目標である Hurewicz 変換が基本群関手から 1 次の特異ホモロジー群関手への自然変換であることの証明に進む.
ここで Hurewicz 変換と呼んでいる概念は, 元々は位相空間の基本群から 1 次の特異ホモロジー群への群準同型として定義されるもので, Hurewicz 準同型と呼ばれていたものを圏論的に解釈したものである.
つまり, 基本群関手 $\pi_1 : \textbf{pcTop} \rightarrow \textbf{Grp}$ と 1 次の特異ホモロジー群関手 $H_1 : \textbf{pcTop} \rightarrow \textbf{Grp}$ (簡単のために弧状連結な位相空間の圏で考えている) に対する Hurewicz 変換 $h : \pi_1 \rightarrow H_1$ は弧状連結な位相空間の圏 $\textbf{pcTop}$ における任意の射 (つまり連続写像) $g : X \rightarrow Y$ に対して, 図式
\(\require{AMScd}\)
\(\require{XY}\)
\[
\begin{xy}
\xymatrix {
\pi_1(X) \ar[d]_{\pi_1(g)} \ar[r]^{hX} & H_1(X) \ar[d]^{H_1(g)} \\
\pi_1(Y) \ar[r]_{hY} & H_1(Y)
}
\end{xy}
\] を可換にするものである.
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