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2017年01月26日

輝線スペクトルバルマー系列式

カテゴリ：科学

水素のスペクトル波長の不思議な規則性に取りつかれた科学者の一人バルマーが出した結論が報告されたのは、1884年だった。

この時、バルマー Johan Jakob Balmerは59歳。彼は、最初スイス、バーゼルの自然科学協会の会誌(1884年6月号)に、この報告「水素のスペクトルに関するノート」を投稿した。そして、この報文は、Annalen der Physik (1885年1月) p80 – p87)に転載されたのである。この年は、ニールス・ボーアの生まれた年でもある。

この報文が、後に量子力学の躍進のきっかけを作ったということを、まだバルマー本人も全く知る由もなかった。ブンゼンとキルヒホフによって始められた分光分析は、実績として数多くの元素発見につながっているが、量子力学の扉も開いたのである。

バルマーの公式とも言われている式は、下記の式である。

波長　λ = A m^2/(m^2-n^2 ) = A m^2/(m^2 – 4)
A=364.56 nm (n =2 m = 3, 4, 5, 6 )

この式で、この結論に至る過程が不明なのは、

●　m^2/(m^2-n^2 )・・・・・(1)
●　A=364.56 nm・・・・・(2)

この二箇所

バルマーの公開した報文に、この結論に至る思考過程が記載されていないのである。

バルマーの報文の英訳は、下記で閲覧できる。(原文はAnnalen der Physik (1885年1月) p80 – p87)

http://web.lemoyne.edu/~giunta/balmer.html

バルマーは、オングストロームの発表しているスペクトルの値から

Hα (C-line) = 9/5 h = 6562.08、　 6562.10
Hβ (F-line) = 4/3 h = 4860.8、　 4860.74
Hγ (near G) = 25/21 h = 4340、　 4340.1
Hδ (h-line) = 9/8 h = 4101.3、　 4101.2

いきなり h表示でこの4本のスペクトルの関係性を表示している。

まず、(1)　m^2/(m^2-2^2 )　について、数学者バルマーが、考えたであろう考え方は、素因数分解法であろうというのが、もっとも合理的ではないだろうか。

4本の輝線の波長を下記整数とすれば
Hα = 6561
Hβ = 4864
Hγ = 4350
Hδ = 4104

素数分解すると
Hα = 6561 = 3^2 x 729
Hβ = 4864 = 4^2 x 304
Hγ = 4350 = 5^2 x 174
Hδ = 4104 = 6^2 x 114

そして

6561 x (5/3^2) = 4864 x (12/4^2) = 4350 x (21/5^2) = 4104 x (32/6^2)
の関係が成り立つ。

よって
波長　λ = A m^2/(m^2-2^2 ) 　の式　の　m^2/(m^2 - 2^2) を導き出したと言える。

バルマーの式は、𝜆=ℎ m^2/(m^2−4)

この逆数を採ると、　1/λ=(1/h) (m^2-4)/m^2 1/λ=(1/h) (1-4/m^2)

そして、簡略化した　　1/λ=1-4/m^2　　のグラフ化を考える。

グラフの式化したものは、　y = - 0.2741x + 0.2741
グラフの Y軸の切片　0.2741 から逆数をとると、3.6483 が算出できる。

エクセルでは、intercept関数からも　0.2741 が算出できる。

従って、h=364.83 nm となる。

オングストロームがだした波長
Hα = 6562.1
Hβ = 4860.74
Hγ = 4340.1
Hδ = 4101.2

を挿入すると、近似式は、　y = - 0.2743x + 0.2743　となり
グラフの Y軸の切片　0.2743 から逆数をとると、値は、3.6456で
波長は、 364.56 となり、これは、バルマーが出した値と同じである。数学者バルマーにとって、逆数を採って、グラフ化することは、容易に思いつくことであろう。

数学者バルマーが、どの方法でこの公式にたどり着いたか、今は知る由もない。

さらに、バルマーは、報文の後の方で、現在パッシェン系列(n=3)、ブラケット系列(n=4)、プント系列(n=5)として知られている系列の存在の予言を行い、パッション系列は1908年に発見され、ブラケット系列は1922年に発見され、プント系列は1924年に発見された。

メンデレーエフも、周期表の報文で大胆な予言を行っているが、バルマーも、メンデレーエフに劣らない大胆な予言を行っているのだ。

参考文献
大野公一先生　　「バルマーの謎」　　http://211.15.34.33/ohnok/Balmer.HTM
ローゼンフェルト　著　江沢洋　訳・著　「ボーア革命」　日本評論社
マンジット・クマール　著　青木薫　訳　「量子革命」　　新潮文庫

先日(2/4)、本屋の文庫本コーナーで、ふと目を落としたら、「量子革命」という文字が飛び込んできた。アインシュタインとボーアを軸に話が展開している。2017.2.1発行
この二か月間、量子力学に翻弄されている。この年になって足を踏み入れようとしているが、なかなか入れさしてもらえない。脳が拒絶している。

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