午前中は鬱と倦怠感が辛く, 寝込んだ.
午後になって少し体調がよくなってきたので, 買い物に行く.
歩いて気分が上向いた.
野菜と肉などを買う.
帰宅して食事.
麻婆豆腐とご飯.
食後の時間は, せっかく読書などに使えるのにだらだらとネットを見てしまう.
ネットをずっと見ていると, 気分が沈んでくる. 良くない.
沈鬱な気分に苦しくなってくる.
まだ早いが布団に入る.
2023年06月30日
2023年06月29日
気力が出ない
6 時半に目が覚める.
鬱と無気力が辛い. いつになったら解放されるのだろう。
午前中は寝込んだ.
何もする気にならない. いくら休んでも倦怠感がとれない.
頓服を飲む.
そのおかげか, 午後に鬱が少し軽くなってきたので, 買い物を兼ねた散歩に出かける.
1 時間半ほど歩く.
暑さにやられて気分が悪くなった. こういう日に無理はいけない.
買い物をして帰宅.
横になって休む.
夕方に起きて食事をとる.
豚キムチ.
まだ夕方だが, 布団に入る.
鬱と無気力が辛い. いつになったら解放されるのだろう。
午前中は寝込んだ.
何もする気にならない. いくら休んでも倦怠感がとれない.
頓服を飲む.
そのおかげか, 午後に鬱が少し軽くなってきたので, 買い物を兼ねた散歩に出かける.
1 時間半ほど歩く.
暑さにやられて気分が悪くなった. こういう日に無理はいけない.
買い物をして帰宅.
横になって休む.
夕方に起きて食事をとる.
豚キムチ.
まだ夕方だが, 布団に入る.
2023年06月28日
午前中寝込む 〜 アルコール依存症の自助グループ
5 時に目が覚めるが, 鬱が辛くて起き上がれない.
ここ数日, 朝, 目が覚めたときの鬱や倦怠感が辛い. 頓服を飲む.
いくら休んでも倦怠感がとれない.
午前中は寝込んだ.
頑張って昼に起き, アルコール依存症の自助グループに行く.
体を動かせば鬱が和らぐだろうと思い, 会場となっている教会まで歩く.
最初は一歩踏み出すのも辛かったが, 歩いているうちに気分が上向いてくる.
それにしても暑い.
ミーティングに参加して気持ちが落ち着く.
買い物をして帰宅.
食事をとる.
牛カルビ焼きとご飯.
元気を出したかった.
まだ明るいが布団に入る.
ここ数日, 朝, 目が覚めたときの鬱や倦怠感が辛い. 頓服を飲む.
いくら休んでも倦怠感がとれない.
午前中は寝込んだ.
頑張って昼に起き, アルコール依存症の自助グループに行く.
体を動かせば鬱が和らぐだろうと思い, 会場となっている教会まで歩く.
最初は一歩踏み出すのも辛かったが, 歩いているうちに気分が上向いてくる.
それにしても暑い.
ミーティングに参加して気持ちが落ち着く.
買い物をして帰宅.
食事をとる.
牛カルビ焼きとご飯.
元気を出したかった.
まだ明るいが布団に入る.
2023年06月27日
鬱が辛い中, いろいろやる
6 時半に目が覚める.
鬱と倦怠感が辛い. 起き上がることができない.
頓服を飲んで, 9 時半に起きる.
朝食をとる.
キャベツとパッションフルーツ.
パッションフルーツはデイケアの友人からもらった.
酸っぱくて美味しかった.
鬱が辛い.
買い物を兼ねた散歩に出かける.
水などを買う.
帰宅して食事.
ベーコンエッグ.
ゆっくり食べる.
鬱と倦怠感が苦しい.
まだ早いが布団に入る.
鬱と倦怠感が辛い. 起き上がることができない.
頓服を飲んで, 9 時半に起きる.
朝食をとる.
キャベツとパッションフルーツ.
パッションフルーツはデイケアの友人からもらった.
酸っぱくて美味しかった.
鬱が辛い.
買い物を兼ねた散歩に出かける.
水などを買う.
帰宅して食事.
ベーコンエッグ.
ゆっくり食べる.
鬱と倦怠感が苦しい.
まだ早いが布団に入る.
2023年06月26日
午後から寝込む
7 時起床.
鬱が辛い.
今日は朝一番で内科に行くので, 薬を飲んで何とか起き上がる.
帯状疱疹のワクチンの接種を受けた.
鬱が苦しい.
頑張って, 買い物を兼ねた散歩に出かける.
1 時間半ほど歩いた.
鬱はどうにか治まった.
帰宅して昼食をとる.
納豆と卵かけご飯.
ところが再び鬱が苦しくなってくる. 一度回復したのだが.
薬を飲んで寝込んだ.
鬱が苦しい.
自分は駄目だ, 自分の一生は全て失敗だったという思いが強くなってくる.
今日はこのまま休む.
鬱が辛い.
今日は朝一番で内科に行くので, 薬を飲んで何とか起き上がる.
帯状疱疹のワクチンの接種を受けた.
鬱が苦しい.
頑張って, 買い物を兼ねた散歩に出かける.
1 時間半ほど歩いた.
鬱はどうにか治まった.
帰宅して昼食をとる.
納豆と卵かけご飯.
ところが再び鬱が苦しくなってくる. 一度回復したのだが.
薬を飲んで寝込んだ.
鬱が苦しい.
自分は駄目だ, 自分の一生は全て失敗だったという思いが強くなってくる.
今日はこのまま休む.
2023年06月25日
数学の勉強 〜 買い物 〜 アルコール依存症の自助グループ
4 時半起床.
やや倦怠感がある.
数学をやる.
体がだるいこともあって, 今一つ集中できない.
朝食をとる.
パンと紅茶.
気分転換に買い物に行く.
いつものスーパーまでの遊歩道を歩いているうちにだるさは治まった.
帰宅して朝の数学の続きをやる.
以前のノートを読み返す.
午後からアルコール依存症の自助グループに行く.
会場の福祉センターまで歩くつもりで家を出たが, 暑さでばててしまい途中から電車に乗った.
今日のテーマは「一人ではない」.
少なくとも自分にとって, 断酒は自分一人では絶対に続けることができない. 意思の力ではどうにもならない.
そんなことを話した.
帰宅して夕食.
蕎麦と大根おろし.
早めに布団に入る.
やや倦怠感がある.
数学をやる.
体がだるいこともあって, 今一つ集中できない.
朝食をとる.
パンと紅茶.
気分転換に買い物に行く.
いつものスーパーまでの遊歩道を歩いているうちにだるさは治まった.
帰宅して朝の数学の続きをやる.
以前のノートを読み返す.
午後からアルコール依存症の自助グループに行く.
会場の福祉センターまで歩くつもりで家を出たが, 暑さでばててしまい途中から電車に乗った.
今日のテーマは「一人ではない」.
少なくとも自分にとって, 断酒は自分一人では絶対に続けることができない. 意思の力ではどうにもならない.
そんなことを話した.
帰宅して夕食.
蕎麦と大根おろし.
早めに布団に入る.
2023年06月24日
デイケアの友人と会う
7 時起床.
少し鬱が辛い.
何とか起き上がってコーヒーを淹れる.
コーヒーの香りで癒される.
ちょっと休んでから散歩に出かける.
1 時間ほど歩く.
ウォーキングは鬱を和らげる効果がある.
気分が上向いた.
帰宅してから数学をやる.
以前のノートを読み返す.
証明に何箇所か議論が曖昧なところがあったので修正する.
午後から出かけて, デイケアの友人と会う.
カフェに入っていろいろ話す.
友人の仕事のこと, お互いの病気のことなど.
友人は今の職場で仕事を続けていけそうだと言っていた.
大したものだと思う.
夕方前に別れ, 買い物をして帰宅.
午前中の数学の続きをやる.
ノートを読み返す.
夜は近所のラーメン屋に行く.
醤油ラーメン. 美味かった.
今日は朝は鬱で辛かったが, 何とか乗り切れたと思う.
早い時間に休む.
少し鬱が辛い.
何とか起き上がってコーヒーを淹れる.
コーヒーの香りで癒される.
ちょっと休んでから散歩に出かける.
1 時間ほど歩く.
ウォーキングは鬱を和らげる効果がある.
気分が上向いた.
帰宅してから数学をやる.
以前のノートを読み返す.
証明に何箇所か議論が曖昧なところがあったので修正する.
午後から出かけて, デイケアの友人と会う.
カフェに入っていろいろ話す.
友人の仕事のこと, お互いの病気のことなど.
友人は今の職場で仕事を続けていけそうだと言っていた.
大したものだと思う.
夕方前に別れ, 買い物をして帰宅.
午前中の数学の続きをやる.
ノートを読み返す.
夜は近所のラーメン屋に行く.
醤油ラーメン. 美味かった.
今日は朝は鬱で辛かったが, 何とか乗り切れたと思う.
早い時間に休む.
数学: モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏
モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド
,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド の続き.
随伴が与えられたとき, そこからモナドが構成されることを見た.
ではその逆, つまりモナドが与えられたときに何らかの仕方でそのモナドを導くような随伴を構成できるかという問題が生じる.
これに対しては, 圏 $\mathrm{C}$ 上の与えられたモナドから少なくとも 2 種類の随伴を構成できることが示せる.
1 つは Eilenbert-Moore 圏と $\mathrm{C}$ の間の随伴であり, もう 1 つは Kleisli 圏と $\mathrm{C}$ の間の随伴である.
これらは, モナド $T$ を導く全ての随伴からなる圏 $\mathbf{Adj}_T$ を考えたときに, それぞれそこにおける終対象と始対象になっている.
Eilenberg-Moore 圏を定義する.
定義.$\mathrm{C}$ をモナド $(T,\eta,\mu)$ を持つような圏とする. $T$ 上の Eilenberg-Moore 圏 (Eilenberg-Moore category)または $T$-代数の圏 (category of $T$-algebras)$\mathrm{C}^T$ を次のように構成する.
・ $\mathrm{C}$ の対象 $A$ と射 $a : TA \rightarrow A$ で, 図式
\begin{equation*}
\label{Eilenberg-Moore-category}
\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
\DeclareMathOperator{\Ar}{Ar}
\DeclareMathOperator{\Arccos}{Arccos}
\DeclareMathOperator{\Arcsin}{Arcsin}
\DeclareMathOperator{\Arr}{Arr}
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\DeclareMathOperator{\im}{im}
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\DeclareMathOperator{\Res}{res}
\DeclareMathOperator{\Sect}{Sect}
\DeclareMathOperator{\SF}{SF}
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\newdir{ >}{{ }*!/-5pt/@{>}}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
A \ar[r]^{\eta_A} \ar[dr]_{\Un{A}} & TA \ar[d]^a \\
& A
}
\qquad
\xymatrix@=24pt {
T^2A \ar[r]^{\mu_A} \ar[d]_{Ta} & TA \ar[d]^a \\
TA \ar[r]_a & A
}
\end{xy} \tag{1}
\end{equation*} を可換にするものの対 $(A,a)$ を $\rC^T$ における対象とする.
$(A,a)$, $(B,b)$ を $\rC^T$ の 2 つの対象とするとき, $\rC$ の射 $f : A \rightarrow B$ で, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
TA \ar[r]^{Tf} \ar[d]_a & TB \ar[d]^b \\
A \ar[r]_f & B
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものを圏 $\rC^T$ における射 $f : (A,a) \rightarrow (B,b)$ とする.
例.集合の圏 $\Set$ 上の maybe モナド $(T,\eta,\mu)=((-)_+,\eta,\mu)$ を考える. 簡単のために
\begin{equation*}
TA=A_+=A \amalg \{\bot_A\}
\end{equation*} と記すことにする. ここで $\bot_A$ は $A$ の元以外の元である. 具体的にはたとえば集合 $A$ 自体を考えればよい ($A_+ = A \amalg \{A\}$). このモナドから構成される Eilenberg-Moore 圏 $\Set^T$ において, 対象 $(A,a)$ は, $\rC$ の対象 $A$ と, 図式 (\ref{Eilenberg-Moore-category}) を可換にする $\rC$ の射 $a : A+ \rightarrow A$ により構成される. (\ref{Eilenberg-Moore-category}) の左の三角形の図式は, $a$ が $A \subset A_+$ 上では恒等写像であることを示している.
また, $a$ による $\bot_A \in A_+$ の移り先は $A$ のいずれかの点であり, $(A,a(\bot_A)) \in \Set_+$, より簡潔に $(A,a)$ と記すことができる.
$\Set^T$ における射 $f : (A,a) \rightarrow (B,b)$ は $\Set$ における関数 $f : A \rightarrow B$ で図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
A_+ \ar[r]^{f_+} \ar[d]_a & B_+ \ar[d]^b \\
A \ar[r]_f & B
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものである. したがって $f(\bot_A) = \bot_B$ であり, $a(\bot_A$), $b(\bot_B)$, を単に $a,b$ と書けば $f(a) = b$ となる.
つまり, meybe モナド $(T,\eta,\mu)$ 上の Eilenberg-Moore 圏 $\Set^T$ は点付き集合の圏 $\Set_+$ と同一視できる.
Eilenberg-Moore 圏において次の補題が成り立つ.
補題.圏 $\rC$ 上の任意のモナド $(T,\eta,\mu)$ に対して, $\rC$ と Eilenberg-Moore 圏の間の随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^{F^T} \ar@{}[r]|{\bot} & \rC^T \ar@<1ex>[l]^{U^T}
}
\end{xy}
\end{equation*} が存在し, この随伴から導かれるモナドは $(T,\eta,\mu)$ である.
証明は省略するが, $U^T : \rC^T \rightarrow \rC$ は忘却関手 (forgetful functor) として定まり, $F^T : \rC \rightarrow \rC^T$ は $\rC$ の対象 $A$ に対してその像を
\begin{equation*}
F^TA := (TA,\mu_A : T^2A \rightarrow TA)
\end{equation*} として, $\rC$ の射 $f : A \rightarrow B$ に対して
\begin{equation*}
F^Tf := (TA,\mu_A) \xrightarrow{Tf} (TB,\mu_B)
\end{equation*} として定まる.
定義より
\begin{equation*}
U^T F^T A = TA,
\end{equation*} すなわち $U^T F^T = T$ である.
この随伴における単位 (unit) $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow U^T F^T$ は, モナド $(T,\eta,\mu)$ における $\eta$ そのものであり, 余単位 (counit) $\epsilon : F^T U^T \Rightarrow \Un{\rC^T}$ は $\rC^T$ の各対象 $(A,a)$ に対して
\begin{equation*}
\epsilon_{(A,a)} := a : F^T U^T A = TA \rightarrow A
\end{equation*} である. この $\epsilon$ に対して $U^T \epsilon F^T = \mu : T^2 \Rightarrow T$ が成り立つ.
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド の続き.
随伴が与えられたとき, そこからモナドが構成されることを見た.
ではその逆, つまりモナドが与えられたときに何らかの仕方でそのモナドを導くような随伴を構成できるかという問題が生じる.
これに対しては, 圏 $\mathrm{C}$ 上の与えられたモナドから少なくとも 2 種類の随伴を構成できることが示せる.
1 つは Eilenbert-Moore 圏と $\mathrm{C}$ の間の随伴であり, もう 1 つは Kleisli 圏と $\mathrm{C}$ の間の随伴である.
これらは, モナド $T$ を導く全ての随伴からなる圏 $\mathbf{Adj}_T$ を考えたときに, それぞれそこにおける終対象と始対象になっている.
Eilenberg-Moore 圏を定義する.
定義.$\mathrm{C}$ をモナド $(T,\eta,\mu)$ を持つような圏とする. $T$ 上の Eilenberg-Moore 圏 (Eilenberg-Moore category)または $T$-代数の圏 (category of $T$-algebras)$\mathrm{C}^T$ を次のように構成する.
・ $\mathrm{C}$ の対象 $A$ と射 $a : TA \rightarrow A$ で, 図式
\begin{equation*}
\label{Eilenberg-Moore-category}
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\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
A \ar[r]^{\eta_A} \ar[dr]_{\Un{A}} & TA \ar[d]^a \\
& A
}
\qquad
\xymatrix@=24pt {
T^2A \ar[r]^{\mu_A} \ar[d]_{Ta} & TA \ar[d]^a \\
TA \ar[r]_a & A
}
\end{xy} \tag{1}
\end{equation*} を可換にするものの対 $(A,a)$ を $\rC^T$ における対象とする.
$(A,a)$, $(B,b)$ を $\rC^T$ の 2 つの対象とするとき, $\rC$ の射 $f : A \rightarrow B$ で, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
TA \ar[r]^{Tf} \ar[d]_a & TB \ar[d]^b \\
A \ar[r]_f & B
}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものを圏 $\rC^T$ における射 $f : (A,a) \rightarrow (B,b)$ とする.
例.集合の圏 $\Set$ 上の maybe モナド $(T,\eta,\mu)=((-)_+,\eta,\mu)$ を考える. 簡単のために
\begin{equation*}
TA=A_+=A \amalg \{\bot_A\}
\end{equation*} と記すことにする. ここで $\bot_A$ は $A$ の元以外の元である. 具体的にはたとえば集合 $A$ 自体を考えればよい ($A_+ = A \amalg \{A\}$). このモナドから構成される Eilenberg-Moore 圏 $\Set^T$ において, 対象 $(A,a)$ は, $\rC$ の対象 $A$ と, 図式 (\ref{Eilenberg-Moore-category}) を可換にする $\rC$ の射 $a : A+ \rightarrow A$ により構成される. (\ref{Eilenberg-Moore-category}) の左の三角形の図式は, $a$ が $A \subset A_+$ 上では恒等写像であることを示している.
また, $a$ による $\bot_A \in A_+$ の移り先は $A$ のいずれかの点であり, $(A,a(\bot_A)) \in \Set_+$, より簡潔に $(A,a)$ と記すことができる.
$\Set^T$ における射 $f : (A,a) \rightarrow (B,b)$ は $\Set$ における関数 $f : A \rightarrow B$ で図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=24pt {
A_+ \ar[r]^{f_+} \ar[d]_a & B_+ \ar[d]^b \\
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}
\end{xy}
\end{equation*} を可換にするものである. したがって $f(\bot_A) = \bot_B$ であり, $a(\bot_A$), $b(\bot_B)$, を単に $a,b$ と書けば $f(a) = b$ となる.
つまり, meybe モナド $(T,\eta,\mu)$ 上の Eilenberg-Moore 圏 $\Set^T$ は点付き集合の圏 $\Set_+$ と同一視できる.
Eilenberg-Moore 圏において次の補題が成り立つ.
補題.圏 $\rC$ 上の任意のモナド $(T,\eta,\mu)$ に対して, $\rC$ と Eilenberg-Moore 圏の間の随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
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\rC \ar@<1ex>[r]^{F^T} \ar@{}[r]|{\bot} & \rC^T \ar@<1ex>[l]^{U^T}
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\end{xy}
\end{equation*} が存在し, この随伴から導かれるモナドは $(T,\eta,\mu)$ である.
証明は省略するが, $U^T : \rC^T \rightarrow \rC$ は忘却関手 (forgetful functor) として定まり, $F^T : \rC \rightarrow \rC^T$ は $\rC$ の対象 $A$ に対してその像を
\begin{equation*}
F^TA := (TA,\mu_A : T^2A \rightarrow TA)
\end{equation*} として, $\rC$ の射 $f : A \rightarrow B$ に対して
\begin{equation*}
F^Tf := (TA,\mu_A) \xrightarrow{Tf} (TB,\mu_B)
\end{equation*} として定まる.
定義より
\begin{equation*}
U^T F^T A = TA,
\end{equation*} すなわち $U^T F^T = T$ である.
この随伴における単位 (unit) $\eta : \Un{\rC} \Rightarrow U^T F^T$ は, モナド $(T,\eta,\mu)$ における $\eta$ そのものであり, 余単位 (counit) $\epsilon : F^T U^T \Rightarrow \Un{\rC^T}$ は $\rC^T$ の各対象 $(A,a)$ に対して
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\epsilon_{(A,a)} := a : F^T U^T A = TA \rightarrow A
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2023年06月23日
穏やかな一日
2 時起床.
体調はいい.
数学をやる.
以前のノートを読み返す.
かなり集中できた.
朝までやって区切りを付ける.
食事をとる.
キャベツとベーコンネッグとコーヒー.
疲れたので横になって休む.
短い時間休むだけのつもりが, 昼まで寝てしまった.
そんなに疲れていたのだろうか.
午後から散歩に出かける.
1 時間半ほど歩いた.
買い物をして帰宅.
数学の続きを少しやってから夕食.
牛焼き肉とご飯.
平和な一日を過ごせた.
まだ明るいが布団に入る.
体調はいい.
数学をやる.
以前のノートを読み返す.
かなり集中できた.
朝までやって区切りを付ける.
食事をとる.
キャベツとベーコンネッグとコーヒー.
疲れたので横になって休む.
短い時間休むだけのつもりが, 昼まで寝てしまった.
そんなに疲れていたのだろうか.
午後から散歩に出かける.
1 時間半ほど歩いた.
買い物をして帰宅.
数学の続きを少しやってから夕食.
牛焼き肉とご飯.
平和な一日を過ごせた.
まだ明るいが布団に入る.
2023年06月22日
デイケアに行く
3 時起床.
今日は鬱と倦怠感が無い.
数学をやる.
ノートを読み直す. 記述が曖昧なところがあったで修正する.
久し振りに頭を使ったせいか, あまり集中できず, すぐに疲れてしまう.
休みをとりながら朝まで続けた.
朝食をとる.
キャベツとベーコンエッグとコーヒー.
午前中は買い物に出かけた.
食用油やコーヒーなどを買う.
昼までの時間, 朝の数学の続きをやる.
午後からデイケアに行く.
今日のプログラムは「生きづらさをつぶやく」.
最近の体調不良のことなど吐き出した.
帰宅して夕食をとる.
パンとコーヒー.
今日のような日が明日以降も続いてほしい.
早めに布団に入る.
今日は鬱と倦怠感が無い.
数学をやる.
ノートを読み直す. 記述が曖昧なところがあったで修正する.
久し振りに頭を使ったせいか, あまり集中できず, すぐに疲れてしまう.
休みをとりながら朝まで続けた.
朝食をとる.
キャベツとベーコンエッグとコーヒー.
午前中は買い物に出かけた.
食用油やコーヒーなどを買う.
昼までの時間, 朝の数学の続きをやる.
午後からデイケアに行く.
今日のプログラムは「生きづらさをつぶやく」.
最近の体調不良のことなど吐き出した.
帰宅して夕食をとる.
パンとコーヒー.
今日のような日が明日以降も続いてほしい.
早めに布団に入る.
