2017年08月の記事
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（自治医科大学医学部２０１７年数学第１５問）
自然数３６０は２つの自然数aとbの積で表すことができる。a、bが互いに素であるとすると、a、bの組（a,b）はいくつあるか。ただし、例えば、（a,b）＝（１，３６０）、（３６０，１）は、異なる組としてあつかうこととする。（注）自然数→１以上の整数互いに素→最大公約数が１まず、３６０を九九の逆を用いて素因数分解し、それぞれの素因数をa、bのどちらに割り振るかを考えれば、小学生でも３０秒以内に解けます。素因数の種類をもう少し増やしたほうがおもしろかったですね。きっちりとした解き方をするか否かで、できる人の中でも差が大きく出ますから。詳しくは、自治医科大学医学部２０１７年数学第１５問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月29日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（京都大学２００６年前期理系数学第４問）
２以上の自然数ｎに対し、ｎとｎ＾２＋２がともに素数になるのはｎ＝３の場合に限ることを示せ。（注）自然数→１以上の整数ですが、２以上と書いてあるので、整数と考えればよいでしょう。自治医科大学２０１６年医学部第６問と同レベルですね。自治医科大学は大量の問題をさっと解く事務処理能力が試される試験だからいいですが、１５０分６問の試験で秒殺問題を出されては困りますね。京大数学のレベルが著しく低かった暗黒時代の問題（２００３年～２００６年、２０１０年、２０１１年）とはいえひどすぎます。詳しくは、京都大学２００６年前期理系数学第４問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月28日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（早稲田大学２０１５年政治経済学部数学第３問）
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人の紳士から、それぞれの帽子を１つずつ受けとり、それらを再び１人に１つずつ配る。帽子は必ずしも元の持ち主に戻されるわけではない。このとき、以下の問いに答えよ。（１）次の空欄に当てはまる数を解答欄に記入せよ。 帽子を配る方法は全部で[ア]通りある。そのうち、Ａが自分の帽子を受けとるのは[イ]通り、Ｂが自分の帽子を受けとるのは同じく[イ]通り、ＡとＢがともに自分の帽子を受けとるのは[ウ]通りである。したがって、Ａが自分の帽子を受けとらず、かつＢも自分の帽子を受け取らない場合は[エ]通りである。（２）Ａ、Ｂ、Ｃの３人が誰も自分の帽子を受けとらない場合は何通りか。 （１）の問題文に詳しい解き方が書いてあるので、それに従って解いていけば、（２）も簡単に解けます。そのまま中学入試で出せそうな問題です。詳しくは、早稲田大学２０１５年政治経済学部第３問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月27日
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神戸海星女子学院中学校２０１３年算数第５問
１０×１０、１１×１１、１２×１２、……、９７×９７、９８×９８、９９×９９の９０個の整数について、次の問いに答えなさい。（１）一の位が１または４であるものの個数を求めなさい。（２）９０個の中から異なる２つの整数を選ぶとき、２つの数を加えて一の位が５となる選び方は何通りありますか。 最初に一の位をきっちり分類しておけば、簡単に解けます。詳しくは、神戸海星女子学院中学校２０１３年算数第５問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]にほんブログ村
2017年08月26日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（京都女子高等学校２０１６年数学第１問（６））
ある自然数ｎを１４で割ると、商と余りが同じになります。また、そのｎを２０で割っても商と余りが同じになります。このようなｎのうち、最も小さいものを求めなさい。（注）自然数→１以上の整数中学入試のも何度も出題されている問題で、小学生でも３０秒以内に解ける問題です。詳しくは、京都女子高等学校２０１６年数学第１問（６）の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）にほんブログ村
2017年08月24日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（京都大学２００４年後期文系数学第３問）
関数ｆ(ｘ)が次の２つの性質（１）、（２）を持つという。（１）任意の実数ｘ、ｙに対して、ｆ(ｘ＋ｙ)=ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)が成り立つ。（２）ｆ(３)=８ このとき、ｆ(１)=２であることを証明せよ。（ただし、ｆ(ｘ)は実数であるとする。）（注）関数ｆ(ｘ)→小学生の場合、ｘのところにある数を入れると、何か数が出てきますと考えればいいでしょう。実数→小学生の場合、数と考えればいいでしょう。ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)→ｆ(ｘ)とｆ(ｙ)の積（１）は、ｆ(ｘ＋ｙ)=ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)のｘ、ｙに好きな数を入れても成り立ちますということです。（２）は、ｆ(ｘ)のｘに３を入れると８になりますということです。 京大数学で非常にレベルが低い問題が出された暗黒時代とはいえ、ひどすぎますね。３０秒以内に解けます。式の意味さえわかれば、小学生でも余裕で解けます。詳しくは、京都大学２００４年後期文系数学第３問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月23日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（大阪市立大学２０１６年前期文系数学第２問）
さいころの６つの面の中から２面を選んで赤色に塗る。残った４面の中から２面を選んで黒色に塗る。最後に残った２面は白色に塗る。なお、色を塗っても、さいころの目は判別できるものとする。このとき次の問いに答えよ。（１）上のような各面への色の塗り分け方は全部で何通りあるか。（２）赤い面が向かい合うような、各面への色の塗り分け方は何通りあるか。（３）赤い面が隣り合うような、各面への色の塗り分け方は何通りあるか。（４）同じ色の面がすべて隣り合うような、各面への色の塗り分け方は何通りあるか。（５）同じ色の面がすべて向かい合うような、各面への色の塗り分け方は何通りあるか。（４）と（５）は入れ替えるべきですね。秒殺問題の（５）を先に解くと、（４）でそれが利用できて、（４）も秒殺できますから。（５）の答えを利用せずに、出題順に解くと面倒なんですよね。解説にはアップしていませんが、実際にやってみたら面倒でした。詳しくは、大阪市立大学２０１６年前期文系数学第２問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月22日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（自治医科大学２０１６年医学部数学第６問）
整数ｎは、１≦ｎ≦１００を満たす。ｎ、ｎ＋２、ｎ＋４がすべて素数となる整数ｎは、何個あるか。 特殊な素数に注目すれば簡単に解けます。大学受験生なら、３０秒以内に解けるでしょうね。。。エラトステネスのふるいについてもしっかりマスターしておきましょう。詳しくは、自治医科大学２０１６年医学部数学第６問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月21日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（四天王寺高等学校２０１２年数学第２問（２））
ある工場で、先月は製品Ａと製品Ｂをあわせて１４００個製造しました。今月の製造個数は、先月に比べてＡが１０％減りＢが１０％増えたため、全体として５０個減りました。今月は製品Ａ、Ｂをそれぞれ何個ずつ製造しましたか。 割合のつるかめ算と呼ばれる問題です。中学生は連立方程式で解きますが、小学生の問題として解いたほうら楽ですね。詳しくは、四天王寺高等学校２０１２年数学第２問（２）の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）
2017年08月20日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（徳島大学２０１３年前期工学部・医学部（保健）数学第６問）
さいころを５回投げ、出た５つの目を出た順に並べたものを目の出方とする。（１）すべての目の出方は何通りあるか。（２）５以上の目が２つ以上ある目の出方は何通りあるか。（３）和が１０以上となる２つの目を選ぶことができる目の出方は何通りあるか。誘導なしに（３）だけ出すと面白い問題ですが、医学部保健学科だと０点が続出してしまって、厳しいのでしょうね。親切な誘導があるため、誘導に従っていけば、それなりの学校を受験する小学生であれば普通に解けます。詳しくは、徳島大学２０１３年前期工学部・医学部（保健）第６問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月18日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（大阪星光学院高等学校２００６年数学第３問）
次の正多面体の各面に異なる色をぬる。ただし、正多面体を回転して一致する色のぬり方は同じとみなす。（１）正四面体を４色でぬるぬり方は[ ]通りある。（２）正六面体（立方体）を６色でぬるぬり方は[ ]通りある。（３）正八面体を８色でぬるぬり方は[ ]通りある。（注）正多面体→各小問で具体的な名前が出てくるので、立体と考えればいいでしょう。 まず立体的な回転を防ぎ、次に平面的な回転を防いでいけばよいでしょう。詳しくは、大阪星光学院高等学校２００６年数学第３問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）
2017年08月16日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（岡山大学２０１７年前期文系数学第２問）
自然数aを７で割った余りをＲ（a）と書くことにする。このとき以下の問いに答えよ。（１）すべての自然数ｎに対してＲ（２^(ｎ＋３)）＝Ｒ（２^ｎ）となることを示せ。（２）Ｒ（２^２０１７）を求めよ。（３）自然数ｍがＲ（２^２０１７ｍ＋２^２９）＝５を満たすとき、Ｒ（ｍ）の値を求めよ。（注）自然数→１以上の整数２^(ｎ＋３)→２を（ｎ＋３）個掛け合わせた数（他のものも同じ）２^２０１７ｍ→２^２０１７×ｍややこしそうな説明がなされていますが、単なる約束記号の問題と考えれば、小学生でも何の問題もなく解けるでしょう。２を１００個かけあわせたときの一の位の数を求めなさいという問題と本質的には何も変わりません。２を１００個掛け合わせた数を１０で割ったときの余りを求めなさいということで、岡山大学の問題は２の累乗を７で割ったときの余りを求めなさいということにすぎませんからね。詳しくは、岡山大学２０１７年前期文系数学第２問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月14日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（大阪大学１９６１年理系数学第２問・文系数学第２問）
６桁の自然数がある。一番左の数字を一番右へ移してできる６桁の数は、もとの数の３倍になるという。もとの自然数を求めよ。（注）自然数→１以上の整数問題を見た瞬間に１、４、２、８、７、７という数字が思い浮かぶはずですね。同種の問題は、過去に京大や灘中などでも出されています。詳しくは、大阪大学１９６１年理系数学第２問・文系数学第２問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月10日
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白陵中学校２００７年算数１次第７問
１８を連続した整数の和で表すと、５＋６＋７や３＋４＋５＋６のようになります。では、６０を連続した整数の和で、考えられるだけすべて表しなさい。 等差数列の和の公式をよく理解しているかどうかで差が付く問題です。詳しくは、白陵中学校２００７年算数１次第７問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]にほんブログ村
2017年08月09日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（弘前大学２０１０年前期理系数学第６問）
Ｇ、Ｏ、Ｕ、Ｋ、Ａ、Ｋ、Ｕの７文字を１列に並べるとき、同じ文字が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。同じものを含む順列の問題です。同じものを含む順列を知らない小学生でも解けます。解説では、最初はあえて重複させて数えて、後で重複度で割って調整するという方針で解いていますが、組み合わせを利用して解くこともできます。例えば、すべての並べ方であれば、まずＧ、Ｏ、Ａを並べ（７×６×５通り）、次に残った４か所からＫ２個を置く場所の選ぶ（（４×３）/（２×１））と考えて、７×６×５×（４×３）/（２×１）通りと考えることもできます。この問題と同様の灘高校の問題（灘高等学校２００７年数学第１問（５））では、そのように考えています。そのほうが楽だからです。詳しくは、弘前大学２０１０年前期理系数学第６問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月08日
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筑波大学附属駒場中学校２０１３年算数第１問
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆを、それぞれ、０でない１桁（けた）の数とします。これらを並べて６桁の数「ＡＢＣＤＥＦ」を作ります。並んでいる６個の数を３つずつに区切って、３桁の数「ＡＢＣ」と「ＤＥＦ」を作り、これらを足すと９９９でした。 次の問いに答えなさい。なお、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆに同じ数があってもかまいません。（１）６個の数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆを全部足すといくつになりますか。（２）もとの６桁の数について、並んでいる６個の数を２つずつに区切って、２桁の数「ＡＢ」、「ＣＤ」、「ＥＦ」を作り、これらを全部足すと９９になりました。（ア）Ａが１、Ｃが２のとき、もとの６桁の数を答えなさい。（イ）このような６桁の数「ＡＢＣＤＥＦ」は、（ア）で答えたものを含（ふく）めて、全部で何個ありますか。 灘中などで同様の問題が出されています。（１）、（２）（ア）は、筆算をかけば簡単に解けます。（２）（イ）は、少し求めてみれば規則性が見えてくるでしょう。詳しくは、筑波大学附属駒場中学校２０１３年算数第１問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2017年08月07日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（東京大学２０００年前期理科数学第５問）
次の条件を満たす正の整数全体の集合をＳとおく。 「各けたの数字はたがいに異なり、どの２つのけたの数字の和も９にならない。」ただし、Ｓの要素は１０進法で表す。また、１けたの正の整数はＳに含まれるとする。（１）Ｓの要素でちょうど４けたのものは何個あるか。（２）小さいほうから数えて２０００番目のＳの要素を求めよ。（注）正の→０より大きいＳの要素→与えられた条件を満たすということです。Ｓの要素は１０進法で表す。→普通の整数ということです（小学生は無視して考えればよいでしょう）。平易な表現の問題文にすれば、完全に小学生レベルの問題です。大した知識もいらないので、４、５年生でも解ける子がいるかもしれませんね。詳しくは、東京大学２０００年前期理科第５問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月06日
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開成中学校２０１３年算数第２問
Ａ地点からＢ地点に向かって一定の速さで流れている川があります。この川のＡ地点からボールを流し、同時にＢ地点からＡ地点に向けて船が出発しました。船がＡ地点で折り返して、Ｂ地点まで一往復したところ、船がＢ地点に到着（とうちゃく）してから４２秒後にボールもＢ地点に到着しました。 船がＢ地点からＡ地点まで行くのにかかった時間は、船がＡ地点からＢ地点まで行くのにかかった時間の２．２５倍でした。船の静水での速さは一定として以下の問いに答えなさい。（１）ボールがＡ地点を出発してからＢ地点に到着するまでに何分何秒かかりましたか。（２）船とボールが出発してから、（ア）最初に出会うまでにかかった時間、（イ）船がボールに追いつくまでにかかった時間、をそれぞれ求めなさい。 流水算に比を絡めた問題です。開成中の受験生なら解けて当たり前の問題ですが、（２）（イ）の解き方によっては結構差が出る問題です。（１）の意味を考えれば、どう解けばいいかわかるでしょう。詳しくは、開成中学校２０１３年算数第２問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]
2017年08月05日
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小学生でも解ける大学入試数学の問題（信州大学２０１６年前期医系第４問）
群に分けられた数列 １｜２，４，２｜３，６，９，６，３｜４，８，１２，１６，１２，８，４｜……を、第ｎ群が（２ｎ－１）個の項 ｎ，２ｎ，……,（ｎ－２）ｎ,（ｎ－１）ｎ,ｎ２,（ｎ－１）ｎ,（ｎ－２）ｎ,……,２ｎ,ｎからなるものとする。このとき、以下の問いに答えよ。（１）与えられた数列の初項から第ｎ群の末項までの項数を求めよ。（２）第ｎ群に含まれる項の総和を求めよ。（３）最初に現れる２０１６は、この数列の第何項か。（注）２ｎ→２×ｎ（文字式の掛け算では、×を省略します（他も同様））ｎ２→ｎ×ｎ初項→最初の数末項→最後の数中学入試レベルの群数列の問題です。ご丁寧に規則性について書いてあるので、（１）、（２）は３０秒以内に解けるでしょう。（３）は少し難しいかもしれませんが、大雑把に範囲を絞った後、約数の条件に着目すればすぐに解けます。詳しくは、信州大学２０１６年前期医系第４問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月02日
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小学生でも解ける高校入試数学の問題（灘高等学校２００７年数学第１問（５））
Ａ、Ａ、Ａ、Ｂ、Ｂ、Ｂ、Ｃ、Ｃの８個の文字を１列に並べるとき、Ｂが連続することのない並べ方は[ ]通りである。また、Ｂが連続することがなく、Ｃも連続することのない並べ方は[ ]通りである。 書き出して求めようとすると面倒ですが、小学生でも計算だけで簡単に解けます。前半が後半の誘導になっているので、それに従って解けばよいでしょう。詳しくは、灘高等学校２００７年数学第１問（５）の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師（生徒募集について） 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評目で解く幾何(立体・座標編)（高校への数学）目で解く幾何(直線図形編)（高校への数学）目で解く幾何（円・三平方編）（高校への数学）
2017年08月01日
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