トポスの一つの定義は, 集合の一般化というものである. 集合の圏が持っている性質 (1) 有限完備性; (2) 任意の集合に対して, その部分集合全体からなる集合 ── 冪集合 ── が存在する, を一般化して定義するものである.
ここで有限完備性は集合の圏内で任意の有限極限が存在するという主張であるが, 一般の圏について以下はすべて同値である.
(a) 任意の有限極限が存在する;
(b) 任意の 2 つの対象に対する直積と, 任意の 2 つの射に対するイコライザーが存在する;
(c) 終対象 (集合の圏においては一点集合がこれにあたる) と任意の引き戻しが存在する.
$\mathscr{E}$ を有限極限を持つ圏とする. この圏の対象 $A$ を固定すると, $\mathscr{E}$ において, $A$ との積をとる操作 $-\times A$ は $\mathscr{E}$ からそれ自身への関手となる. これと部分対象関手 $\mathrm{Sub} : \mathscr{E}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Set}$ との合成で得られる関手
\begin{equation*}
\DeclareMathOperator{\Ar}{Ar}
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\DeclareMathOperator{\SF}{SF}
\DeclareMathOperator{\Sub}{Sub}
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\Sub(- \times A) : \Opp{\sE} \longrightarrow \Set
\end{equation*} を考える.
この関手が $\sE$ において表現可能, すなわち $\sE$ のある対象 $\Pw{A}$ が存在して, $\sE$ の任意の対象 $B$ に対して
\begin{equation*}
\Hom_{\sE}(B,\Pw{A}) \simeq \Sub(B \times A)
\end{equation*} が成り立つとき, $\Pw{A}$ を $\sE$ における $A$ の 羃対象 (power object)と呼ぶ.
定義 (トポス).圏 $\sE$ が有限極限を持ち, かつ $\sE$ の各対象が羃対象を持つならば, $\sE$ は トポス (topos)であるという.
集合の圏 $\Set$ はトポスである. このとき羃対象は
\begin{equation*}
\Pw{A} = \{ A_0 \subset A \mid \text{$A_0$ は $A$ の部分集合} \}
\end{equation*} である.
${\phi(A,B)} : \Hom_{\Set}(B,\Pw{A}) \rightarrow \Sub(B \times A)$ を
\begin{align*}
\phi(A,B)(f : B \rightarrow \Pw{A})
& = \bigcup_{b \in B} \{ b \} \times f(b) \\
& = \left\{ (b,a) \in B \times A \mid a \in f(b)\qq (b \in B) \right\}
\end{align*} と定義する. また $\psi(A,B) : \Sub(B \times A)$ を
\begin{equation*}
\psi(A,B)(C \subset B \times A) = \left( B \rightarrow \Pw{A} ;\, b \mapsto \{ a \in A \mid (b,a) \in C \} \right)
\end{equation*} と定義する. このとき, $\phi(A,B)$ と $\psi(A,B)$ は互いに他の逆写像になっている. つまり図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Set}(B,\Pw{A}) \ar[r]^{\phi(A,B)} & \Sub(B \times A) & \Hom_{\Set}(B,\Pw{A}) \ar[d]_{\Id{~}} \ar[r]^{\phi(A,B)} & \Sub(B \times A) \ar[dl]^{\psi(A,B)} \\
~ & \Sub(B \times A) \ar[ul]^{\psi(A,B)} \ar[u]_{\Id{~}} & \Hom_{\Set}(B,\Pw{A}) & ~
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である.
\begin{align*}
\phi(A,B) \circ \psi(A,B)(C \subset B \times A)
& = \phi(A,B)\!\left( f : B \rightarrow \Pw{A} ;\, b \mapsto \{ a \in A \mid (b,a) \in C \} \right) \\
& = \{ (b,a) \in B \times A \mid a \in f(b)\qq (b \in B) \} \\
& = \{ (b,a) \in B \times A \mid a \in \{ a \in A \mid (b,a) \in C \} \} \\
& = \{ (b,a) \in B \times A \mid (b,a) \in C \} \\
& = C, \\
\psi(A,B) \circ \phi(A,B)(f : B \rightarrow \Pw{A})
& = \psi(A,B)\!\left( \{ (b,a) \in B \times A \mid a \in f(b) \} \right) \\
& = \psi(A,B)\!\left( \bigcup_{b \in B} \{ b \} \times \{ a \in A \mid a \in f(b) \} \right) \\
& = \left( B \rightarrow \Pw{A};\, b \mapsto \{ a \in A \mid a \in f(b) \} \right) \\
& = \left( B \rightarrow \Pw{A};\, b \mapsto f(b) \right) \\
& = (f : B \rightarrow \Pw{A})
\end{align*}
さらに $\phi(A,B)$ は $B$ に関して自然な同型である. つまり任意の $f : B \rightarrow B'$ に対して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Set}(B,\Pw{A}) \ar[r]^{\phi(A,B)} & \Sub(B \times A) \\
\Hom_{\Set}(B',\Pw{A}) \ar[u]^{\Hom_{\Set}(f,\Pw{A})} \ar[r]_{\phi(A,B')} & \Sub(B' \times A) \ar[u]_{\Sub(f \times A)} \\
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる. ここで $f \times A : B \times A \rightarrow B' \times A$ は
\begin{equation*}
(f \times A)(b,a) = (f(b),a)
\end{equation*} により定義され, $\Sub(f \times A) : \Sub(B' \times A) \rightarrow \Sub(B \times A)$ は引き戻し
\begin{equation*}
\newdir{ >}{{}*!/-5pt/@{>}}
\newdir{ (}{{}*!/-2pt/@^{(}}
\newdir{) }{{}*!/3pt/@_{)}}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\bullet \ar@{{ >}->}[d]_{\Sub(f \times A)(-)} \ar[r] & \bullet \ar@{{ >}->}[d]^{-} \\
B \times A \ar[r]_{f \times A} & B' \times A
}
\end{xy}
\end{equation*} により定義される写像である.
トポスの $\Set$ 以外の例
(i) $G$ を任意の群としたとき, $G$ の作用が定義された集合の圏 $G$-$\Set$ はトポスである.
(ii) $\sC$ を任意の小さな圏 ── 対象の全体 $\Ob{\sC}$ と射の全体 $\Ar{\sC}$ が共に集合 ── としたとき, 集合の圏に値をとる関手のなす圏 $\Func{\Opp{\sC}}{\Set}$ はトポスである.
(iii) $X$ を任意の位相空間としたとき, $X$ 上の層全体の成す圏 $\Sh(X)$ はトポスである.
2019 年 11 月 30 日: $\phi(A,B)$ の図式の縦の射の向きが逆になっていたのと, $\Sub(f \times A)$ の定義が間違っていたのを修正. まだ基本的な理解ができていないところがある.
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