x_n=y,y_n=x_0=x$ かつ $R$ が対称的であることから $y_i=x_{n-i} R y_{i+1}=x_{n-i-1}\,(i=0,\dots,n-1)$ である. よって $y E x$ となるから $E$ は対称的である. 最後に $x E y, y E z$ とすると, 有限列 $x_0,\dots,x_m$ で $x_0=x,x_m=y$ かつ $x_i R x_{i+1}\,(i=0,\dots,m-1)$ となるもの, および有限列 $y_0,\dots,y_n$ $y_0=y,y_n
=z$ かつ $y_j R y_{j+1}\,(j=0,\dots,n-1)$ となるものが存在する. ここで, 有限列 $x'_0,\dots,x'_{m+n}$ を
\begin{equation*}
x'_i = \begin{cases}
x_i & (i=0,\dots,m), \\
y_{i-m} & (i=m+1,\dots,m+n)
\end{cases}
\end{equation*} と定義すると
\begin{gather*}
x'_0=x_0=x, \quad x'_m=x_m=y=y_0 R y_1=x'_{m+1}, \quad x'_{m+n}=y_{n}=z, \\
x'_i R x'_{i+1} \qq (i=0,\dots,m+n)
\end{gather*} となるから $x E z$ であり $E$ は推移的 (transitive) である. 以上より $E$ は $S$ 上の同値関係である.
ここで,
\begin{equation*}
P = S/E
\end{equation*} とおき, $q : S \rightarrow P$ を商写像 (quotient mapping) とする. $P$ を頂点とする $D$ からの余錐を
\begin{equation*}
p = q|D, \quad\text{i.e.,}\quad p(i) = q|D(i) : D(i) \longrightarrow P \qq (i \in \Ob{\sI})
\end{equation*} と定義する.
$P=\Colim{D}$ であり, $p : D \rightarrow P$ がそれに伴う普遍的な可換余錐であることを示す. それには, 任意の $D$ 上の可換余錐 $c : D \rightarrow T$ に対して, 写像 $u : P \rightarrow T$ で図式
\begin{equation}
\label{dgm:u.p=c}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D \ar[r]^{p} \ar[dr]_{c} & P \ar[d]^{u} \\
& T
}
\end{xy}
\end{equation} を可換にするものが一意的に存在することを言えばよい.
まず, $p$ が可換余錐であることを示す. 任意の $\sI$ の射 $e : i \rightarrow j$ に対して, 図式
\begin{equation}
\label{dgm:p(i)=p(j).D(e)}
\begin{xy}
\xymatrix@=20pt {
D(i) \ar[dd]_{D(e)} \ar[drr]^{p(i)} & & \\
& & P \\
D(j) \ar[urr]_{p(j)} & &
}
\end{xy}
\end{equation} を考える. 任意の $x \in D(i)$ と $y=D(e)(x) \in D(j)$ に対して, $y$ の定義より $x E y$ が成り立つ. よって
\begin{align*}
p(j) \circ D(e)(x) & = p(j)(D(e)(x)) \\
& = (q|D(j))(D(e)(x)) = q(x) = (q|D(i))(x) \\
& = p(i)(x)
\end{align*} である. すなわち図式 (\ref{dgm:p(i)=p(j).D(e)}) は可換となり, $p$ が可換余錐であることがわかる.
次に $c : D \rightarrow T$ を $D$ からの任意の可換余錐とする. 仮定より任意の $\sI$ の射 $e : i \rightarrow j$ と任意の $x \in D(i)$, $y=D(e)(x) \in D(j)$ に対して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=20pt {
D(i) \ar[dd]_{D(e)} \ar[drr]^{c(i)} & & \\
& & T \\
D(j) \ar[urr]_{c(j)} & &
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である. これは $x E y$ ならば $c(i)(x)=c(j)(y)$ であることを意味する. このことにより $x$ の $E$ による同値類を $[x]_E$ ($=q(x)$)と表わしたときに, 写像 $u : P \rightarrow T$ を $u([x]_E)=c(i)(x)$ によって定義することができる. $u$ の定義により, 図式 (\ref{dgm:u.p=c}) において
\begin{equation*}
u \circ p(i)(x) = u(p(i)(x)) = u((q|D(i))(x)) = u(q(x)) = u([x]_E) = c(x)
\end{equation*} が成り立つ. よって図式 (\ref{dgm:u.p=c}) は可換である. さらに $p$ が全射であることにより, このような $u$ は一意的に定まる.
したがって $P=\Colim{D}$ であり集合の圏 $\Set$ は余完備である.
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